1、1.2.11.2.1任意角的三角函数任意角的三角函数 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ sin cos tan c a c b b a 复习回顾复习回顾 O O a a b b M P P c c 条件：在直角三角形中条件：在直角三角形中 为了讨论问题的方便，我们今后都在直角坐标系中讨论为了讨论问题的方便，我们今后都在直角坐标系中讨论 角，那么你能用坐标系中角的角，那么你能用坐标系中角的终边上点的坐标终边上点的坐标来表示锐来表示锐 角三角函数吗？角三角函数吗？ 已经角已经角是一个锐角，为了方便计算，这里引进是一个锐角，为了方便计算，这里引进1 1个单个单
2、 位圆位圆( (圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为1 1) )；角；角的终边与单位圆交的终边与单位圆交 于于P(a,b)P(a,b) X Y o P(a,b) M M 1OMaMPbOP； | sin | MP OP | cos | OM OP | tan | MP OM b a b a 已经角已经角是一个锐角，为了方便计算，这里引进是一个锐角，为了方便计算，这里引进1 1个单个单 位圆位圆( (圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为1 1) )；角；角的终边与单位圆交的终边与单位圆交 与与P(a,b)P(a,b) X Y o P(a,b) M M 1OMaMPbOP； | sin | MP
3、OP | cos | OM OP | tan | MP OM b a b a 锐角锐角 的三角函数可以用的三角函数可以用 终边与单位圆的终边与单位圆的交点交点 坐标坐标来表示来表示 如果角如果角 是是任意的角任意的角, ,它的三角函数也可它的三角函数也可 以用终边与单位圆交点的坐标来表示。以用终边与单位圆交点的坐标来表示。 设设 是一个任意角是一个任意角, ,它的终它的终 边与单位圆交于点边与单位圆交于点P( (x, ,y) ). . M A o y x y y叫叫 的正弦：的正弦： ;siny ;cosx x x叫叫 的余弦：的余弦： tan. y x 叫叫 的正切：的正切： y x 我们把
4、正弦、余弦我们把正弦、余弦, ,正切正切, ,都看成是都看成是以角为以角为 自变量自变量, ,以比值为函数值的函数以比值为函数值的函数, ,以上以上三三种函数种函数 统称统称三角函数三角函数 ( , )P x y ( (x0x0) ) 解解: : 在直角坐标系中在直角坐标系中, ,作作 31 (,). 22 B 35 sin; 32 51 cos; 32 5 tan3. 3 B A o y x 例例1 1：求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值. . 5 3 5 , 3 AOB 则则AOBAOB的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 练习练习1 1：利用三角函数的定义求利
5、用三角函数的定义求 的三个三的三个三 角函数值角函数值. . ( (课本课本P P15 15 第 第1 1题题) ) 7 6 o y x 解解: : 在直角坐标系中在直角坐标系中, ,作作 31 (,). 22 B 71 sin; 62 37 cos; 62 37 tan. 63 7 , 6 AOB 则则AOBAOB的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 B B 探究探究: : 如果知道角终边上一点如果知道角终边上一点, ,而这个点不是终边与而这个点不是终边与 单位圆的交点单位圆的交点, ,该如何求它的三角函数值呢该如何求它的三角函数值呢? ? 三角函数的值与点三角函数的值与点P
6、 (x, y)在终边上的位置无关，仅与角在终边上的位置无关，仅与角 的大小有关的大小有关. 点点P到原点到原点O的距离的距离 22 rxy 1 sin 1 y 22 y xy ; y r o y x 111 (,)P x y 1 M ( , )P x y M 1 cos 1 x 22 x xy ; x r 1 1 tan y x . y x 解解: x - -3, y- - 4, 22 ( 3)( 4)5.r 44 sin; 55 y r 33 cos; 55 x r 44 tan. 33 y x O y x 0 P 例例2 2：已知角已知角 的终边经过点的终边经过点P P0 0( (- -3
7、,3,- -4),4),求角求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值 练习练习2 2：已知角已知角 的终边过点的终边过点P P( (- -12, 5), 12, 5), 则则 sin_; cos_; tan_. 5 13 12 13 5 12 练习练习3 3：已知角已知角 的终边上有一点的终边上有一点P P ( (- -4 4a a, 3, 3a a) ) ( (a a0),0), 则则2sin2sin +cos+cos 的值是的值是 ( )( ) 22 A.B. 55 22 C.D. 55 或或不不确确定定 C C 2 25|5 |raa sin, cos, tan. yxy rrx
8、探究探究1 1：三角函数的定义域三角函数的定义域 sin cos tan y yx x 三角函数三角函数 定义域定义域 sinsin coscos tantan R R R R , 2 |Zkk 探究探究2 2：根据三角函数的定义根据三角函数的定义, ,研究三角函数值在研究三角函数值在 各个象限的符号各个象限的符号 - - + + + + + + + + + + sin cos tan y yx x - - - - - - - - - - + + sincos tan y O x O x y O x y 一全正、二正弦、三正切、四余弦一全正、二正弦、三正切、四余弦 例例3:3:求证求证: :当
