1、-1- 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.掌握棱柱、棱锥和棱台的表面积公式 的推导方法,进一步加强空间问题与平 面问题相互转化的思想,并熟练运用公 式求面积. 2.了解棱柱、棱锥和棱台的侧面积的求 法侧面展开图. 3.了解球的表面积公式,并会熟练运用公 式求球的表面积. 4.了解旋转体的构成,并会求旋转体的表 面积. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITAN
2、G LIANXI 随堂练习 1.棱柱、棱锥、棱台的侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧=ch c 为底面周长 h 为高 正棱锥 S正棱锥侧=1 2ch c 为底面周长 h为斜高, 即侧面等腰三角形的高 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 正棱台 S正棱台侧=1 2(c+c)h c为上底面周长 c 为下底面周长 h为斜高, 即侧面等腰梯形的高 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 1斜
3、棱柱的侧面展开图是什么?它的侧面积如何求解? 提示:斜棱柱的侧面展开图是一些平行四边形连接起来的不规则图形, 它的侧面积等于各个侧面面积之和,也等于直截面(与侧棱垂直相交的截面) 的周长与侧棱长的乘积. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.圆柱、圆锥的侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 圆柱 S圆柱侧=2rl r 为底面半径 l 为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧=rl r 为底面半径 l 为侧面母线长 思考 2圆台的侧面积公式如何推导? 提示:圆台的侧面展开图是一个扇形环,它的侧面积可以利用大扇形
4、与 小扇形面积作差推出.(S圆台侧=(r1+r2)l,其中 r1,r2分别是圆台上、下底面圆 的半径,l 为圆台的侧面母线长) JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 3.球的表面积 S球=4R2(球的半径为 R). 思考 3球的表面能展开吗? 提示:不能.因此球的表面积公式推导需要借助后续的知识得以解决. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 棱柱、棱锥、棱台的面积问题 对
5、于多面体,只有直棱柱,正棱锥和正棱台可直接用公式求侧面积,其余 多面体的侧面积要把每个侧面积求出来再相加,求解时还要注意区分是求 侧面积还是表面积. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 1】 如图所示,正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm,高与斜 高的夹角为 30 ,求该正四棱锥的侧面积和表面积. 思路分析:根据多面体的侧面积公式,必须求出相应多面体的底面边长 和各侧面的斜高,我们可以把问题转化到三角形内加以分析求解. ZHONGDIAN NANDIAN 重
6、点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解:正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成一个 RtPOE. 因为 OE=2 cm,OPE=30 , 所以 PE= sin30=4(cm). 因此 S正四棱锥侧=1 2ch= 1 2444=32(cm 2), S正四棱锥表=S正四棱锥侧+S正四棱锥底=32+44=48(cm2). ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 点评解决此类题目
7、先利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成 的直角三角形求解相应的元素,再代入面积公式求解.空间几何体的表面积 运算,一般先转化为平面几何图形的运算,再充分利用平面几何图形的特性 通过解三角形完成基本量的运算. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 2】 已知正六棱台的两底面边长分别为 1 cm 和 2 cm,高是 1 cm,求它的侧面积. 解:如图所示是正六棱台的一个侧面及其高组成 的一部分(其余部分省略),则侧面 ABB1A1为等腰梯 形,OO1为高,且OO1
8、=1 cm,AB=1 cm,A1B1=2 cm,取AB 和A1B1的中点C,C1,连接OC,CC1,O1C1,则CC1为正六 棱台的斜高,且四边形 OO1C1C 为直角梯形. 根据正六棱台的性质可得,OC= 3 2 AB= 3 2 (cm),O1C1= 3 2 A1B1= 3(cm), 所以 CC1= 1 2 + (11-OC)2= 7 2 (cm).又知上、下底面周长分别为 c=6AB=6(cm),c=6A1B1=12(cm),斜高 h=CC1= 7 2 cm.所以正六棱台的侧面 积为 S正六棱台侧=1 2(c+c)h= 1 2(6+12) 7 2 = 9 7 2 (cm2). ZHONGD
9、IAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 点评求正棱台的侧面积同正棱锥类似,除了利用相对应的侧面积 公式,也要利用正棱台中的核心直角梯形. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 圆柱、圆锥、圆台的面积问题 1.圆柱、 圆锥、 圆台的侧面积公式:S圆柱侧=2rl,S圆锥侧=rl,S圆台侧=(r1+r2)l, 如上图,当 r1变化时,相应的图形也随之变化,当 r
10、1=0,r2=r 时,相应的圆 台就转化为圆锥,而当 r1=r2=r 时,相应的圆台就转化为圆柱,相应的侧面积 公式也随之变化. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的变化关系为 S圆柱侧=2rlS圆台侧=(r1+r2)lS圆锥侧=rl. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 2.对于圆锥还要明确如下结论: (1)圆锥的侧面展开图是扇形. (2)圆锥的底面周长扇形的弧长. (3)圆锥的母线长扇形的半径. (4)S扇形= 2 360 (其中 n 为扇形圆心角的度数,r 为扇形的
11、半径). ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 3】 (1)圆锥的底面直径为 6,高是 4,则它的侧面积为( ) A.12 B.24 C.15 D.30 解析:作圆锥轴截面如图,高AD=4,底面半径CD=3,则母线 AC=5,得 S侧 =35=15. 答案:C ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (2)矩形的边长分别为 1 和 2,分别
