1、圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 第二章第二章 2.2 双曲线双曲线 第第1课时课时 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 第二章第二章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 我海军“马鞍山”舰和“千 岛湖”舰组成第四批护航编队远 赴亚丁湾，在索马里海域执行护航 任务某日“马鞍山”舰哨兵监听 到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰相距 1 600m 的 “千岛湖”舰，3s 后也监听到了该马达声(声速为 340m/s)若 把“马鞍山”舰和“千岛湖”舰看成两个定点 A、B，快艇看成 动点 M，M 满足什么条件？ 1.椭圆的定
2、义是什么？ 2椭圆的定义应注意哪些问题？ 3椭圆的标准方程是什么？ 答案：1 在平面内到两定点 F1、F2的距离之和等于定长(大 于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 2 满足条件 2a|F1F2|，若 2ab0)， x2 b2 y2 a21(ab0). 一 双曲线的定义 在平面内到两个定点 F1、 F2的距离之差的绝对值等于定值 2a(大于 0 且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫 做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距 注意： (1)定义中“大于 0 且小于|F1F2|”这一限制条件十分 重要，其根据是“三角形两边之差小于第三边”若 2a2c， 此时动点轨迹是以 F1
3、，F2为端点的两条射线；若 2a2c，动点 轨迹不存在 (2)距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支若 F1、 F2表示双曲线的左、 右焦点， 且点 P 满足|PF2|PF1|2a(a0)， 则点 P 在左支上若点 P满足|PF1|PF2|2a(a0)，则 点 P在右支上 (3)若 2a2c，且|PF1|PF2|2a(F1、F2为双曲线左、右 焦点)，则点 P 在右边的射线上，若|PF2|PF1|2a，则点 P 在 左边的射线上 已知两定点F1(5,0)、F2(5,0)，动点P满足 |PF1|PF2|2a，则当a3或5时，P点的 轨迹为( ) A双曲线和一直线 B双曲线和一条射线 C双曲线的
4、一支和一条射线 D双曲线的一支和一条直线 答案 C 解析 当a3时，|PF1|PF2|2a 60，b0) (1)x 2 a2 y2 b21(a0，b0)是焦点在 x 轴上的双曲线的标准方 程，它的焦点坐标是 F1(c,0)，F2(c,0)；y 2 a2 x2 b21(a0，b0) 是焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程，它的焦点坐标是 F1(0， c)，F2(0，c)不论焦点在哪个轴上都有关系式 c2a2b2. (2)如果 x2项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上对于双曲线，a 不一定 大于 b，因此不能像椭圆那样通过比较 a 和 b 的大小来判
5、定焦 点在哪一条坐标轴上 (3)掌握椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别和联 系： 椭圆 双曲线 |MF1|MF2|2a |MF1|MF2| 2a ac0， 令 a2c2b2(b0) 0b0) x2 a2 y2 b21， y2 a2 x2 b21 a0，b0，a 不一定大于b 在方程mx2my2n中，若mn2a” 是否成立；是否使|MF1|MF2|2a 与|MF1|MF2|2a 同 时成立；焦点所在坐标轴是否明确；将给定焦点组成的 MF1F2的边角关系转化为 a、b、c 的关系 已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0，13)， 双曲线上一点P到两焦点距离之差的绝对值 为24，求双曲线标准方程
6、解析 设双曲线标准方程为： y2 a2 x2 b21(a0，b0)， 由已知得，2a24， a12，c13，b5， 双曲线的标准方程为： y2 144 x2 251. 课堂典例探究课堂典例探究 用待定系数法求双曲线的标准方 程 已知双曲线的两个焦点分别为 F1(10,0)、 F2(10,0)，并且经过点(3 5，4)，求此双曲线的标准方程 解题提示 先确定双曲线焦点所在的坐标轴，设出标准 方程，再利用待定系数法求解 解析 因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方 程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0) 由题意知 c10， 从而将双曲线的标准方程化为 x2 100b2 y2 b21.
