1、常用逻辑用语常用逻辑用语 第一章第一章 1.3 充分条件、必要条件充分条件、必要条件 与命题的四种形式与命题的四种形式 第第1课时课时 推出与充分条件、必要条件推出与充分条件、必要条件 第一章第一章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个 开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯，这就是电器上常 用的“双刀”开关A 开关闭合时 B 灯一定亮吗？B 灯亮时 A 开关一定闭合吗？ 1.如何判断一个命题的真假？ 2把下列命题改成“若p则q”的形式，并 判断真假？ 当acbc时，
2、ab. 答案：1.判断一个命题的真假，就是看由条 件能否得出其结论在判断命题时，首先要 理解命题的结论，然后联系其他有关知识来 判断 2若acbc，则ab.假命题. 一、充分条件、必要条件 当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是 真命题时，我们就说由p成立可推出q成立， 记作pq，读作“p推出q” 一般地，已知命题”若p，则q“为真，则记为 pq，这时我们就称p是q的充分条件，q是p 的必要条件 理解充分条件、必要条件的定义要注意以下 三点： (1)p是q的充分条件是指p成立就足够保证q成 立；q是p的必要条件是指q是p成立必不可少 的条件，q成立，p不一定成立，但q不成立， p一定不成立
3、(2)“若p则q”是真命题，pq，p是q的充分 条件，q是p的必要条件三种说法是等价的 (3)判定充分条件、必要条件只是对“p能推 出q”进行了单向探讨，至于“q能否推出p” 这需结合定义理解，判断“若q则p”的真 假 “(2x1)x0”是“x0”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条 件 答案 B 解析 (2x1)x0 解得 x1 2或 x0，所以(2x1) x0 是 x0 的必要不充分条件 二 充要条件 1一般地，如果pq，且qp，则称p是q的 充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记 作pq. 理解充要条件要注意以下两点： (1)pq，那么p、
4、q互为充要条件 (2)“p是q的充要条件”可以叙述为“q当且仅 当p”或“p与q等价” 2充要条件与集合间的关系： (1)若 AB，则 A 是 B 的充分条件，B 是 A 的必要条件； (2)若 AB，则 A 是 B 的充要条件； (3)若 A B 且 B A，则 A 既不是 B 的充分条件，也不是 B 的必要条件 对上述关系可用 Venn 图表示，如图所示 A 是 B 的充分不必要条件，B 是 A 的必要不充分条件 设Ax|xp，Bx|xq，即x具有性质p， 则xA，若x具有性质q，则xB.如果AB， 就是说若xA，则x必具有性质p，则pq； 类似地AB与pq等价例如，A中学 生，B学生，A
5、B，即某人是中学生， 必是学生，若是学生，但不一定是中学生， 所以“某人是中学生”是“某人是学生”的 充分不必要条件从集合的角度分析可以加 深我们对充要条件的直观性的理解，如上述 问题也可以用Venn图(如图右图)表示 “a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0， )内单调递增”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 本题利用函数的图象确定字母的取值 范围，再利用充要条件的定义进行判断 当a0时，f(x)|(ax1)x|x|在区间(0， )上单调递增； 当a0时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2 x|的图象知函数在(0
6、，)上先增后减再增， 不符合条件，如图(2)所示 所以，要使函数f(x)|(ax1)x|在(0，) 上单调递增只需a0. 即“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在(0， )上单调递增”的充要条件 三 充要条件的证明 (1)有关充要条件的证明问题，要分清哪个是 条件，哪个是结论，由“条件”“结论”是 证命题的充分性，由“结论”“条件”是证命 题的必要性证明分为两个环节：一是充分 性；二是必要性证明时，不要认为它是推 理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到 结论，由结论到条件的两次证明 (2)等价法：就是从条件(或结论)开始，逐步 推出结论(或条件)，但要注意每步都是可逆 的，即反过来也能推
7、出 求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根 为1的充要条件是abc0. 证明 必要性：方程ax2bxc0有一 个根为1，x1满足方程ax2bxc0， a12b1c0，即abc0. 充分性：abc0，cab，代 入方程ax2bxc0中可得ax2bxab 0，即(x1)(axab)0.故方程ax2bx c0有一个根为1. 综上所述：原命题成立 课堂典例探究课堂典例探究 给出下列四组命题： (1)p：x20；q：(x2)(x3)0； (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全 等； (3)p：mb2”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案
8、D 解析 设a1，b2，则有ab，但 a2ba2b2；设a2，b1，则 有a2b2，但ab2ab，故选D. 用集合判断充要条件 设命题甲为：00.若p是q的充分不必要条件，求正实数 a的取值范围 解题提示 p 是 q 的充分不必要条件， 从集合的观点看就 是 A B. 解析 解不等式 x28x200， 得 p:Ax|x10 或 x0，得 q:Bx|x1a 或 x0 依题意：pq，但是 q 不能推出 p，说明 A B. 于是有 a0 1a10 1a2 ， (说明：“1a10”与“1a2”中等号不能同时取 到) 解得 00 ，(说明：“1a2”与“1 a10”中的等号不能同时取到) 0a3， 正实
9、数 a 的取值范围 0a3. 一元二次方程ax22x10(a0) 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 ( ) Aa0 Ca1 Da1 误解 D 因为方程 ax22x10 有一个正根和一个负 根，所以 x1x21 a0，即 a0，a0a1，故选 D. 辨析 知识点掌握的不够牢固，不够熟练， 一般会出现这种问题充分不必要条件和必 要不充分条件的应用在解题时往往易产生混 淆性错误，出错原因有两个：对定义理解 不够深刻比如说：p是q的充分条件，我们 也可以说成q是p的必要条件它们都是表述 相同的关系，只是换个说法而已；对数学 中的文字语言把握不准确比如说：p是q的 充分条件，我们也可以说成q的充分条件是p. 根据经验，有的同学对后一种说法不注意或 不理解在解题中，同学们一方面只要牢牢 抓住我们的记忆口诀“推出”即“充分”， “被推出”即“必要”，“推不出”就是 “不充分”，“不被推出”就是“不必要” 就可解决第一个错因；另一方面，在解题中， 把题目所给出的形式还原成定义形式(p是q的 条件)可豁然开朗 正解 C 因为方程 ax22x10 有一个正根和一个负 根，所以 x1x21 a0，即 a0(我们可以这样考虑：答案是 a0 的充分不必要条件)，所以设 Aa|a0，Ba|a1，B A， 所以 B 是 A 的充分不必要条件，故选 C.
