1、-1- 2.3.3 直线与圆的位置关系 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.能熟练地解二元方程组,并通过解方 程或方程组,解决直线与圆的位置关系 问题. 2.能根据给定的直线的方程、圆的方程 用代数法和几何法两种方法来判断直 线与圆的位置关系. 3.掌握求圆的切线的方法,并会求与圆 有关的最值问题. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.直线与圆的位置关系 直线 l:
2、Ax+By+C=0(A2+B20),圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0), 设圆心(a,b)到直线的距离是 d,d=|+| 2+2 ,则有: 位置关系 几何特征 代数特征(方程联立) 相离 dr 无实数解(0,可知直线与圆有两个公共点. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.圆的切线方程 当点(x0,y0)在圆x2+y2=r2上时,过点(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. 思考 2过圆上一点有几条切线?过圆外一点有几条切线? 提示:过圆上一点一定有 1 条切线,过圆外一点
3、一定有 2 条切线. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 3.弦长问题 求弦长的方法有以下 2种: (1)几何法:由圆的性质知,过圆心 O 作 l的垂线,垂足 C为线段 AB的中 点.如图所示,在 RtOCB 中,|BC|2=r2-d2,则弦长|AB|=2|BC|,即|AB|=2 2-2. (2)代数法:将直线方程与圆的方程联立,运用根与系数的关系可知,弦 长|AB|= 1 + 2|x1-x2|= 1 + 2 (1+ 2)2-412. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN N
4、ANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 3过圆 C 内一点 P(不同于圆心)的所有弦中,何时最长? 何时最短? 提示:过圆内一点P的所有弦中,当弦经过圆心C时弦最长,等于直径的 长;当弦与过点 P 的直径垂直时弦长最短. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究一 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系的判断方法: (1)(几何法)由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断; (2)(代数法)根据直线与圆的方程组成的方程
5、组解的个数来判断; (3)(直线系法)若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系判断,但 有一定的局限性,必须是过定点的直线系. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题1】 (1)已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则( ) A.l 与 C 相交 B.l 与 C 相切 C.l 与 C 相离 D.以上三个选项均有可能 解析:(方法一)圆C的方程是(x-2)2+y2=4,所以点P到圆心C(2,0)的距离 是 d=10,即 kr,即 |
6、+5| 2+11 时,k- 12 5 ,此时直线 l 与圆 C 相离. 当 d=r,即 |+5| 2+1=1 时,k=- 12 5 ,此时直线 l 与圆 C 相切. 当 dr,即 +5 2+11 时,k2,故直线与圆相离. 答案:A SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 2.已知直线 l:ax-y-b=0,圆 C:x2+y2-2ax-2by=0,则 l 与 C 在同一坐标系中的图 形只可能是( ) 解析:由圆的方程,易知圆 C 过原点,所以 A,C 项均不正确;再由圆心坐标、 直线的
7、斜率知 B 项正确. 答案:B SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.若圆x2+y2-2x-4y=0被直线x-y+a=0截得的弦长为3 2,则a的值为( ) A.-2 或 2 B.1 2 或 3 2 C.2 或 0 D.-2 或 0 答案:C SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 4.过点 A(3,-4),且与圆 x2+y2=25 相切的直线方程是 . 答案:3x-4y
8、-25=0 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.已知圆 C:x2+y2-4x-6y+12=0,求过点 A(3,5)的切线 l 的方程. 解:(1)设过点 A(3,5)的切线 l 的方程为 y-5=k(x-3)(其中倾斜角 90 ). 由直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 相切,得圆心 C(2,3)到 l 的距离等于圆 的半径 1, 即 d=|(2-3)-3+5| 2+1 =1,解得 k=3 4. 所以切线 l 的方程为 y-5=3 4(x-3),即 3x-4y+11=0. (2)因为点 A(3,5)在圆 C 外,故过点 A(3,5)作切线有两条,上面的结果告 诉我们另一条切线没有斜率,其方程为 x=3.由(1)(2)可知,所求的切线 l 的方 程为 3x-4y+11=0 或 x=3.