7、 将点(3 5，4)代入并简化整理，得 b239b216000， 解得 b264 或 b225(舍去) 故所求的双曲线的标准方程为 x2 36 y2 641. 方法总结 利用待定系数法求双曲线的方程，先判定焦 点所在的坐标轴，再确定 a、b 的值求双曲线方程时，当焦点 位置确定时，一般仅有一解；当焦点位置不确定时，可能有两 解，而分类求解较繁琐，此时可设双曲线方程为 x2 m y2 n 1(mn0，b0)， 则有 10 a2 4 b21 a2b29 ， a25 b24 . 所求的双曲线的方程为y 2 5 x 2 4 1. 双曲线的定义 若一个动点P(x，y)到两个定点 F1(1,0)、F2(1
8、,0)的距离差的绝对值为定值 a(a0)，试讨论点P的轨迹方程 解题提示 当参数a不确定时，应讨论a与 |F1F2|之间的关系 解析 因为|F1F2|2， (1)当a2时，轨迹是两条射线y 0(x1)，或y0(x1)； (2)当 a0 时，轨迹是线段 F1F2的垂直平分线，即 y 轴， 方程为 x0； (3)当 00，b0)，其焦点为 F1、F2，过 F1 作直线交双曲线同一支于 A、B 两点，且|AB|m，则ABF2 的周长是( ) A4a B4am C4a2m D4a2m 答案 C 解析 设 F1为左焦点，则 |BF2|BF1|2a |AF2|AF1|2a ， |BF2|AF2|4am.
9、ABF2的周长为 4a2m. 求焦点三角形的面积 若 F1、F2是双曲线x 2 9 y2 161 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且|PF1| |PF2|32，求F1PF2的面积 解题提示 利用双曲线的定义，结合余弦定理进行求解 解析 由双曲线的对称性，可设点 P 在第一象限，由双 曲线的方程，知 a3，b4，c5. 由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6. 上式两边平方，得|PF1|2|PF2|2362|PF1| |PF2|3664 100， 由余弦定理，得 cosF1PF2|PF 1| 2|PF 2| 2|F 1F2| 2 2|PF1| |PF2| 100100 2|PF1| |PF2
10、|0. F1PF290 . SF1PF21 2|PF1| |PF2| 1 23216. 方法总结 在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双 曲线的定义等是经常使用的知识点另外，还经常结合|PF1| |PF2|2a，运用平方的方法，建立它与|PF1| |PF2|的联系，请同 学们多加注意 如图， 已知 M 是双曲线 x2 40 y2 9 1 上的一点， 且 MF1MF2， F1、F2是双曲线的两个焦点，求MF1F2的面积 解析 由已知得 a 402 10， c240949.c7. 根据双曲线定义，得|MF1|MF2|2a4 10 即|MF1|2|MF2|22|MF1| |MF2|160. 又MF1
11、MF2，|MF1|2|MF2|2|F1F2|2， 即|MF1|2|MF2|2(2c)2196. 由，得1 2|MF1| |MF2|9， MF1F2的面积是 9. 利用双曲线定义求轨迹问题 已知圆C1：(x3)2y21和圆C2： (x3)2y29，动圆M同时与圆C1与圆C2相 外切，求动圆圆心M的轨迹方程 解题提示 由于C1(3,0)，C2(3,0)两个定 点关于原点对称，所以应考虑定义法求轨迹方 程 解析 如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于 点 A 和 B，根据两圆外切的充要条件， 得|MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|. |MA|MB|， |MC1|AC1|
12、MC2|BC2|， |MC2|MC1|BC2|AC1|312. 这表明动点 M 与两定点 C2、C1的距离的差是常数 2.根据 双曲线的定义， 动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2的距 离大，与 C1的距离小) 这里 a1，c3，则 b28，设点 M 的坐标为(x，y)， 则其轨迹方程为 x2y 2 8 1(x1 时，t21，t210，曲线 C 为椭圆； 当 0t21， 因而 c2a2b2t2(t21)1， 所以两焦点的坐标分别为(1,0)，(1,0) 当 00 时，方程化为标准形式：x 2 k 2 y 2 k 1， c2k 2k 3k 2 ，2 3k 2 6， 当 k0 时，k6. 辨析 因为不能确定 k 的正负，需讨论 正解 当 k0 时，方程化为标准形式：x 2 k 2 y 2 k 1 c2k 2k 3k 2 ，2 3k 2 6，k6. 当 k0 时，方程化为 y2 k x2 k 2 1， c2kk 2 3k 2 ，2 6 2 k6，k6. 综上所述，所求 k 值为 6 或6. 双曲线及其 标准方程 双曲线定义了解 双曲线的标准方程了解 推导过程 两种形式 标准方程的求法