9、且仅当下列不等式组成立时当且仅当下列不等式组成立时, ,角角 为第三角限角为第三角限角 sin0, tan0. 证明证明: :如果式都成立如果式都成立, ,那么那么 为第三象限角为第三象限角. . 因为式都成立因为式都成立, ,所以所以 角的终边只能位于角的终边只能位于 第三象限第三象限. .于是于是 为第三象限角为第三象限角 又若又若tantan 0,0,那么那么 角的终边可能位于第一或第三象限角的终边可能位于第一或第三象限. . 若若sinsin 0,0,那么那么 角的终边可能位于第三或第角的终边可能位于第三或第 四象限四象限, ,也可能位于也可能位于y y 轴的非正半轴上轴的非正半轴上
10、公式作用公式作用: :可以把求任意角的三角函数值可以把求任意角的三角函数值. 转化为求转化为求0到到2(或或0至至360)角的三角角的三角 函数值函数值. 终边相同的角的同一三角函数值相等终边相同的角的同一三角函数值相等 sin2sin cos2cos tan2tan . k k k kZ 公式一公式一 例例5:5: 求下列三角函数值求下列三角函数值 911 1 sin148010; 2 cos; 3 tan. 46 : 1 sin148010解 sin 40104 360 sin40100.645 9 2 cos 4 cos2 4 2 cos 42 11 3 tan 6 tan2 6 3 t
11、an 63 y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P 的的 终边终边 的的 终边终边 的的 终边终边 的的 终边终边 A(1,0) A(1,0) A(1,0) A(1,0) () () () () 下面从图形角度认下面从图形角度认 识一下三角函数识一下三角函数 角角的终边与单位圆的终边与单位圆 交于点交于点P.过点过点P作作x轴轴 的垂线的垂线,垂足为垂足为M. |MP|=|y|=|sin| |OM|=|x|=|cos| 三角函数线三角函数线 思考思考 为了去掉上述等式中的绝对值符号为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否能否 给线段给线段OM、MP规定一个适
12、当的方向规定一个适当的方向,使它使它 们的取值与点们的取值与点P的坐标一致的坐标一致? |MP|=|y|=|sin| |OM|=|x|=|cos| y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P 的的 终边终边 的的 终边终边 的的 终边终边 的的 终边终边 A(1,0) A(1,0) A(1,0) A(1,0) () () () () |MP|=|y|=|sin| |OM|=|x|=|cos| 当角当角的终边不在坐的终边不在坐 标轴上时标轴上时,以以M为始点、为始点、 P为终点为终点,规定规定: 当线段当线段MP与与y轴轴同向同向 时时,MP的方向为的方向为正
13、向正向, 且有且有正值正值y; 当线段当线段MP与与y轴轴反向反向 时时MP的的方向方向为为负向负向, 且有且有负值负值y. MP=y=sin 有有 向线段向线段MP叫角叫角的的正正 弦线弦线 y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P 的的 终边终边 的的 终边终边 的的 终边终边 的的 终边终边 A(1,0) A(1,0) A(1,0) A(1,0) () () () () |MP|=|y|=|sin| |OM|=|x|=|cos| 当角当角的终边不在坐的终边不在坐 标轴上时标轴上时,以以O为始点、为始点、 M为终点为终点,规定规定: 当线段当线段OM与
14、与x轴轴同向同向 时时,OM的方向为的方向为正向正向,且且 有有正值正值x; 当线段当线段OM与与x轴轴反向反向 时时,OM的方向为的方向为负向负向,且且 有有负值负值x. OM=x=cos 有有 向线段向线段OM叫角叫角的的余弦余弦 线线 你能借助单位圆你能借助单位圆,找到一条如找到一条如OM、MP 一样的线段来表示角一样的线段来表示角的正切吗的正切吗? 思考思考 T T T y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P 的的 终边终边 的的 终边终边 的的 终边终边 的的 终边终边 A(1,0) A(1,0) A(1,0) A(1,0) () () ()
15、() T 过点过点A(1,0)作单位作单位 圆的切线圆的切线,设它与设它与 的终边或其反向延的终边或其反向延 长线相交于点长线相交于点T. tan MP OM ATy AT OAx 有向线段有向线段ATAT叫叫 角角的的正切线正切线 这三条与单位圆有关的有向线段这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、 AT,分别叫做角分别叫做角的的正弦线、余弦线、正切正弦线、余弦线、正切 线线,统称为统称为三角函数线三角函数线 y x T M O P 的的 终边终边 A(1,0) 当角当角的终边与的终边与x轴重合时轴重合时,正弦线、正切正弦线、正切 线线,分别变成一个点分别变成一个点,此时角此时角的的正弦值和正正弦值和正 切值都为切值都为0; 当角当角的终边与的终边与y轴重合时轴重合时,余余 弦线变成一个点弦线变成一个点,正切线不存正切线不存 在在,此时角此时角的的正切值不存在正切值不存在. x y o x y o x y o x y o 的终边 的终边 的终边 的终边 T P M P M P M P M T A A T A T A () () () ()
