人教B版必修2数学课件：1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球.ppt

1、-1- 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.理解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概 念,并能从运动的观点来认识这四种几 何体的形成过程. 2.掌握圆柱、圆锥、圆台和球的轴截面 的结构特征. 3.能运用圆柱、圆锥、圆台、球及简单 组合体的结构特征来描述现实生活中 简单物体的结构. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.圆柱、圆锥、圆台 圆柱

2、圆锥 圆台 定 义 以矩形的一边所在的 直线为旋转轴,其余各 边旋转而形成的曲面 所围成的几何体叫做 圆柱 以直角三角形的一条直 角边所在的直线为旋转 轴,其余各边旋转而形成 的曲面所围成的几何体 叫做圆锥 以直角梯形垂直于底边的 腰所在的直线为旋转轴,其 余各边旋转而形成的曲面 所围成的几何体叫做圆台 图 形 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 表示 圆柱 O1O 圆锥 SO 圆台 O1O 结 构 特 征 底面 两底面平行且半径相 等的圆面 圆面 两底面是平行且半径不 相等的圆面 母线 平行且相等

3、相交于顶点 延长线交于一点 平行 于 底面 的 截面 与两底面平行且半径 相等的圆面 平行于底面 且半 径不相等的 圆面 与两底面平行且半径不 相等的圆面 轴截 面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 1将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开,在平 面上展开得到它们的侧面展开图分别是什么图形?请画出来. 提示:将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开,然后放在平 面上展开,它们分别是矩形、扇形和扇环,如图所示. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 Z

4、HONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 2教材中的“探索与研究” 对圆柱、圆锥、圆台: (1)平行于底面的截面是什么样的图形? (2)过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形? (3)研究圆柱、圆台和圆锥之间的关系. 提示:(1)平行于底面的截面都是圆. (2)过轴的截面,对于圆柱是矩形,对于圆锥是等腰三角形,对于圆台是 等腰梯形. (3)圆柱的上底面变小,就变为圆台,当上底面变为一个点时,它就变成 了圆锥. 圆台

5、是由圆锥截得的,“还台为锥”是解决圆台问题的常用办法. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.球 (1)概念:一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫 做球面,球面围成的几何体叫做球.形成球的半圆的圆心叫球心;连接球面上 一点和球心的线段叫球的半径;连接球面上两点且通过球心的线段叫球的 直径. (2)表示:用表示球心的字母表示球. (3)球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.球 面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆,被不经过球心的平面截得的 圆叫做球的小圆. (4)在

6、球面上,两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间 的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫做两点的球面距离. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 3球与球面有何区别? 提示:球与球面是两个不同的概念,球是几何体,球面是曲面.但两者也 有联系,即球面是球的表面. 思考 4实际生活中,飞机、轮船为什么尽可能以大圆弧为航 线航行? 提示:因为球面上两点间的最短距离是球面距离,这样走可使行程最短. 特别提醒类比平面上直线与圆的位置关系,平面与球有以 下几种位置关系:相离、相切、相交,其中相离是平面与球

7、无公共点,相切是 平面与球有且只有一个公共点,相交则是平面与球有无数多个公共点. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 3.组合体 由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体. 思考 5将矩形、直角三角形、直角梯形按如图所示的方式旋 转,得到的图形仍是圆柱、圆锥、圆台吗? 提示:不是.图旋转后得到的是组合体,大圆柱中间挖掉一个小圆柱, 图旋转后得到 2 个对底的圆锥,图得到的几何体是一个圆锥和一个圆 柱的组合体. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN

8、 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 知识链接(1)经线与经度 经线是地球表面上从北极到南极的半个大圆,在同一条经线上的点的 经度都相等,如图所示,圆 O 是赤道面,圆 O是纬线圈,P 点的经度与 A 点的 经度相等,如果经过点 B 的经线是本初子午线(即 0 经线),则 P 点的经度等 于AOB,也等于POC. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 (2)纬线与纬度 赤道是一个大圆,它是0 纬线,其他的纬线都是小圆,它们是由与赤道面 平行的平面截球所得到的.某地的纬度就是经过这点的球半径

9、与该半径在 赤道面上的正投影所成的角的度数. 如图所示,圆O是赤道面,圆O是纬线圈,P点的纬度等于POA,也等于 OPO. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究一 概念辨析题 (1)对于旋转体,必须清楚直角梯形必须绕其垂直于底边的腰旋转才能 形成圆台;直角三角形必须绕直角边旋转才能形成圆锥;圆柱是由矩形绕其 一边旋转而形成的几何体,类比棱台的定义,圆台也可以看作是一个圆锥被 一个平行于底面的平面所截得的. (2)对于组合体我们要弄清楚它是由哪几个简单的几何体

