1、3.1.3 空间向量的数量积运算 s F W= |F| |s| cos 根据功的计算根据功的计算, ,我们定义了平面两向量的数量我们定义了平面两向量的数量 积运算积运算. .一旦定义出来一旦定义出来, ,我们发现这种运算非常有用我们发现这种运算非常有用, , 它能解决有关长度和角度的问题它能解决有关长度和角度的问题. . 1 1了解空间向量夹角的概念及表示方法了解空间向量夹角的概念及表示方法. . 2 2掌握空间向量数量积的计算方法及应用掌握空间向量数量积的计算方法及应用. .（重点）（重点） 3 3能将立体几何问题转化为向量运算问题能将立体几何问题转化为向量运算问题（难点）（难点） O O
2、A A B B a a b b 范围范围: :0,.a b 如果如果, 2 a b , ,那么向量那么向量a, ,b互相互相垂直垂直, ,记记作作ab . . ,.a bb a 注注: :两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量. . 规定规定: :零向量与任意向量的数量积都等于零零向量与任意向量的数量积都等于零. . 探究点探究点 2 2 两个向量的数量积两个向量的数量积 已知两个非零向量已知两个非零向量,a b, ,则则cos,a ba b 叫做叫做,a b的数量积的数量积, ,记作记作a b . . 即即cos,a ba ba b. . a b A1 1 B1
3、 1 B A 类比平面向量类比平面向量, ,你能说出你能说出 a b 的几何意义吗的几何意义吗? ? 如图如图 11 A B 是是b在在a方向上方向上 的射影向量的射影向量. . 探究点探究点 3 3 空间两个向量的数量积空间两个向量的数量积的的性质性质 显然显然, ,对于非零向量对于非零向量,a b, ,有下列性质有下列性质: : 0;aba b 2 aa a，也就是说也就是说 2 aa . . 注：注：性质性质是证明两向量垂直的依据；是证明两向量垂直的依据； 性质是求向量的长度（模）的依据性质是求向量的长度（模）的依据. . 探究点探究点 4 4 空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量
4、积满足的运算律 ()()aba b. . a bb a( (交换律交换律) ). . ()abca ba c( (分配律分配律) ). . 注：注： 向量的数量积运算类似于多项式运算向量的数量积运算类似于多项式运算, ,平方平方 差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立. . 例例1 1 在平面内的一条直线在平面内的一条直线, ,如果和这个平面的如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直一条斜线的射影垂直, ,那么它也和这条斜线垂直那么它也和这条斜线垂直. . 已知已知: :如图如图, ,PO PA分别是平面分别是平面 的垂线、斜的垂线、斜 线，线，AO是是PA在
5、平面在平面 内的射影，内的射影，l ，且，且lOA . . 求证：求证：lPA . . P O A l 分析：分析：用向量来证明用向量来证明 两直线垂直，只需证两直线垂直，只需证 明两直线的方向向量明两直线的方向向量 的数量积为零即可！的数量积为零即可！ O 线线证证证证 为为 在在直直l上l上取取向向量量a,只a,只要要aaPA =0PA =0 因因aaPO =0,aPO =0,aOA =0OA =0 所所以以aaPA = aPA = a (PO+OA)(PO+OA) = a= aPO+aPO+aOAOA = = 明明 0 0 所所以以aaPA,即PA,即 ： llPA.PA. P O A
6、l a 逆命题成立吗逆命题成立吗? ? 在平面内的一条直线在平面内的一条直线, ,如果和这个平面的如果和这个平面的一条一条 斜线垂直斜线垂直, ,那么它那么它也和这条斜线也和这条斜线在平面内在平面内的射影的射影垂垂 直直. . 分析：分析：要证明一条直线与一个平面要证明一条直线与一个平面 垂直垂直, ,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可 知知, ,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内 的任意一条直线都垂直的任意一条直线都垂直. . , ,: 2 . 线线内内两两条条线线 证证 已已知知直直是是平平面面的的相相交交直直 果果 例例 如如求求 m n lm lnl l
7、 m n g n g m l 取已知平面内的任一条直线取已知平面内的任一条直线g,g,拿相关直线的方拿相关直线的方 向向量来分析向向量来分析, ,看条件可以转化为向量的什么条件看条件可以转化为向量的什么条件? ? 要证的目标可以转化为向量的什么目标要证的目标可以转化为向量的什么目标? ?怎样建立向怎样建立向 量的条件与向量的目标的联系量的条件与向量的目标的联系? ? l m n g n g m l 内内线线在在作作任任一一直直g,分g,分在在l,m,n,g上l,m,n,g上 取取非非零零向向量量l,m,n,g.l,m,n,g. 因因m与m与n相n相交交,故,故向向量量m,n不m,n不平平行行,
8、 由, 由向向量量共共 面面的的充充要要件件知知,存,存在在惟惟一一的的有有序序 (x,y),使(x,y),使g = xm +yn,g = xm +yn, 上上式式与与向向量量l作l作量量，得得 llg = xlg = xlm +ylm +yln.n. 因因llm =0, lm =0, ln =n = 明明 0,0, 所所以以 llg =0,即g =0,即llg.所g.所以以llg,g, 即即l垂l垂直直于于平平面面任任一一直直.所.所以以l.l. : : 别 为 条实数对 将两边数积 内线 证 为 1.1.空间四边形空间四边形OABC中，中，OB OC ， 3 AOBAOC ， 则则cos的
9、值是 的值是 （ ） A A 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 wxckt wxckt 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 1 2 B B 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 wxckt wxckt 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 2 2 C C 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 wxckt wxckt 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 1 2 D D 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教
10、师特级教师 王新敞王新敞 wxckt wxckt 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 0 0 D D D 1 1 2 2 2,2, 2 _.则夹为 aba b ab 4. 已4. 已知知 与与 的的角角大大小小 135 5 5. .（20132013泰安高二检测）泰安高二检测）已知向量已知向量a和和b的的 夹角为夹角为 120120，且，且| |a| |2 2，| |b| |5 5，则，则 (2(2ab)a ( ( ) ) A A1212 B B8 8 1313 C C4 4 D D1313 D D 6 6如图所示，在空间四边形如图所示，在空间四边形OABCOA
11、BC中，中，OAOA8 8， ABAB6 6，ACAC4 4，BCBC5 5，OACOAC4545，OABOAB 6060，求，求OAOA与与BCBC夹角的余弦值夹角的余弦值 解：解：BC AC AB ， OA BC OA AC OA AB |OA |AC |cosOA ，AC |OA |AB |cosOA ，AB 84cos135 86cos120 2416 2. 所以所以 cosOA ，BC OA BC |OA |BC | 24 16 2 85 3 2 2 5 , 所以所以 OA 与与 BC 夹角的余弦值为夹角的余弦值为3 2 2 5 . 通过学习通过学习, ,体会到我们可以利用向量数量积体会到我们可以利用向量数量积 解决立体几何中的以下问题：解决立体几何中的以下问题： 1.1.证明两直线垂直证明两直线垂直. . 2.2.求两点之间的距离或线段长度求两点之间的距离或线段长度. . 3.3.证明线面垂直证明线面垂直. . 4.4.求两直线所成角的余弦值等求两直线所成角的余弦值等. . 为了不让生活留下遗憾和后悔，我们 应该尽可能抓住一切改变生活的机会.
