1、圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 第二章第二章 两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获 得了大量的成果古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的 方法来研究这几种曲线用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得 到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且 仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一 些就可以得到双曲线阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双 曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”事实上，阿 波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中 关于圆锥曲线的全部性质和结果 2.1 椭圆椭圆 第第1课时课时 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 第二章第二章 课堂典例
2、探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 取一条定长的无弹性的细绳，把它的两端分别固定在图板 的两点 F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖若绳长 l 大于两点 F1、F2的距离，画出的轨迹是什么曲线. 在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨 迹叫做_，定点称作_，定 长称为_ 答案：圆 圆心 半径 一 椭圆的定义及标准方程 1定义 (1)定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的 和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭 圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间 的距离叫做椭圆的焦距 (2)符号表示：|PF1|PF2|2a(
3、2a|F1F2|) (2)特别提醒：(2)中，若2a|F1F2|)的关系，可用定义求得P点轨迹 方程；二是已知椭圆上一点，可得|PF1| |PF2|2a，可解决求距离、求角、求面积等 问题 平面上到点A(5,0)、B(5,0)距离之和为10的 点的轨迹是( ) A椭圆 B圆 C线段 D轨迹不存在 答案 C 解析 设动点为P，由题意得|PA|PB| 10|AB|，点P的轨迹是线段AB. 2椭圆的标准方程 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 焦点坐标 F1(c,0)，F2(c,0) F1(0，c)，F2(0，c) 注意：(1)所谓标准方程，是因为
4、它的形式最简单，当且仅 当椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上(2)这两种椭圆的相同点 是：它们的形状、大小都相同，都有 ab0，a2c2b2；不同 点是：位置不同，焦点坐标也不同(3)判断焦点在哪个轴上只 要看分母的大小，如图 x2项的分母大于 y2项的分母，则椭圆的 焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴(4)在求椭圆方程的时候一 定要考虑焦点在哪个坐标轴上，如果题目中对焦点在哪下坐标 轴上不明确，则应该考虑焦点在 x 轴上或焦点在 y 轴上两种情 况 求与椭圆 x2 16 y2 111 有公共焦点， 并且经过点 P(3,2)的椭 圆的标准方程 解析 椭圆 x2 16 y2 111 的焦点坐标为
5、( 5，0)、( 5，0)， 故可设所求椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 因为此椭圆经过点 P(3,2)， 所以 32 a2 2 2 b21 a2b25 ，解得 a215 b210 . 所以所求椭圆标准方程为 x2 15 y2 101. 二、椭圆定义的应用技巧 1椭圆定义式：|PF1|PF2| 2a(2a|F1F2|)若动点P满足上式，则P点轨 迹是以F1、F2为焦点的椭圆，据此可用定义 法求得P点的轨迹方程 2涉及椭圆上的点与焦点连线的长度以及过 焦点的三角形的周长与面积等问题，常应用 椭圆的定义求解 设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一 点，当P、F1、F2三点不在同一
6、直线上时， P、F1、F2构成一个三角形焦点三角形(如 图) 由椭圆定义可知： |PF1|PF2|2a，|F1F2|2c. 由三角形的边角关系(正弦定理、余弦定理) 和椭圆的定义等来解决焦点三角形等有关问 题，如PF1F2的面积问题、|PF1|PF2|的最 值问题等 椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(8,0)、F2(8,0)，且椭圆上 一点到两个焦点的距离之和为 20，则此椭圆的标准方程为 ( ) A. x2 36 y2 1001 B. x2 400 y2 2261 C. x2 100 y2 361 D. x2 20 y2 121 答案 C 解析 由题意可知， 所求椭圆的标准方程可设为x 2 a
