1、-1- 2.3.4 圆与圆的位置关系 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.了解圆与圆的位置关系. 2.掌握圆与圆的五种位置关系的判断,并能运 用两圆位置关系解决有关实际问题. 3.会通过两圆方程联立得到的方程组的解来 研究两圆位置关系. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 圆与圆位置关系的判定 1.几何法 若两圆的半径分别为 r1,r2,两圆的圆心距为 d,则两圆的位置
2、关系的判 断方法如下: 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d 与 r1,r2 的关系 dr1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|0), 联立方程得 2 + 2+ 1x+ 1y+ 1= 0, 2+ 2+ 2x+ 2y+ 2= 0, 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2 组 1 组 0 组 两圆的公共点个数 2 个 1 个 0 个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 3如何利用代数法来判断圆 x2+y2-4x+6y=
3、0 和圆 x2+y2-6x=0 的位置关系? 提示:联立方程 2 + 2-4x + 6y = 0, 2+ 2-6x = 0, -得 2x+6y=0,即 x=-3y. 把代入并整理,得 5y2+9y=0. 故 =81-450=810,即两圆相交. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 圆与圆位置关系的判断 判断两圆的位置关系的方法有两种: (1)(几何法)利用两圆圆心之间的距离d与两圆的半径r1,r2的关系判断: 外离dr1+r2;外切d=r1+r2
4、;相交|r1-r2|0且r是定值,a,b是参 数. 3.过圆 C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 与直线 l:Ax+By+C=0 的交点的圆系方程 为 x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R). 4.过圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点 的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1). 若 =-1,则方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,表示过两圆交点的直线方 程. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISH
5、I 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例题 5】 求经过圆 x2+y2+6x-4=0 和圆 x2+y2+6y-28=0 的交点 且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的方程. 思路分析:解法一:首先求出交点坐标,然后用待定系数法求解;解法二: 利用圆系方程求解. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 解法一:解方程组 2+ 2+ 6x-4 = 0, 2+ 2+ 6y-28 = 0, 得两圆
6、的交点 A(-1,3),B(-6,-2). 设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线 x-y-4=0 上,故 b=a-4. 则有 ( + 1)2+ (a-4-3)2= ( + 6)2+ (a-4 + 2)2, 解得 a=1 2,故圆心为 1 2 ,- 7 2 , 半径为 1 2 + 1 2 + - 7 2 -3 2 = 89 2 . 故圆的方程为 - 1 2 2 + + 7 2 2 = 89 2 , 即 x2+y2-x+7y-32=0. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究
7、四 探究五 探究六 解法二:设所求圆的方程为 x2+y2+6x-4+(x2+y2+6y-28)=0(-1),其圆 心为 - 3 1+ ,- 3 1+ ,代入 x-y-4=0 求得 =-7. 故所求圆的方程为 x2+y2-x+7y-32=0. 点评求圆的方程方法较多,但利用圆系方程或圆的几何性质求 解,运算量小且简单. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究六 易错辨析 易错点:因方程丢解而致误 【典型例题6】 已知集合A=(x,y)|x2+y2=4,B
8、=(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=a2, 若 AB 中有且仅有一个元素,求 a 的值. 错解:由条件 AB 中有且仅有一个元素可知两圆相切,所以 |O1O2|=5=a+2 或 5=a-2.所以 a=3 或 a=7. 错因分析:把 a 误认为是正数而导致丢解. 正解:由 AB 中有且仅有一个元素,可知两圆相切, 所以|O1O2|=5=|a|+2 或 5=|a|-2|,解得 a= 3 或 a= 7. 综上所述,可知 a 的值为 3 或 7. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5
9、1.两圆相交于点 A(1,3),B(m,-1),两圆的圆心均在直线 x-y+c=0 上,则 m+c 的 值为( ) A.-1 B.2 C.3 D.0 解析:AB 的中点 +1 2 ,1 在直线 x-y+c=0 上. 所以+1 2 -1+c=0,所以 m+2c=1. 又因为 kAB=-1=3-(-1) 1- = 4 1-,所以 m=5. 所以 c=-2,所以 m+c=3. 答案:C SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 2.若圆 O1:x2+y2=4 与 O2:x2+y2-2ax+a2
10、-1=0 内切,则 a= . 解析:两圆的圆心和半径分别为 O1(0,0),r1=2,O2(a,0),r2=1,由两圆内切可得 d(O1,O2)=r1-r2,即|a|=1,所以 a= 1. 答案: 1 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦的长为 2 3,则 a= . 解析:x2+y2+2ay=6,x2+y2=4,两式相减得 y=1 . 联立 = 1 , 2+ 2= 4, 消去 y 得 x2=4 2-1 2 (
11、a0). 所以 2 42-1 =2 3,解得 a=1. 答案:1 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 4.求和圆 C:(x-2)2+(y+1)2=4 相切于点 P(4,-1)且半径为 1 的圆的方程. 解:由圆(x-2)2+(y+1)2=4 知,圆心 C(2,-1),半径为 2, 所以 PC 的方程为 y=-1,故所求圆心纵坐标为-1. 设横坐标为 a,则有|4-a|=1,故 a=3 或 a=5. 即所求圆的圆心坐标为(3,-1)或(5,-1), 故所求圆的方程为(x-3)2+(y
12、+1)2=1 或(x-5)2+(y+1)2=1. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.求半径为 1,且与圆 x2+y2=4 相切的动圆圆心的轨迹方程. 解:设动圆圆心为 M,若两圆内切,则圆心距 d=|2-1|=1,由圆的定义知 M 点的 轨迹是以 O 为圆心,1 为半径的圆,其方程为 x2+y2=1; 若两圆外切,则圆心距 d=|2+1|=3,由圆的定义知 M 点的轨迹是以 O 为 圆心,3 为半径的圆,其方程为 x2+y2=9. 综上所述,动圆圆心的轨迹方程为 x2+y2=1 或 x2+y2=9.
