1、第2课时 抛物线方程及性质的应用 方程方程 图图 形形 范围范围 对称性对称性 顶点顶点 离心率离心率 y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） l F y x O l F y x O l F y x O x0 yR x0 yR xR y0 y0 xR l F y x O 关于关于x轴对称轴对称 关于关于x轴对称轴对称 关于 关于y轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称 （0,0） e=1 1.1.了解抛物线的几何性质，并会应用于实际问了解抛物线的几何性质，并会应用于实际问 题之中；题之中；（重点）（重点） 2.2.会利用
2、抛物线的定义、标准方程、几何性质会利用抛物线的定义、标准方程、几何性质 及图形四者之间的内在联系，分析和解决实及图形四者之间的内在联系，分析和解决实 际问题际问题. .（重点、难点）（重点、难点） 探究点探究点1 1 抛物线几何性质的基本应用抛物线几何性质的基本应用 【例例1】过抛物线焦点过抛物线焦点 F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A,B两两 点，通过点点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线和抛物线顶点的直线交抛物线的准线 于点于点D，求证：直线，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴平行于抛物线的对称轴. 分析：分析： 我们用坐标法证明，即通过建立抛物线我们用坐标法证明，即通过建立抛物
3、线 及直线的方程，借助方程研究直线及直线的方程，借助方程研究直线DBDB与抛物线对称与抛物线对称 轴之间的位置关系轴之间的位置关系. . B O l D x y F A 建立如图所示的直角坐建立如图所示的直角坐 标系，只要证明点标系，只要证明点D D的纵坐标的纵坐标 与点与点B B的纵坐标相等即可的纵坐标相等即可. . 证明：证明：如图，以抛物线的对称轴为如图，以抛物线的对称轴为x x轴，它的轴，它的 顶点为原点，建立直角坐标系顶点为原点，建立直角坐标系. .设抛物线的方程为设抛物线的方程为 2 2ypx, (1) 2 0 0 2 y A(,y ),OA p 点点的的坐坐标标为为则则直直线线的
4、的方方程程为为 0 0 2 0 p yx(y), (2) y 抛物线的准线方程是抛物线的准线方程是 2 p x. (3) 联立联立(2)(3)(2)(3)，可得点，可得点D D的纵坐标为的纵坐标为 2 0 p y. (4) y 0 2 p F(, ),AF因因为为点点 的的坐坐标标为为所所以以直直线线的的方方程程为为 0 22 0 22 0 2 2 pyp y(x), (5) yp yp . 其其中中 所以，直线所以，直线DBDB平行于抛物线的对称轴平行于抛物线的对称轴. . 2 0 p y. (6) y 由由(4)(6)(4)(6)可知，可知，DBxDBx轴轴. . 22 0 yp. 当当时
5、时，结结论论显显然然成成立立 联立联立(1)(5)(1)(5)，可得点，可得点B B的纵坐标为的纵坐标为 【例例2】正三角形的一个顶点位于坐标原点，正三角形的一个顶点位于坐标原点， 另外两个顶点在抛物线另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正上，求这个正 三角形的边长三角形的边长 分析：分析：如图，设正三角形如图，设正三角形OABOAB的顶点的顶点A A，B B在在 抛物线上，且它们的坐标分别为抛物线上，且它们的坐标分别为(x(x1 1，y y1 1) )和和(x(x2 2，y y2 2) )， 则则 2px2px1 1， 2px2px2 2， 2 1 y 2 2 y 又又| |OA
6、OA| | |OBOB| |，所以，所以x x 2 2 1 1y y 2 2 1 1x x 2 2 2 2y y 2 2 2 2， 即即x x 2 2 1 1x x 2 2 2 22 2pxpx1 12 2pxpx2 20 0， 所以所以( (x x1 1x x2 2)()(x x1 1x x2 22 2p p) )0 0， 因为因为 x x1 100，x x2 20,20,2p p00，所以所以 x x1 1x x2 2， 由此可得由此可得| |y y1 1| | |y y2 2| |，即线段，即线段ABAB关于关于x x轴对称轴对称 由于由于ABAB垂直于垂直于x x轴，且轴，且AOxAO
7、x3030， 所以所以y y 1 1 x x1 1 tan30tan30 3 3 3 3 ，而，而y y 2 2 1 12 2pxpx1 1， 所以所以y y1 12 2 3 3p p， 于是于是| |ABAB| |2 2y y1 14 4 3 3p p. . 本题利用了抛物线与正三角形有公共对称本题利用了抛物线与正三角形有公共对称 轴这一性质，但往往会直观上承认而忽略了它轴这一性质，但往往会直观上承认而忽略了它 的证明的证明 【提升总结提升总结】 故这个正三角形的边长为故这个正三角形的边长为 4 3p. x y O 3.3.相交（一个交点，两个交点）相交（一个交点，两个交点）. . 探究点探
8、究点2 2 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系 问题问题1：直线与抛物线有怎样的位置关系？直线与抛物线有怎样的位置关系？ 1.1.相离；相离； 2.2.相切；相切； 与双曲线与双曲线 的情况一的情况一 致致 把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程得到一元一次方程 得到一元二次方程得到一元二次方程 直线与抛物线的直线与抛物线的 对称轴平行（重合）对称轴平行（重合） 相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式 0 =0 0 =0 0 相交相交 相切相切 相离相离 坚持把简单的事情做好就是不简单， 坚持把平凡的事情做好就是不平凡。所谓 成功，就是在平凡中做出不平凡的坚持.