10、组合而成的, 尤其对于旋转体先要看清所选取的旋转轴,再结合圆柱、 圆锥、圆台和球的 定义加以判断. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 1】 (1)下列说法中正确的是( ) A.圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的 B.圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的 C.圆柱不是旋转体 D.圆台可以看作是由平行于底面的平面截一个圆锥而得到的 解析:根据旋转体的定义及圆锥与圆台的内在联系易知 D 正确. 答案:D ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页

11、JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 (2)如图,由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成 的轴对称平面图形,若将它绕轴 l 旋转 180 后形成一个几何体, 下面说法不正确的是( ) A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 B.该组合体仍然关于轴 l 对称 C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D.该组合体中的球和半球只有一个公共点 解析:旋转 180 后形成的组合体是由一个圆锥、 一个球体、 一个半球、 一个圆柱和一个圆台组合而成,故选项 A 不正确. 答案:A ZHONGDIAN NANDIAN

12、 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究二 简单旋转体的计算问题 (1)对于圆柱的性质,要注意以下两点:一是轴线垂直于圆柱的底面;二 是三类截面的性质平行于底面的截面是与底面全等的圆,轴截面是一 个由上、下底面圆的直径和母线组成的矩形、平行于轴线的截面是一个由 上、下底面圆的弦和母线组成的矩形. (2)对于圆锥的性质,要注意以下两点:一是两类截面平行于底面的 截面是与底面相似的圆,过圆锥的顶点且与底面相交的截面是一个由两条 母线和底面圆的弦组成的等腰三角形;二是圆锥的母线 l、高 h 和底面圆的

13、 半径 R 组成一个直角三角形.有关圆锥的计算,一般归结为解这个直角三角 形,往往会用到关系式 l2=h2+R2. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 (3)对于圆台的性质,要注意以下两点:一是圆台的母线共点,所以由任 意两条母线确定的截面为一等腰梯形,但是与上、 下底面都相交的截面不一 定是梯形;二是圆台的母线 l、 高 h 和上底面圆的半径 r、 下底面圆的半径 R 组成一个直角梯形,且有 l2=h2+(R-r)2成立,有关圆台的计算问题,常归结为 解这个直

14、角梯形. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 2】 轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱,已知某等边圆 柱的轴截面面积为 16 cm2,求其底面周长和高. 思路分析:作出圆柱的轴截面,建立轴截面边长和圆柱底面半径、高之 间的关系,进而求解问题. 解:如图所示,作出等边圆柱的轴截面 ABCD, 由题意知,四边形ABCD为正方形,设圆柱的底面半 径为 r cm,则 AB=AD=2r. 其面积 S=ABAD=2r2r=4r2=16,解得 r=2. 所以其底面周

15、长 C=2r=22=4(cm),高 2r=4(cm). ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 点评解决圆柱基本量的计算问题,要抓住它的基本量:底面半径、 高(母线)与轴截面矩形之间的关系,注意在轴截面矩形中的一边长为圆柱 的高,另一边长为圆柱的底面直径. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 3】 用一个平行于圆锥底面的平

16、面截这个圆锥,截得圆台 的上、下底面半径的比是 1 ,截去圆锥的母线长是 l0,求圆台的母线长. 解:作原圆锥的截面图如图所示,设圆台的母线长为 l,截得圆锥底面与 原圆锥底面半径分别是 x,x,根据相似三角形的性质得: 0 0+l = = 1 ,所以 l=l0(-1). ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 点评圆锥平行于底面的截面是一个圆面,过圆锥的顶点作的截面 是一个等腰三角形,利用相似三角形的理论来求解圆台母线的长,体现了将 立体几何问题转化为平面几何问题

17、处理的基本思想. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究三 组合体问题 组合体问题中常见的主要是切接问题,解决此类问题关键要画出组合 体的核心截面,并保证截面图能搭建起两个或多个几何体的内在联系,能反 映出各个几何体的核心元素,这样就将立体几何问题的计算归结为平面几 何问题的计算. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题

18、 4】 若圆锥的轴截面是一个面积为 9 3 cm2的正三角形, 那么其内切球的半径为( ) A.4 cm B.6 cm C. 3 cm D. 3 cm 解析:轴截面如图所示,设正三角形SAB的边长为a cm,圆O的半径为R cm,则 1 2 3 2 aa= 3 4 a2=9 3, 所以 a=6. 又 SSOB+SSOA+SAOB=9 3, 所以 3 1 26R=9 3.所以 R= 3.故选 C. 答案:C ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 5】 一

19、个圆锥的底面半径为 2,高为 6,在其中有一个高为 x 的内接圆柱. (1)用 x 表示圆柱的轴截面面积 S. (2)当 x 为何值时,S 最大? 思路分析:考虑应用轴截面中的平行关系列比例式解决. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解:(1)根据题意作截面图如图所示,设内接圆柱的底面圆半径为 r, 由已知得6- 6 = 2, 所以 r=6- 3 . 所以 S=26- 3 x=-2 3x 2+4x,其中 0x6. (2)当 x=- 4 2 -2 3 =3 时,

