1、2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程 通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，通过图片我们看到，在我们所生活的世界中， 随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭 圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭 圆呢？圆呢？ 1.1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用实世界和解决实际问题中的作用（重点）（重点） 2 2掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程. . （重点、难点）（重点、难点） 实验操作实验
2、操作 (1)(1)取一条定长的细绳；取一条定长的细绳； (2)(2)把它的两端都固定在图板的同一点处；把它的两端都固定在图板的同一点处； (3)(3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点） 画出的轨迹是一个圆如果把细绳的两端拉开一段画出的轨迹是一个圆如果把细绳的两端拉开一段 距离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳距离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳 子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆. . 探究点探究点1 1 椭圆的定义椭圆的定义 根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：根据刚才的实验请同学们回答下面几
3、个题： 1.1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的 还是运动的？还是运动的？ 2.2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明 了什么？了什么？ 3.3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小 有怎样的关系？有怎样的关系？ 思考：思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定 义的？义的？ 椭圆定义：椭圆定义： 我们把平面内与两个定点我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等 于常数于常数（大于（大于|F1F
4、2|）的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆. 两个定点两个定点F1，F2叫做椭圆的叫做椭圆的焦点焦点. 两焦点间的距离叫做两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距. |MF|MF1 1|+ |MF|+ |MF2 2| |F|F1 1F F2 2| | 椭圆椭圆 |MF|MF1 1|+ |MF|+ |MF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2| | 线段线段 |MF|MF1 1|+ |MF|+ |MF2 2| |F|F1 1F F2 2| | 不存在不存在 思考：思考：在平面内动点在平面内动点M M到两个定点到两个定点F F1 1，F F2 2的距离之的距离之 和等于定值和等于定值2a2a的点的
5、轨迹是否一定为椭圆？的点的轨迹是否一定为椭圆？ 【提升总结提升总结】 探究点探究点2 2 椭圆的标准方程椭圆的标准方程 根据椭圆的定义如何求根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？椭圆的方程呢？ 思考：思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？求曲线的方程的基本步骤是什么呢？ （1 1）建系设点）建系设点; ; （2 2）写出点集；）写出点集； （3 3）列出方程；）列出方程； （4 4）化简方程；）化简方程； （5 5）检验）检验. . 第一步：第一步： 如何建立适当的坐标系呢？如何建立适当的坐标系呢？ 想一想：想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相 互垂直的
6、对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似 的方法呢？的方法呢？ O x y M F1 F2 方案一方案一 F1 F2 方案二方案二 O x y M 设设M(x, y)(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦 点分别为点分别为F1 1和和F2 2，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为2c(c0)2c(c0)，M与与F1 1和和 F2 2 的距离的和等于的距离的和等于2a(2a2c0) .2a(2a2c0) . 请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程. . 解：解：以焦点以焦点F F1 1,
