1、常用逻辑用语常用逻辑用语 第一章第一章 1.3 充分条件、必要条件充分条件、必要条件 与命题的四种形式与命题的四种形式 第第2课时课时 命题的四种形式命题的四种形式 第一章第一章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 在商品大战中，广告成了一道美 丽的风景线几乎所有的广告商都熟 悉这样的命题变换艺术：“拥有的人 们都幸福，幸福的人们都拥有”初 听起来，是几句赞美语，然而它的实际效果可大哩！原来这句 话，变成等价命题就是“不拥有的人们不幸福”哪个家庭不 希望幸福呢？掏钱买就是了瞧！商家就通过这样巧妙的命题 变换达到了目的
2、. 1. 处 理 充 分 条 件 、 必 要 条 件 问 题 时 ， 首 先 _，然后_ 2证明“充要条件”的一般步骤： 答案：1.要分清条件和结论 进行推理和判断 2分清条件 p 和结论 q 证充分性 pq 证必要性 qp 结论 pq 一 四种命题的概念 一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用 p 和 q 分别表示 p 和 q 的否定， 则一共可构成四种不同形式的命题 1原命题：若 p，则 q； 2逆命题：条件和结论“换位”，若 q，则 p； 3否命题：条件和结论“换质”(分别否定)，若 p，则 q； 4逆否命题：条件和结论“换位”又“换质”，若 q，则 p. 对四种命题的理
3、解应注意以下两点 (1)原命题是人为规定的，其他三种命题是随 之产生的，例如：原命题：若p，则q; 逆命题：若q，则p； 否命题：若p，则q； 逆否命题：若q，则p. (2)要注意区分否命题与命题的否定否命题 是既否定命题中的条件，又否定命题中的结 论；而命题的否定只否定结论“菱形的四 条边都相等”的否定为“菱形的四条边不都 相等”；把“菱形的四条边都相等”作为原 命题，则它的否定题是“若四边形不是菱形， 则它的四条边不都相等” 命题“a、b都是偶数，则ab是偶数”的逆 否命题是( ) Aa、b都不是偶数，则ab不是偶数 Ba、b不都是偶数，则ab不是偶数 Cab不是偶数，则a、b都不是偶数
4、Dab不是偶数，则a、b不都是偶数 答案 D 解析 本题考查命题的四种形式，一般的命 题：“若p则q”形式的逆否命题为“若非q 则非p” 二 四种命题的关系 1一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否 命题之间的相互关系为： 2四种命题真假的关系 一般地，四种命题真假有且仅有下面四种情 况： 原命 题 逆命 题 否命 题 逆否命 题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 规律：判断原命题及其逆命题、否命题、逆 否命题的真假，只需要判断两个命题的真假， 因为原命题与其逆否命题互为逆否命题，原 命题的逆命题和否命题互为逆否命题，且互 为逆否命题的两个命题具有相同的真假性 命题
5、“若x5，则x28x150”，那么它 的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中， 真命题有( ) A0个 B1个 C2个 D3个 答案 B 解析 本题考查四种命题以及真假性间的关 系依题意，注意到题中的命题本身是真命 题，其逆命题是假命题，因此其逆否命题是 真命题，其否命题也是假命题，选B. 三 四种命题及其关系的应用 原命题与逆否命题互为逆否命题，逆命题和 否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的 真假性之间的关系如下： (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真 假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的 真假性没有关系 应用一：逆否命题真假可以通过判断原命题 的真假得出，否命题的真假
6、可以通过判断逆 命题的真假得出，因此，要判断四种命题的 真假，只需判断原命题和逆命题的真假即 可 应用二：由于原命题和它的逆否命题有相同 的真假性，所以在直接证明某一个命题为真 命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题 为真命题，来间接证明原命同为真命题 判断命题“若m0，则x22x3m0有实 数根”的逆否命题的真假 解析 m0，12m0，12m40， x22x3m0的根的判别式12m 40， 方程x22x3m0有实数根 原命题为真，原命题的逆否命题也为 真 课堂典例探究课堂典例探究 将下列命题写成“若p，则q”的形 式，并指出它们的逆命题，否命题和逆否命 题 (1)两条平行直线不相交； (2)