12、以这两边所在直线为轴旋转,所形成 几何体的侧面积之比为( ) A.1 2 B.1 1 C.1 4 D.1 3 解析:以边长 1 的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积 S1=221=4,以 2 所在边为轴旋转形成的几何体的侧面积 S2=212=4,故 S1 S2=1 1,选 B. 答案:B ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 球的切接问题 对球的表面积公式的考查,通常与球的性质结合在一起.与其他多面体 和旋转体组合也是考查球的表面积的一种常见方式. 常见的有关
13、球的一些性质: (1)长方体的 8 个顶点在同一个球面上,则长方体的体对角线是球的直 径;球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长;球与正方体 的 12 条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线. (2)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆 柱底面圆的直径. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 4】 (1)已知长方体的长、宽、高分别为 2,3,6,则其外接球 的表面积为( ) A.196 B.49 C.44 D.36 解析
14、:长方体的体对角线长为 22+ 32+ 62=7,所以其外接球的直径为 2R=7,即 R=7 2,所以它的表面积为 4R 2=49.故选 B. 答案:B ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (2)已知圆台内有一表面积为 144 cm2的内切球,如果圆台的下底面 与上底面半径之差为 5 cm,求圆台的表面积. 解:其轴截面如图所示,设圆台的上、下底面半径分别为 r1,r2,母线长为 l,球半径为 R,则 r2-r1=5,母线 l=r1+r2. 因为 4R2=144,所以
15、R=6. 又 l2=(2R)2+(r2-r1)2, 所以(r1+r2)2=(2R)2+(r2-r1)2=(26)2+52=132. 所以 r1+r2=13. 结合 r2-r1=5 得 r1=4,r2=9,所以 l=13. 所以 S圆台表= 1 2+ 2 2+(r1+r2)l =42+92+(4+9)13=266(cm2). ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四 易错辨析 易错点:因考虑不全面而致误 【典型例题 5】 用互相平行且距离为 27 的两个平面截球面,两个
16、截面 圆的半径分别为 r1=15,r2=24,试求球的表面积. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 错解:设球的半径为 R,由题意可设球心到两平行 平面的距离为 OO1=d1,OO2=d2,如图所示,可得 d1,d2,R 之间的关系: 2= 152+ 1 2, 2= 242+ 2 2, 1+ 2= 27, 所以 225+1 2=576+(27-d1)2, 解得 d1=20,d2=7,R=25. 所以 S球=4R2=2 500. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难
17、点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 错因分析:错解中只分析了两平行平面位于球心异侧的情况,还应该讨 论两平行平面位于球心同侧的情况. 正解:设球的半径为 R,球心 O 到两平行截面的距离分别为 OO1=d1,OO2=d2. (1)当两平行截面位于球心 O 异侧时, 如图,则 2= 152+ 1 2, 2= 242+ 2 2, 1+ 2= 27. 所以 225+1 2=576+(27-d1)2. 解得 d1=20,d2=7,R=25. 所以 S球=4R2=2 500. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点
18、 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (2)当两平行截面位于球心 O 同侧时,如图,则 2= 152+ 1 2, 2= 242+ 2 2, 1-2= 27. 所以 225+1 2=576+(d1-27)2. 解得 d1=20,d2=-7,不符合题意,即这种情况不存在. 综上可知,球的表面积为 2 500. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 1.长方体的对角线长为 2 14,长、宽、高的比为 3 2 1
19、,那么它的表面积为 ( ) A.44 B.88 C.64 D.48 解析:设长、宽、高分别为 3x,2x,x,则对角线长为 92+ 42+ 2= 14x=2 14,所以 x=2. 所以表面积 S=2(6x2+3x2+2x2)=88. 答案:B SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 2.若球的大圆周长为 C,则这个球的表面积是( ) A. 2 4 B. 2 2 C. 2 D.2C2 答案:C SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONG
20、DIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯 视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为( ) A. 4 B.5 4 C. D.3 2 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 解析:由三视图知该几何体为圆柱,其底面半径为1 2,高为1,所以其侧面积为S 侧=2 1 21=. 答案:C SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点
21、难点 1 2 3 4 5 4.如图所示,面积为 3的等边三角形绕其一边中线所在直线旋转所得圆锥 的侧面积是 . SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 解析:设等边三角形的边长为 l,则旋转所得的圆锥的母线长为 l,底面圆的半 径为 2,如图. 因为 S正三角形= 3,所以 3 4 l2= 3,即 l=2. 所以圆锥侧面积为 S侧=rl=1 2l 2=2. 答案:2 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积 为 . 解析:正方体的体对角线为球的直径,即直径 d= 32+ 32+ 32= 27=3 3, 所以球的半径 R=3 3 2 . 所以球的表面积 S=4R2=27. 答案:27