7、F,F2 2的所在直线为的所在直线为x x轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2的的垂直垂直 平分线平分线为为y y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系xOy(xOy(如图如图). ). 设设M(x, y )M(x, y )是椭圆上任意一点，椭圆是椭圆上任意一点，椭圆 的焦距为的焦距为2c(c0)2c(c0)，M M与与F F1 1和和F F2 2的距离的的距离的 和等于正常数和等于正常数2a 2a (2a2c)(2a2c) ，则，则F F1 1，F F2 2 的坐标分别是的坐标分别是( ( c,0)c,0)、(c,0)(c,0) . . x x F F1 1 F F2 2 M M
8、O y y 12 2|.MFMFa 2222 12 |(),|(),MFxcyMFxcy 2222 2()().xcyxcya所所以以 由椭圆的定义得由椭圆的定义得 因为因为 2222222 44()()(),xcyaaxcyxcy 222 (),acxaxcy 移项，再平方移项，再平方 22 222 1. xy aac 整理得整理得 42222222222 22,aa cxc xa xa cxa ca y 两边再平方，得两边再平方，得 22222222 ()(),acxa ya ac 222 () aac两两 边边 同同 除除 以以， 得得 ： 22 22 10(). xy ab ab 所所
9、以以的的方方程程椭椭圆圆为为 222 -0(),bacab解解令令： 1 F 2 Fx y O P 22 -, ,a cac请请看看图图片片：你你能能从从图图中中找找出出表表示示的的线线段段吗吗？ a c 22 ca 22 22 10(). yx ab ab 似似的的也也可可以以得得到到的的方方程程类类椭椭圆圆 为为 22 22 210.() yx ab ab 也也把把形形如如叫叫做做椭椭圆圆的的标标准准方方程程， 22 22 110. xy ab ab 我我们们把把形形如如的的方方程程叫叫做做椭椭圆圆的的标标准准方方程程， 它表示焦点在它表示焦点在y y轴上的椭圆轴上的椭圆. . 它表示焦点
10、在它表示焦点在x x轴上的椭圆轴上的椭圆. . 1 o F y x 2 F M 1 1 2 2 y o F F M x （1 1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式 的平方和，右边是的平方和，右边是1;1; （2 2）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x x2 2与与y y2 2的分母哪一个大，的分母哪一个大， 则焦点在哪一个轴上则焦点在哪一个轴上; ; （3 3）椭圆的标准方程中椭圆的标准方程中a a，b b，c c满足满足a a2 2=b=b2 2+c+c2 2. . 椭圆的标准方程有哪些特征呢？椭圆的标准方程有哪些特征呢？ 【提升总结提升总结】
11、 例例1 1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是( (- -2 2,0), ), (2,0), (2,0), 并且经过点并且经过点 . .求它的标准方程求它的标准方程. . 53 (,) 22 解解: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上, ,所以设所以设 它的标准方程为它的标准方程为 22 22 1 (0). xy ab ab 由椭圆的定义知由椭圆的定义知 2222 5353 2(2)()(2)()2 10 2222 a 又因为又因为 , ,所以所以 2c 因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为 22 1 . 106 xy 222 1046
12、.bac 所以所以 10.a 能用其他方能用其他方 法求它的方法求它的方 程吗？程吗？ 另解另解: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上, ,所以设它所以设它 的标准方程为的标准方程为: : 22 22 1 (0). xy ab ab 22 4.ab 22 53 22 22 ( )() 1 ab 又又由由已已知知， 联立联立, , 22 106ab解解 得得， 因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为: : 22 1 . 106 xy ( 2,0),(2,0) ，又又焦点的坐标为焦点的坐标为 【变式练习变式练习】 已知椭圆经过两点已知椭圆经过两点 和和 ，求椭圆的，
