1、-1- 2.2.2 直线方程的几种形式 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉学习脉络络 1.通过点斜式方程的推导,初步体会求直线方程 的方法与过程. 2.理解并掌握直线方程的几种形式以及它们之 间的相互转化. 3.能根据确定直线位置的几何要素,灵活选用方 程形式来求直线的方程. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.直线方程的几种形式 名称 已知条件 方程 说明 点斜式 点 P(x1
2、,y1)和斜率 k y-y1=k(x-x1) 不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线 斜截式 斜率k 和在 y轴上的 截距 b y=kx+b 不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线 两点式 点 P1(x1,y1)和 P2(x2,y2) y-y1 y2-y1 = x-x1 x2-x1(x1x2,y1y2) 不包括坐标轴和平行 于坐标轴的直线 截距式 在x轴上的截距为a, 在 y 轴上的截距为 b x a + y b=1 (a0,b0) 不包括过原点的直线 和平行于坐标轴的直 线 一般式 Ax+By+C=0 A,B 不同时为 0 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NAND
3、IAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 1方程-0 -0=k 和 y-y0=k(x-x0)表示同一条直线吗? 提示:方程-0 -0=k 和 y-y0=k(x-x0)不表示同一条直线,前者表示的直线缺 少一个点 P0(x0,y0). 思考 2截距是距离吗? 提示:“截距”并非指“距离”,它是直线与坐标轴交点的横、 纵坐标,可以 取一切实数,而距离必须大于或等于零. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 3怎样的直线不能用两点式表示?两点式怎样变形就能 适用于所有过两点的直线了
4、? 提示:两点式不适用于斜率为 0 与斜率不存在的直线.只需将 -2 2-1 = -2 2-1变形为(x-x2)(y2-y1)=(y-y2)(x2-x1)的形式,就能适用于所有直线了. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 特别提醒如果直线 l 的方程为 + =1,则 直线与坐标轴围成的三角形的周长为|a|+|b|+ 2+ 2; 直线与坐标轴围成的三角形的面积为 S=1 2|ab|; 当直线在两坐标轴上的截距相等时,直线 l 的斜率 k=-1,故常设直线 方程为 x+y=a. JICHU ZHISHI
5、基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.几种特殊直线的方程 选用点斜式、 斜截式、 两点式求直线方程时,要考虑特殊情况下的直线 方程(坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线). 过点(a,b)且平行于 x 轴的直线方程为 y=b. 过点(a,b)且平行于 y轴的直线方程为 x=a(平行于 y 轴的直线的斜率不 存在). 过原点的直线方程为 y=kx(k0). x 轴的方程是 y=0. y 轴的方程是 x=0(y 轴的斜率不存在). JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点
6、难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 4在方程 Ax+By+C=0(A2+B20)中,当 A=0 或 B=0 时方 程分别表示怎样的直线? 提示:在方程 Ax+By+C=0(A2+B20)中,若 B=0,则 x=- ,它表示一条与 y 轴平行或重合的直线,此时直线的斜率不存在;若 A=0,则 y=- ,它表示一条 与 x 轴平行或重合的直线,此时直线的斜率为 0. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 直线方程的点斜式 利用点斜式求直
7、线方程的步骤如下: 确定直线要经过的定点(x0,y0). 明确直线的斜率 k. 由点斜式直接写出直线方程. 注意:点斜式使用的前提条件是斜率存在;当斜率不存在时,直线没有点 斜式方程,其方程为 x=x0. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例题 1】 求满足下列条件的直线的方程: (1)过点 P(-4,3),斜率 k=-2; (2)过点 P(2,-5),且与 x 轴平行; (3)过点 P(3,-1),且与 y 轴平行. 思路分析:利用直线方程的点
8、斜式及特殊位置的直线表示形式解答. 解:(1)直线过点 P(-4,3),斜率 k=-2,由点斜式得 y-3=-2(x+4),整理得所求 方程为 2x+y+5=0. (2)直线过点 P(2,-5),且与 x 轴平行,则斜率 k=0, 故所求直线方程为 y+5=0(x-2),即 y=-5. (3)直线与 y 轴平行,说明斜率不存在, 又因为直线过点 P(3,-1), 所以直线的方程为 x=3. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究二 直线方程的斜截式 (