7、全等三角形相似； (3)菱形的对角线互相垂直平分 解题提示 先找出原命题的条件p和结论q， 再将原命题改写成“若p，则q”的形式，然后 根据命题的四种形式的定义表达其他形式的命 题 四种命题的关系 解析 (1)原命题：若l1与l2是平行直线，则l1 与l2不相交； 逆命题：若直线l1与l2不相交，则l1与l2平行； 否命题：若直线l1与l2不平行，则l1与l2相交； 逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平 行 (2)原命题：若两个三角形全等，则这两个三 角形相似； 逆命题：若两个三角形相似，则这两个三角 形全等； 否命题：若两个三角形不全等，则这两个三 角形不相似； 逆否命题：若两个
8、三角形不相似，则这两个 三角形不全等 (3)原命题：若四边形ABCD是菱形，则对角 线AC、BD互相垂直平分； 逆命题：若四边形ABCD的对角线AC、BD互 相垂直平分，则四边形ABCD是菱形； 否命题：若四边形是ABCD不是菱形，则对 角线AC、BD不互相垂直平分； 逆否命题：若四边形ABCD的对角线AC、BD 不互相垂直平分，则四边形ABCD不是菱 形 方法总结 解此类题的难点在于有的命题是 由三部分组成的，既有前提、条件、结论， 正确地区分命题的前提、条件是解决问题的 关键 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题， 并判断其真假： (1)实数的平方是非负数； (2)若q1，则方程x22x
9、q0有实根 解析 (1)逆命题：如果一个数的平方是非 负数，则这个数是实数真命题 否命题：如果一个数不是实数，则它的平方 不是非负数真命题 逆否命题：如果一个数的平方不是非负数，则这个数不是 实数真命题 (2)逆命题：若方程 x22xq0 有实根，则 q1，为真 命题 否命题：若 q1，则方程 x22xq0 无实根，真命题 逆否命题：若方程 x22xq0 无实根，则 q1，真命题. 否命题与命题否定形式的区别 写出下列命题的否命题及命题的否 定形式，并判断真假 (1)若m0，则关于x的方程x2xm0有 实根； (2)若x、y都是奇数，则xy是奇数 解析 (1)否命题：若m0，则关于x的方 程x
10、2xm0无实根(假命题) 命题的否定：若m0，则关于x的方程x2x m0无实根(假命题) (2)否命题：若x、y不都是奇数，则xy不是 奇数(假命题) 命题的否定：x、y满足x、y都是奇数，但x y不是奇数(真命题) 方法总结 命题的否定形式及否命题是两个 不同的概念，要注意区别，不能混淆从形 式上看，否命题既否定条件，又否定结论， 而命题的否定，条件不变，只否定结论 有下列四个命题： (1)“若xy0，则x、y互为相反数”的否 命题； (2)“若ab，则a2b2”的逆否命题； (3)“若x3，则x2x60”的否命题； (4)“对顶角相等”的逆命题 其中真命题的个数是( ) A0 B1 C2
11、D3 答案 B 解析 (1)“若xy0，则x、y不是相反数” 是真命题 (2)“若a2b2，则ab”，取a1，b0， 因为ab2，故是假 命题 (3)“若x3，则x2x60”，解不等式 x2x60可得2x3，而x43，不 是不等式的解，故是假命题 (4)“相等的角是对顶角”是假命题故选B. 四种命题关系的应用 判断命题“已知a、x为实数，若关 于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非 空，则a1”的逆否命题的真假 解题提示 可以通过判断原命题的真假来 判断它的逆否命题的真假也可以借助集合间 的包含关系，判断原命题的真假，进而判断它 的逆否命题的真假 解析 解法一：因为 a，x 为实数，关于
12、 x 的不等式 x2 (2a1)xa220 的解集非空，所以 (2a1)24(a2 2)0，即 4a70.解得 a7 4. 因为 a7 41，所以原命题为真 又因为原命题与逆否命题等价，所以逆否命题为真 解法二：设 p：关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 有 非空解集，q：a1， 则 p：Aa|关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 有实 数解a|(2a1)24(a22)0a|a7 4， 命题 q：Ba|a1 因为 AB，所以“若 p，则 q”为真 所以“若 p，则 q”的逆否命题“若 q，则 p”为真 即原命题的逆否命题为真 方法总结 逆否命题真假可以通过判断原命 题的真假得出，否命题的真假可以通过判断 逆命题的真假得出，因此，要判断四种命题 的真假，只需判断原命题和逆命题的真假即 可. 命题“若抛物线 yax2bxc 的开口向下，则 x|ax2bxc0”的逆命题、否命题、逆否命题中( ) A都是真命题 B都是假命题 C否命题真 D逆否命题真 误解 A 辨析 由题意，得原命题为真命题，从而错 误地认为它们的逆命题、否命题、逆否命题 都真 正解 D原命题为真命题，逆否命题 也为真命题但逆命题“若x|ax2bx c0，则抛物线yax2bxc的开口向下” 是假命题因为x|ax2bxc0时，开 口不一定向下，也可以向上否命题与逆命 题等价，故否命题也为假命题.