13、求椭圆的 标准方程标准方程. . ) 2 5 , 2 3 ()5, 3( 22 1(0,0,),mxnymnmn解：解：设椭圆的标准方程为设椭圆的标准方程为 22 22 35 ()( )1 22 ( 3)( 5)1 mn mn ， ， 11 ,. 610 mn则有则有 解得解得 22 1 610 xy 所以，所求椭圆的标准方程为所以，所求椭圆的标准方程为 . x y O D M P 例例2 2 如图，在圆如图，在圆 上任取一点上任取一点P P，过点，过点P P 作作x x轴的垂线段轴的垂线段PDPD，D D为垂足为垂足. .当点当点P P在圆上运动在圆上运动 时，线段时，线段PDPD的中点的中
14、点M M的轨迹是什么？为什么？的轨迹是什么？为什么？ 4 22 yx 解：解：设点设点M M的坐标为（的坐标为（x,yx,y）, ,点点P P的的 坐标为（坐标为（x x0 0,y,y0 0）, ,则则 0 0 2 , y xxy 因为点因为点P P（x x0 0,y,y0 0）在圆）在圆 22 4xy上上 ， 所所 以以 . 4 2 0 2 0 yx 把点把点0 0=x=x，y y0 0=2y=2y代入方程，得代入方程，得 即即 ，44 22 yx . 1 4 2 2 y x 所以点所以点M M的轨迹是一个椭圆的轨迹是一个椭圆. . 从例从例2 2你能发你能发 现椭圆与圆之现椭圆与圆之 间的
15、关系吗？间的关系吗？ 例例3 3 如图，设点如图，设点A A，B B的坐标分别是的坐标分别是( (- -5 5，0)0)和和(5(5，0),0), 直线直线AM,BMAM,BM相交于点相交于点M M，且它们的斜率之积是，且它们的斜率之积是 , ,求求 点点M M的轨迹方程的轨迹方程. . 9 4 y A x M B O 解：解：设点设点M M的坐标（的坐标（x,yx,y）, ,因为因为 点点A A的坐标是（的坐标是（- -5,05,0）, ,所以所以, ,直直 线线AMAM的斜率为的斜率为 5 5 (); AM y kx x 同理，直线同理，直线BM的斜率的斜率 5 5 (). BM y kx
16、 x 由已知有由已知有 4 5 559 (), yy x xx 化简，得点化简，得点M的轨迹方程为的轨迹方程为 22 15 100 25 9 (). xy x 1.1.已知已知F F1 1，F F2 2是椭圆是椭圆 的两个焦点，的两个焦点， 过过F F1 1的直线交椭圆于的直线交椭圆于M M，N N两点，则三角形两点，则三角形 MNFMNF2 2的周长为（的周长为（ ） A.10 B.20 A.10 B.20 C.30 D.40C.30 D.40 1 925 22 yx B B y o F1 F2 M x N 2. 2. （20132013广东高考）已知中心在原点的椭圆广东高考）已知中心在原点
17、的椭圆 C C 的右的右 焦点为焦点为 F ，离心率等于，离心率等于 1 2 ，则，则 C C 的方程是（的方程是（ ） A A 22 1 34 xy B B 22 1 43 xy C C 22 1 42 xy D D 22 1 43 xy D D 2.2.椭圆的长轴是短轴的椭圆的长轴是短轴的3 3倍，且过点倍，且过点A A（3 3，0 0），）， 则椭圆的标准方程是则椭圆的标准方程是_._. 答案：答案： 222 2 xxy y1 =1 9981 或 3.3.已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是 一个椭圆，它的焦距为一个椭圆，它的焦距为2.4
18、m2.4 m，外轮廓线，外轮廓线 上的点到两个焦点的距离和为上的点到两个焦点的距离和为3 m3 m， 求这个椭圆的标准方程求这个椭圆的标准方程. . 解：解：以两个焦点以两个焦点F F1 1，F F2 2所在的直线为所在的直线为x x轴，以线轴，以线 段段F F1 1F F2 2的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴，建立直角坐标系，轴，建立直角坐标系， 则这个椭圆的标准方程为则这个椭圆的标准方程为 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 根据题意知，根据题意知，2a=32a=3，2c=2.42c=2.4，即，即a=1.5a=1.5，c=1.2.c=1.2.所以所以 b b2 2=a=
19、a2 2- -c c2 2=1.5=1.52 2- -1.21.22 2=0.81=0.81，因此椭圆的标准方程为因此椭圆的标准方程为 22 1 2 250 81 . xy x O y F1 F2 P 22 22 10 xy ab ab 22 22 10 yx ab ab 定定 义义 图图 形形 方方 程程 焦焦 点点 F(F(c c，0)0) F(0F(0，c)c) a,b,ca,b,c 的关系的关系 222 bac P|PFP|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,2a|F|=2a,2a|F1 1F F2 2| 1 1 2 2 y y o o F F F F P P x x y y x x o o 2 F F P P F F 1 (a b ca, , 中, , 中 最最大大) ) 每个人都有潜在的能量，只是很容易： 被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消 磨.