9、1)由直线斜截式方程的推导过程可以看出,在点斜式中若点 P(x0,y0)为 直线l与y轴的交点,得到的直线方程即为斜截式,因此斜截式为点斜式的特 殊情况. (2)直线与x 轴垂直时,斜率不存在,不能用直线方程的斜截式表示.因此 斜截式方程不能表示与 x 轴垂直的直线. (3)斜截式方程 y=kx+b 的特点:左端y 的系数恒为1,右端x 的系数 k 和 常数项 b 均有明显的几何意义,k 是直线的斜率,b 是直线在 y 轴上的截距, 截距实质上为直线与y轴交点的纵坐标,直线与y轴的交点与原点的距离为 |b|. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础
10、知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例题 2】 (1)写出直线斜率为-1,在 y 轴上截距为-2 的直线的斜 截式方程; (2)求过点 A(6,-4),斜率为-4 3的直线的斜截式方程; (3)已知直线 l 的方程为 2x+y-1=0,求直线的斜率、在 y 轴上的截距以 及与 y 轴交点的坐标. 解:(1)易知 k=-1,b=-2,故直线的斜截式方程为 y=-x-2. (2)由于直线的斜率k=-4 3,且过点 A(6,-4),根据直线的点斜式方程得直线 方程为 y+4=-4 3(x-6),化成斜截式为 y=- 4 3x+4. (3
11、)直线方程2x+y-1=0可化为y=-2x+1,由直线的斜截式方程知:直线的 斜率 k=-2,在 y 轴上的截距 b=1,直线与 y 轴交点的坐标为(0,1). ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究三 直线方程的两点式 (1)当直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式求出它 的方程,若 x1=x2,y1y2,则直线方程为 x-x1=0;若 y1=y2,x1x2,则直线方程为 y-y1=0. (2)直线方程的两点式不能表示与
12、坐标轴垂直的两类直线.若变形为 (x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),此时可表示过任意两点的直线的方程. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例题 3】 (1)求过两点(2,-5)和(-2,3)的直线的两点式方程; (2)求过两点 A(0,0),B(1,1)的直线方程. 解:(1)由直线的两点式方程得所求直线的方程为 -(-5) 3-(-5) = -2 -2-2,即 +5 8 = -2 -4 . (2)由直线的两点式方程得直线 A
13、B 的方程为-0 1-0 = -0 1-0,即 y=x,也就是 x-y=0. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究四 直线方程的截距式 对直线的截距式方程应注意以下几点: 在方程 + =1 中,要求 a0,b0,即两个截距都不为 0,因此它不能表 示过坐标原点或平行于 x 轴、y 轴的直线. 当题目条件中涉及截距相等或互为相反数时,若选用截距式来求解, 注意截距都为 0,即直线过原点这种情况. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 J
14、ICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例题 4】 在 x,y 轴上的截距分别是-3,4 的直线方程是( ) A.4x+3y-12=0 B.4x-3y+12=0 C.4x+3y-1=0 D.4x-3y+1=0 解析:根据直线方程的截距式写出直线方程 -3 + 4=1,化简得 4x-3y+12=0,故选 B. 答案:B ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究五 直线方
15、程的一般式 (1)直线的一般式方程与其他四种形 式的转化: (2)当直线方程 Ax+By+C=0 的系数 A,B,C 满足下列条件时,直线 Ax+By+C=0 有如下性质: 当 A0,B0 时,直线与两条坐标轴 都相交; 当A0,B=0,C0时,直线只与x轴相 交,即直线与 y 轴平行,与 x 轴垂直; 当 A=0,B0,C0 时,直线只与 y 轴相交,即直线与 x 轴平行,与 y 轴垂 直; 当 A=0,B0,C=0 时,直线与 x 轴重合; 当 A0,B=0,C=0 时,直线与 y 轴重合. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUIT
16、ANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例题 5】 设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aR). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 思路分析:(1)从截距的定义入手,因方程中含有变量 a,故需要对截距进 行分类讨论.(2)中涉及图象过象限问题,可将方程转化为斜截式,从斜率和 截距两方面进行综合考虑. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四
