1、第二章 2.2 用样本估计总体 2.2.2 用样本的数字特征估计 总体的数字特征 学习 目标 1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标 准差. 2.理解用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征. 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目 索引 知识梳理 自主学习 知识点一 众数、中位数、平均数 1.众数、中位数、平均数定义 (1)众数：一组数据中重复出现次数 的数. (2)中位数：把一组数据按 的顺序排列，处在 位置(或中间 两个数的 )的数叫做这组数据的中位数. (3)平均数：如果n个数x1，x2，xn，那么 (x1x2xn)叫做 这n个数的平均数
2、. x 1 n 最多 从小到大 中间 平均数 答案 2.三种数学特征与频率分布直方图的关系 众数 众数是最高长方形的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值 中位数 (1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等， 由此可以估计中位数的值，但是有偏差； (2)表示样本数据所占频率的等分线 平均数 (1)平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和； (2)平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点 知识点二 标准差、方差 1.标准差 (1)平均距离与标准差 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示. 假设样本数据是 x1，x2，xn，x表示这组数据的
3、平均数.xi到x的距离 是|xix|(i1,2，n)， 则用如下公式来计算标准差： s 1 nx1x 2x 2x 2x nx 2. (2)计算标准差的步骤 求样本数据的平均数x； 求每个样本数据与样本平均数的差 xix(i1,2，n)； 求(xix)2(i1,2，n)； 求 s21 n(x1x) 2(x 2x) 2(x nx) 2； 求 s s2，即为标准差. 2.方差 标准差的平方s2叫做方差. s21 n(x1x) 2(x 2x) 2(x nx) 2， 其中，xi(i1,2，n)是 ，n是 ， 是 . x 样本数据 样本容量 样本平均数 返回 答案 题型探究 重点突破 题型一 众数、中位数
4、、平均数的简单运用 例1 某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表： 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； 解 平均数是： x1 5004 0003 5002 00021 5001 00055003020 33 1 5005912 091(元)，中位数是 1 500 元，众数是 1 500 元. 解析答案 (2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升
5、到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精 确到元) 解 新的平均数是x 1 50028 50018 5002 00021 5001 00055003020 33 1 5001 7883 288(元)， 新的中位数是 1 500 元，新的众数是 1 500 元. 解析答案 (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题 谈一谈你的看法. 解 在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平， 因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致 平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资 水平. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练
6、1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员 的成绩如表所示： 成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数. 解析答案 题型二 平均数和方差的运用 例2 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从 中抽取6件测量，数据为 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； 解 x 甲1 6(9910098100100103)100， x 乙1 6
7、(9910010299100100)100. s2 甲1 6(99100) 2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2 (103100)27 3， s2 乙1 6(99100) 2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2 (100100)21. 解析答案 (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 解 两台机床所加工零件的直径的平均值相同， 又 s2 甲s 2 乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练2 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带 上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别
8、记录抽查数据如下(单位： kg)： 甲：102 101 99 98 103 98 99 乙：110 115 90 85 75 115 110 (1)这种抽样方法是哪一种方法？ 解 采用的抽样方法是：系统抽样. 解析答案 (2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间 产品比较稳定. 解析答案 题型三 频率分布与数学特征的综合应用 例3 已知一组数据： 125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表： 分组 频数 频率 121,123) 1
9、23,125) 125,127) 127,129) 129,131 合计 解析答案 2 0.1 3 8 4 3 20 0.15 0.4 0.2 0.15 0.1 (2)作出频率分布直方图； 解 频率分布直方图如下： 解析答案 (3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平 均数. 解 在125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似 值，得众数126，事实上，众数的精确值为125. 图中虚线对应的数据是 12525 8126.25，事实上中位数为 125.5. 使用“组中值”求平均数： x 1220.11240.151260.4 1280.21300.1512
10、6.3， 平均数的精确值为x125.75. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练3 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行 整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到 右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、 0.05. 求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数； 解 由图可知众数为65， 又第一个小矩形的面积为0.3， 设中位数为60x， 则0.3x0.040.5，得x5， 中位数为60565. 解析答案 (2)高一参赛学生的平均成绩. 解 依题意，平均成绩为550.3650.4750.15850.1 950.0567， 平均成
11、绩约为67. 解析答案 分类讨论思想 思想方法 例4 某班有四个学习小组，各小组人数分别为10,10，x,8，已知这组 数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数. 分析 由于x未知，因此中位数不确定，需讨论. 分析 解后反思 解析答案 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是( ) A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数 解析 由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度. C 解析答案 1 2 3 4 5 2.一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中 位数为22，则x等于( ) A.21 B.22 C
12、.20 D.23 解析 根据题意知，中位数 22x23 2 ，则 x21. A 解析答案 1 2 3 4 5 3.一组样本数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x25x40的两 根，则这个样本的方差是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 x25x40的两根是1,4. 当a1时，a,3,5,7的平均数是4； 当a4时，a,3,5,7的平均数不是1. 所以a1，b4，则方差为s25. C 解析答案 1 2 3 4 5 4.一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的 茎叶图如图所示.记录的平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录 不清楚，其末位数记为x，则
13、x等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析 由题意知，101103x8977，解得x8. D 解析答案 1 2 3 4 5 5. 某 学 员 在 一 次 射 击 测 试 中 射 靶 10 次 ， 命 中 环 数 如 下 ： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则：(1)平均命中环数为_； 解析 x78795491074 10 7. 7 (2)命中环数的标准差为_. 解析 s2 (77)2(87)2(77)2(97)2(57)2(4 7)2(97)2(107)2(77)2(47)24，s2. 1 10 2 解析答案 课堂小结 返回 1.一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时， 必须先排序. 2.利用直方图求数字特征： (1)众数是最高的矩形的底边的中点. (2)中位数左右两边直方图的面积应相等. (3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 3.标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离 散程度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用 标准差.
