1、-1- 第第2课时课时 平面与平面平行平面与平面平行 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中面面平行 的相关定理、推论和性质. 2.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理,并 能利用以上定理解决空间中的平行性问题. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示法 公共点个数 两平面平行 无
2、斜交 =a 无数个 垂直 , =a 无数个 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.两个平面平行 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 1一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,那么 这两个平面平行吗? 提示:不一定,这无数条直线可能没有两条相交,即全部平行.举反例如 下图: JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习
3、 3.三个平面平行的性质 两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. 思考 2两个平面平行,则这两个平面内的所有直线一定相互 平行吗? 提示:不一定.也可能是异面直线,但可以肯定的是,它们不相交. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究一 平面与平面平行的判定定理 平面与平面平行判定的四种常用证明方法: (1)(定义法)证明两个平面没有公共点,通常采用反证法. (2)(利用判定定理)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平 面,证明时应遵循先找后作的原则,即先在一个
4、平面内找到两条与另一个平 面平行的相交直线,若找不到再作辅助线. (3)(转化为线线平行)平面 内的两条相交直线与平面 内的两条直线 分别平行,则 . (4)(利用平行平面的传递性)若 ,则 . ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 【典型例题1】 如图所示,三棱柱ABC A1B1C1,D是BC上一点,且A1B 平面 AC1D,D1是 B1C1的中点. 求证:平面 A1BD1平面 AC1D. 思路分析:由 A1B平面 AC1D平面 A1BC平面 AC1D=ED,A1BEDD 为
5、BC 中点得出结论. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 证明:如图所示,连接 A1C 交 AC1于点 E, 因为四边形 A1ACC1是平行四边形, 所以 E 是 A1C 的中点,连接 ED, 因为 A1B平面 AC1D, 平面 A1BC平面 AC1D=ED, 所以 A1BED. 因为 E 是 A1C 的中点, 所以 D 是 BC 的中点. 又因为 D1是 B1C1的中点, 所以 BD1C1D,A1D1AD. 又 A1D1BD1=D1,ADC1D=D, 所以平面 A1BD1平面
6、 AC1D. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究二 平面与平面平行的性质定理 1.平面与平面平行的性质定理实际给出了判定两条直线平行的一种方 法,应用时需要作(找)出第三个平面与已知的两个平行平面的交线,从而说 明两交线平行.类似于线面平行的性质定理,是以平面为媒介证明线线平行 的.该定理可以简单地概括为:面面平行线线平行. 2.两个平面平行除了具有上述性质外,还有以下结论,这些结论在证题 中经常遇到. (1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任一直线均平行于另一 个
7、平面. (2)夹在两个平行平面间的平行线段相等. (3)经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. (5)平行于同一平面的两个平面平行(即平行平面的传递性). ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 【典型例题 2】 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 为 CC1的中点, 求证:AC平面 DB1E. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG
8、LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 证明:取 B1B 的中点 F,连接 EF,FC,FA, 因为 E,F 为中点, 所以 EFBC, 又因为 BCAD, 所以 EFAD, 所以四边形 EFAD 为平行四边形, 所以 AFDE, 又因为 E,F 为中点,且 C1CB1B, 有 CEB1F, ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 所以四边形 CEB1F 为平行四边形, 所以 B1EFC, 因为 B1EDE=E,CFAF=F, 所以平面 ACF平面 DB1E, 因为 AC
9、平面 ACF, 所以 AC平面 DB1E. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 【典型例题 3】 如图,已知,点 P是平面, 外的一点(不在 与 之间),直线 PB,PD 分别与 , 相交于点 A,B 和 C,D. (1)求证:ACBD. (2)已知 PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求 PD 的 长. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 解:(1