17、 探究五 探究六 解:(1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零,当然相等. 所以 a=2,直线 l 的方程即 3x+y=0. 当 a2 时,截距存在且均不为 0, 所以 -2 +1=a-2,即 a+1=1, 所以 a=0,直线 l 的方程为 x+y+2=0. (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, 则 -( + 1) 0, -2 0 或 -( + 1) = 0, -2 0, 所以 a-1. 综上所述,a 的取值范围是 a-1. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探
18、究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 点评对于与截距有关的问题,一定要注意截距为 0 的特殊情况, 再者对直线方程的一般式往往根据需要将其转化为点斜式、 斜截式等形式. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究六 易错辨析 易错点:忽视截距为零的情况而致误 【典型例题 6】 求经过点 P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线 l 的方程. 错解:设直线方程为 + =1, 将 x=2,y=3 代入, 得2 + 3 =1,解得 a=5. 故所求的
19、直线方程为 x+y-5=0. 错因分析:忘记截距为 0 的情况,而导致丢解. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 正解 1:(1)当截距为 0 时,直线 l 过点(0,0),(2,3), 所以直线 l 的斜率为 k=3-0 2-0 = 3 2, 所以直线 l 的方程为 y=3 2x, 即 3x-2y=0. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究
20、三 探究四 探究五 探究六 (2)当截距不为 0 时,可设直线 l 的方程为 + =1. 因为直线 l 过点 P(2,3),所以2 + 3 =1,所以 a=5. 所以直线 l 的方程为 x+y-5=0. 综上可知,直线 l 的方程为 3x-2y=0 或 x+y-5=0. 正解 2:由题意知,直线 l 的斜率存在,且不为 0. 设直线方程为 y-3=k(x-2),且 k0. 令 x=0,则 y=3-2k;令 y=0,则 x=2-3 . 由题意,知 3-2k=2-3 ,解得 k= 3 2或 k=-1. 故满足条件的直线方程是 y-3=3 2(x-2)或 y-3=-(x-2), 即 3x-2y=0
21、或 x+y-5=0. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 1.直线 kx-y+1=3k,当 k 变化时,所有直线都通过定点( ) A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1) 答案:C SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 2.集合 A=x|x 为直线的斜截式方程,B=x|x 为一次函数的解析式,则集合 A,B 间的关系为( ) A.AB B.B
22、A C.B=A D.AB 答案:B SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 3.已知两直线的方程分别为 l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在坐标系中的 位置如图所示,则( ) A.b0,dc D.b0,a - 1 0 - 0 0, 0. 答案:C SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 4.过点 P(3,2)和点 Q(4,7)的直线方程为 . 解析:过
23、两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的两点式方程为 -1 2-1 = -1 2-1(x1x2,y1y2),代入点P(3,2)和点Q(4,7),求得直线方程为 -2 7-2 = -3 4-3,整理得 5x-y-13=0. 答案:5x-y-13=0 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 5.已知直线的斜率为1 6,且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形,求 l 的方程. 解:设 l 的方程为 y=1 6x+b,则分别令 x=0,y=0,可得直线 l 与 y 轴的交点坐标
24、为(0,b),与 x 轴的交点坐标为(-6b,0),由题意可知,1 2|b|-6b|=3, 解得 b= 1,故所求直线 l 的方程为 y=1 6x 1. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 6 6.已知直线l经过点A(4,-3),并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,求直线 l 的方程. 解:当直线 l 在两坐标轴上的截距为 0 时,符合题意,设直线 l 的方程是 y=kx, 所以-3=4k,k=-3 4,所以 y=- 3 4x,即 3x+4y=0. 当直线 l 在两坐标轴上的截距不为 0 时,设直线 l 的方程为 + =1,则 4 + -3 =1,且|a|=|b|,所以 a=b=1 或 a=7,b=-7. 所以 x+y=1 或 7 7=1 即 x+y=1 或 x-y=7. 综上可知,所求直线 l 的方程是 3x+4y=0 或 x+y-1=0 或 x-y-7=0.