20、S 最大. 点评涉及立体几何中的最值问题,一般是设出变元,利用函数思 想来解决. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究四 球中的计算问题 解决有关球的问题时常用到如下性质: (1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面,球心和截面圆圆心的连线 与这个截面垂直. (2)如果分别用 R 和 r 表示球的半径和截面圆的半径,用 d 表示球心到 截面的距离,则 R2=r2+d2.球的有关计算问题,常归结为解这个直角三角形问 题. ZHONGDIAN NANDIAN 重点

21、难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 6】 已知 A,B,C 是球 O 上的三点,AB=10,AC=6,BC=8,球 O 的半径等于 13,则球心 O 到ABC 所在小圆的距离为 . 思路分析:本题考查了球的性质及截面的性质应用,同时考查了学生识 图能力和运算能力.解答本题的关键是 AB 为小圆的直径. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解析:因为 AB=1

22、0,AC=6,BC=8, 所以ABC 为 Rt且 AB 为点 A,B,C 所在小圆的直径. 所以 r=5. 轴截面图如图,所以 d2=R2-r2=132-52=122, 所以 d=12. 答案:12 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究五 易错辨析 易错点:不理解球面距离的含义而致误 【典型例题 7】 设地球半径为 R,在北纬 45 圈上有 A,B 两地,它们的纬 线圈上的劣弧长等于 2 4 R,求 A,B 两地间的球面距离. ZHONGDIAN NANDI

23、AN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 错解:如图所示,A,B 是北纬 45 圈上两点,O为此纬线圈的圆心,易知 AOB 所对的劣弧 的长为所求球面距离. 故 A,B 两地间的球面距离为 2 4 R. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 错因分析:没有理解 A,B 两地间的球面距离是过 A,B 两点的大圆在 A,B 间的劣弧长度. 正解:如图所示,A,B 是北纬

24、45 圈上的两 点,AO为此纬线圈的半径, 所以 OOAO,OOBO. 因为OAO=OBO=45 , 所以 AO=BO=OAcos 45 = 2 2 R. 设AOB 为 , 则 180AO= 180 2 2 R= 2 4 R,所以 =90. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 连接 AB,则 AB= 2+ BO2= 2 2 R 2 + 2 2 R 2 =R. 在AOB 中,AO=BO=AB=R, 则AOB 为正三角形, 所以AOB=60 . 所以 A,B 两地间

25、的球面距离为60 180 = 3R. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 1.一个直角三角形绕斜边旋转 360 形成的空间几何体为( ) A.一个圆锥 B.一个圆锥和一个圆柱 C.两个圆锥 D.一个圆锥和一个圆台 答案:C SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 2.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,则截面不可能是( ) 解析:过球心的任何截面都不可能是正方形

26、内接于圆. 答案:D SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 3.一个圆台的上、 下底面面积分别是 cm2和 49 cm2,一个平行于底面的截 面面积为 25 cm2,则这个截面与上、下底面的距离之比是( ) A.2 1 B.3 1 C. 2 1 D. 3 1 解析:作圆台的轴截面如图所示, 则有 RtA1BERtBAF,所以 A1E BF=BE AF. 由已知易得 A1O1=1 cm,AO=7 cm,BO=5 cm. 所以 A1E BF=2 1. 答案:A SUITANG LIA

27、NXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 4.如果把地球看成一个球体,则地球上北纬 60 纬线长和赤道线长的比值为 ( ) A.0.8 B.0.75 C.0.5 D.0.25 解析:设地球半径为 R,北纬 60 纬线圈半径为 r, 所以 r=Rcos 60 =1 2R. 所以周长比值为 2 2 (2R)=1 2=0.5. 答案:C SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 5.已知半径为 5 的

28、球的两个平行截面的周长分别是 6 和 8,那么这两个平 行截面间的距离是 . 解析:分情况讨论:若这两个平行截面位于球心的同侧,则可求得平行截面 间的距离等于 1;若这两个平行截面位于球心异侧,则可求得平行截面间 的距离等于 7. 答案:1 或 7 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 6.已知圆锥底面半径为 1 cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,求这个内 接正方体的棱长. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 解:过圆锥的顶点和正方体的一个对角面作截面,得到圆锥的轴截面,如图所 示. 设 CC1=x,则 C1D1= 2x,作 SOEF 于点 O,则 SO= 2,OE=1. 因为ECC1ESO, 所以1 = 1 .所以 2 = 1- 2 2 x 1 , 解得 x= 2 2 . 所以正方体的棱长是 2 2 cm.