10、)证明:因为 PBPD=P, 所以不妨设直线 PB 和 PD 确定一个平面 ,则 =AC,=BD. 又 ,所以 ACBD. (2)由(1)得 ACBD, 所以 = ,所以 4 5 = 3 , 所以 CD=15 4 (cm), 所以 PD=PC+CD=27 4 (cm). ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究三 探索型问题 解探索型问题常用策略: (1)(条件探索型)所给问题结论明确,需要完备条件或条件需探索,或条 件增删需确定,或条件正误需判断. (2)(结论探索型)先探索
11、结论再去证明,在探索过程中常先从特殊情况 入手,通过观察、分析、归纳进行猜测,得出结论,再就一般情况去证明结论. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 【典型例题 4】 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD,E,F 分别为 PC,PD 的中点,在底面 ABCD 内是否存在点 Q,使平面 EFQ平面 PAB?若 存在,确定点 Q 的位置;若不存在,说明理由. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIAN
12、XI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 解:存在.点 Q 在底面 ABCD 的中位线 GH 上,理由如下: 取 AD,BC 的中点 G,H,连接 FG,HE,GH. 因为 F,G 分别为 DP,DA 的中点,所以 FGPA. 因为 FG 平面 PAB,PA 平面 PAB, 所以 FG平面 PAB. 因为 ABCD,EFCD,EFAB, 而 EF 平面 PAB,AB 平面 PAB, 所以 EF平面 PAB. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 因为 EFFG=F,所以平面 EFG
13、平面 PAB. 又 GHCD,所以 GHEF. 所以平面 EFG 即平面 EFGH. 所以平面 EFGH平面 PAB. 又点 Q平面 ABCD,所以点 Q(平面 EFGH平面 ABCD).所以点 QGH. 所以点 Q 在底面 ABCD 的中位线 GH 上. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 1.下列说法中,错误的是( ) A.平行于同一直线的两个平面平行 B.平行于同一平面的两个平面平行 C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行 D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一
14、个相交 解析:平行于同一直线的两个平面有可能相交,如在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 ABCD 与平面 A1ABB1都与 C1D1平行,但平面 ABCD 与平面 A1ABB1 相交. 答案:A SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 2.若 ,a ,下列四个命题中正确的是( ) a 与 内所有直线平行;a 与 内的无数条直线平行;a 与 内的任何 一条直线都不垂直;a 与 无公共点. A. B. C. D. 解析:由性质知错误;由定义知正确;因为a与内的直线可能异面垂直,
15、 故错误;由定义知正确,故选 B. 答案:B SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.如图是正方体的平面展开图: 在这个正方体中,BM平面 ADE;CN平面 BAF;平面 BDM平面 AFN;平面 BDE平面 NCF. 以上说法正确的是 (填序号). SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 解析:以 ABCD 为下底还原正方体,如图所示, 则易判定四个说法都正确. 答案:
16、SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 4.如图所示,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,底面是梯 形,ABCD,CD=2AB,P,Q 分别是 CC1,C1D1的中点,求证:平面 AD1C平面 BPQ. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 证明:因为 D1Q1 2DC,AB 1 2DC,所以 D1QAB, 所以四边形 D1QBA 是平行四边形,所以 D1AQB. 因为
17、 Q,P 分别为 D1C1,C1C 的中点,所以 QPD1C. 因为 D1CD1A=D1,PQQB=Q, 所以平面 AD1C平面 BPQ. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,如图所示,E,F分别为A1C1,B1C1的中点,D为棱 CC1的中点,G 是棱 AA1上一点,且满足 A1G=mAA1,若平面 ABD平面 GEF, 试求 m 的值. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 解:因为平面 ABD平面 GEF, 平面 AA1C1C 交平面 ABD,平面 GEF 分别为 AD,GE, 所以由面面平行的性质定理得 ADGE, 所以ADCEGA1. 又因为 D 为 CC1的中点,E 为 A1C1的中点, 所以1E = 1G = 1 2, 即 A1G=1 2CD= 1 2 1 2CC1= 1 4AA1, 由 A1G=mAA1,得 m=1 4,所以 m 的值为 1 4.
