1、1.3.2 函数的极值与导数 2 2 f (x)=3x +6f (x)=3x +6解解：x-24x-24 令令f(x)=0，f(x)=0， ,=3(x+4)(x-2)=3(x+4)(x-2) 3232 1.1.求求函函数数f(x)=x +3x -24x-20f(x)=x +3x -24x-20的的单单调调区区间间. . 临临点点 1212 得得界界x = -4, x =2.x = -4, x =2. 区间区间 (-，-4) -4 (-4，2) 2 (2，+) f (x) 0 0 f(x) f(x)f(x)在在( (- -，- -4), (24), (2，) )内单调递增，内单调递增， 你记住了
2、你记住了 吗？吗？ 有没有搞错，有没有搞错， 怎么这里没有填上？怎么这里没有填上？ 求导数求导数求临界点求临界点列表列表写出单调性写出单调性 + + - f f (x)0 (x+4)(x(x)0 (x+4)(x- -2)0 x0 x2x2 f(x)f(x)在在( (- -4 4，2)2)内单调递减内单调递减. . f f(x)a时时h(t)h(t)的单调性是怎样的呢？的单调性是怎样的呢？ t=a ta a t h o 最高点最高点 导数的符号有什么变化规律？导数的符号有什么变化规律？ 在在t=at=a附近，附近，h(t)h(t)先增后减，先增后减，h h (t)(t)先正后负，先正后负， h
3、h (t)(t)连续变化，于是有连续变化，于是有h h (a)=0,f(a)(a)=0,f(a)最大最大. . 那么下面图象的最高点那么下面图象的最高点h h（a a）代表什么意义呢？）代表什么意义呢？ 这就是本节课研究的重点这就是本节课研究的重点函数的极值函数的极值 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 1.1.探索并应用函数极值与导数的关系求函数探索并应用函数极值与导数的关系求函数 极值极值. .（重点）（重点） 2.2.利用导数信息判断函数极值的情况利用导数信息判断函数极值的情况. .（难点）（难点） 如如图图3.3-103.3-10和和图图3.3-11,3.3-11,函函数数y =
4、f xy = f x 在在 a,b,c,d,e,f,g,ha,b,c,d,e,f,g,h等等点点的的函函数数值值与与这这些些点点附附近近 的的函函数数值值有有什什么么关关系系?y = f x?y = f x 在在这这些些点点的的导导数数 值值是是多多少少? ?在在这这些些点点附附近近,y = f x,y = f x 的的导导数数的的符符号号 有有什什么么规规律律? ? a box y xfy 图图3.3-103.3-10 cd ef o g h x y xfy 图图3.3-113.3-11 探究点探究点 函数的极值与导数函数的极值与导数 . 以以a,ba,b两两点点为为例例, ,我我们们可可以
5、以发发现现, , 函函数数y = f xy = f x 在在 点点x = ax = a的的函函数数值值f af a 比比它它在在点点x = ax = a附附近近其其他他 点点的的函函数数值值都都小小,a = 0;,a = 0;而而且且在在点点x = ax = a附附 近近的的左左侧侧x 0 f f ffff 类类似似地地, , 函函数数y = f xy = f x 在在点点x = bx = b的的函函数数值值f bf b 比比它它 在在点点x = bx = b附附近近其其他他点点的的函函数数值值都都大大,b = 0;,b = 0; 而而且且在在点点x = bx = b附附近近的的左左侧侧x 0
6、,x 0,右右侧侧x 0,即x 2,或x 2,或x 0,还还是是x 0,即即函函数数 f x = xf x = x 是是单单调调递递增增的的, ,所所以以x = 0x = 0不不是是函函数数f x = xf x = x 极极值值点点. .一一般般地地, , 函函数数y = f xy = f x 在在一一点点的的导导数数值值为为0 0是是 函函数数y = f xy = f x 在在这这点点取取极极值值的的必必要要条条件件, ,而而非非充充分分条条件件. . f f f f 求可导函数求可导函数f(x)f(x)极值的步骤：极值的步骤： (2)(2)求导数求导数f f(x)(x)； (3)(3)求方
7、程求方程f f(x) =0(x) =0的根；的根； (4)(4)把定义域划分为把定义域划分为部分区间，并列成表格部分区间，并列成表格 检查检查f f(x)(x)在方程根左右的符号在方程根左右的符号 如果如果左正右负左正右负（+ + - -），）， 那么那么f(x)f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值；值； 如果如果左负右正左负右正（- - + +），）， 那么那么f(x)f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极小小值；值； (1) (1) 确定函数的确定函数的定义域定义域； 总结提升总结提升 一一般般地地, ,求求函函数数y=f xy=f x 的的极极值值的的方方法法是是: : 0