7、2 y2 b2 1(ab0)根据题意得 2a20，a10.又 c8，b2a2 c21006436. 课堂典例探究课堂典例探究 椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为(1,0)和(1,0)，且经过点(2,0)； (2)焦点在坐标轴上，且经过点 A( 3，2)和点 B(2 3， 1) 解题提示 (1)根据焦点的位置设出椭圆的 标准方程，然后用待定系数法求解也可以 根据题意直接求出a，b，c，再写出椭圆的标 准方程(2)设出椭圆方程的一般式，用待定 系数法求解 解析 (1)由已知条件知椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它 的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 因为
8、 2a 2120 21204,2c2， 所以 a2，c1，所以 b2a2c22213， 所以所求的椭圆的标准方程是x 2 4 y 2 3 1. (2)设所求椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0 且 mn) 由 A( 3，2)和 B(2 3，1)两点在椭圆上可得 m 32n221， m2 32n121， 即 3m4n1， 12mn1， 解得 m 1 15， n1 5， 故所求椭圆的标准方程为 x2 15 y2 5 1. 方法总结 不明确焦点在哪一个坐标轴上时， 通常应进行分类讨论但分类讨论计算较繁 琐，故一般可设所求椭圆的方程为mx2ny2 1(m0，n0且mn)，这样不必考虑焦点 位置，用
9、待定系数法求出m、n的值即可 (1)如果方程 x2ky22 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的 取值范围是_； (2)方程 x2 2m y2 m11 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 则 m 的取 值范围是_ 答案 (1)00 2m1m ，解得1 30，a9 a2 a 9 a6， 当且仅当 a9 a，即 a3 时，等号成立 当 a3 时，|PF1|PF2|6，P 点轨迹是线段 F1F2. 当 a3 时，a9 a6， 此时 P 点轨迹是以 F1，F2为焦点的椭圆 直线 AB 过椭圆x 2 9 y 2 4 1 的左焦点 F1，交椭圆 A、B 两点， 则 ABF2的周长是_ 解析 如图所示， ABF
10、2的周长等于|AB| |AF2|BF2|AF1| |BF1|AF2|BF2|4a 12. 答案 12 有关焦点三角形问题 已知椭圆x 2 a2 y2 b21 上一点 P，F1、F2 为椭圆的 焦点，若F1PF2，求F1PF2的面积 解题提示 求面积时，可先用余弦定理求出 |PF1|PF2|的值再整体代入 解析 由椭圆的定义，有 |PF1|PF2|2a，而在F1PF2中，由余弦定理有|PF1|2 |PF2|22|PF1| |PF2| cos|F1F2|24c2， (|PF1|PF2|)22|PF1| |PF2|2|PF1| |PF2|cos4c2， 即 4a24c22|PF1| |PF2|(1c
11、os) SPF1F21 2|PF1| |PF2|sinb 2 sin 1cosb 2tan 2. 方法总结 椭圆上一点P与两焦点F1、F2构 成的三角形PF1F2我们通常称其为焦点三角 形，在这个三角形中，既可运用到椭圆定 义，又能用到正、余弦定理 上述解答过程中还运用了整体思想直接求出 |PF1|PF2|，没有单独求|PF1|、|PF2|，以减 少运算量 如图所示，已知点 P 是椭圆y 2 5 x 2 4 1 上的 点， F1和 F2是焦点， 且F1PF230 ， 求F1PF2 的面积 解析 在椭圆y 2 5 x 2 4 1 中， a 5，b2，c a2b21， 又点 P 在椭圆上，|PF1
12、|PF2|2a2 5 由余弦定理知|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2| cos30 |F1F2|2 (2c)24 式两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|20 得(2 3)|PF1| |PF2|16， |PF1| |PF2|16(2 3)， SPF1F21 2|PF1| |PF2| sin30 84 3. 利用椭圆定义求动点轨迹问题 已知B、C是两个定点，|BC|6， 且ABC的周长等于16.求顶点A的轨迹方程 解题提示 建立适当的坐标系，利用定义 求解 解析 如图，建立坐标 系，使x轴经过点B、C，且 原点O为BC的中点，由已知 |AB|AC|BC|16， 由
13、|BC|6，有|AB|AC|106， 即点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆，且 2c6,2a10. c3，a5，b2523216. 由于点 A 在直线 BC 上时，即 y0 时，A、B、C 三点不能 构成三角形， 点 A 的轨迹方程是 x2 25 y2 161(y0) 方法总结 利用椭圆定义求动点轨迹问题的 方法 利用椭圆定义求动点轨迹方程的四个步骤： 第一步：结合平面图形中的条件转化为动点 到两定点的距离之和为定常数； 第二步：判断是否在标准位置，即焦点是否 在坐标轴上且关于原点对称； 第三步：由定义求出基本量a、b、c进而写出 标准方程； 第四步：检验所求方程是否满足题意 如图，在A
14、BC中，角A、B、C所对的边分 别为a，b，c，且B(1,0)，C(1,0)，求满足 bac，且b，a，c成等差数列时顶点A的轨 迹方程 解析 b，a，c 成等差数列，bc2a224. 即|AB|AC|4|BC|2. 由椭圆定义知，动点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点，以 4 为 长轴长的椭圆椭圆方程为x 2 4 y 2 3 1. 又bc，即|AC|AB|， 点 A 的轨迹是椭圆x 2 4 y 2 3 1 的左半部分，且除去点(0， 3)，(0， 3)，(2,0) 故所求轨迹方程为x 2 4 y 2 3 1(x0 k30 ，得 30 的条 件当 ab 时，方程并不表示椭圆，而是圆 正解 由题意可知 5k0 k30 5kk3 ， 解得 3k5，且 k4. 椭圆及其标准方程 椭圆的定义了解 椭圆的标准方程 推导过程理解 两种形式掌握 标准方程的求法掌握