8、0 0 0 （2 2）如如果果在在x x 附附近近的的左左侧侧x 0, 那那么么f xf x是是 ffff 极极小小值值. . 0 0 0 0 0 0 解解方方程程x = 0.x = 0.当当x= 0x= 0时时: : （1 1） 如如果果在在x x 附附近近的的左左侧侧x 0,x 0,右右侧侧x 0,x 0, 那那么么f xf x是是 ffff ffff 极极大大值值; ; 1.1.下面说法正确的是下面说法正确的是 . . A.A.可导函数必有极值可导函数必有极值 B.B.可导函数在极值点的导数一定等于零可导函数在极值点的导数一定等于零 C.C.函数的极小值一定小于极大值函数的极小值一定小于
9、极大值 （设极小值、极大值都存在）（设极小值、极大值都存在） D.D.函数的极小值（或极大值）不会多于一个函数的极小值（或极大值）不会多于一个 B B 注意：注意： 函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，函数极值是在某一点附近的小区间内定义的， 是局部性质是局部性质. .因此一个函数在其整个定义区间上可能因此一个函数在其整个定义区间上可能 有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在 某一点的极大值也可能小于另一点的极小值某一点的极大值也可能小于另一点的极小值. . 2.2.函数函数y=f(x)的导数的导数y与函数值和极值之间的关系与函数值和极值之
10、间的关系 为为 ( )( ) A.A.导数导数y由负变正由负变正, ,则函数则函数y y由减变为增由减变为增, ,且有极大值且有极大值 B.B.导数导数y由负变正由负变正, ,则函数则函数y y由增变为减由增变为减, ,且有极大值且有极大值 C.C.导数导数y由正变负由正变负, ,则函数则函数y y由增变为减由增变为减, ,且有极小值且有极小值 D.D.导数导数y由正变负由正变负, ,则函数则函数y y由增变为减由增变为减, ,且有极大值且有极大值 D D 函数函数 在在 时有极值时有极值1010，则，则 a，b的值为（的值为（ ） A. A. 或或 B. B. 或或 C. C. D. D.
11、以上都不对以上都不对 322 ( )f xxaxbx a1x 3,3ab 4,11ab 4,1ab 4,11ab 4,11ab C C 3. 解解: :由题设条件得：由题设条件得： / (1)10 (1)0 f f 2 110 320 aba ab 解之得解之得 34 311 aa bb 或或 通过验证，通过验证，a=3,b=3a=3,b=3时，不合题意时，不合题意. . 注意：注意：f f (x (x0 0)=0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件. . 注意代注意代 入检验入检验 3232 0 0 0 0 4.4.已已知知函函数数f(x)= ax +bx +c
12、xf(x)= ax +bx +cx在在点点x x 处处取取得得 极极大大值值5,5,其其导导函函数数y = f(x)y = f(x)的的图图( (如如图图) )过过点点 （1,01,0）（, 2,0, 2,0）, , 求求：（1 1） x x 的的值值；（2 2）a,b,ca,b,c的的值值； 象 2,9,12abc 解解得得 . 2b 3 3a c 2 3a 或或 ( ) ( ) f13a2bc0 f212a4bc0 0 1x 解：解： (1)(1)由图象可知：由图象可知： 2 (32(0) fxaxbxca） ( )f 1abc5 (2)(2) 注意数注意数 形结合形结合 极值定义极值定义
13、 2 2个关键个关键 可导函数可导函数y=f(x)y=f(x)在极值点处的在极值点处的f f(x)=0(x)=0 . . 极值点左右两边的导数必须极值点左右两边的导数必须异号异号. . 3 3个步骤个步骤 确定定义域确定定义域 求求f f(x)=0(x)=0的根的根 并列成表格并列成表格 用方程用方程f f(x)=0(x)=0的根，顺次将函数的定义域的根，顺次将函数的定义域 分成若干个开区间，并列成表格由分成若干个开区间，并列成表格由f f(x)(x)在方程在方程 根左右的符号，来判断根左右的符号，来判断f(x)f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况. . 我以为挫折、磨难是锻炼意志、增强能力 的好机会. 邹韬奋
