1、第二课时第二课时 数列求和习题课数列求和习题课 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.通过具体实例通过具体实例, ,理解并掌握数列的分组求和法理解并掌握数列的分组求和法. . 2.2.通过具体实例通过具体实例, ,理解并掌握数列的裂项求和法理解并掌握数列的裂项求和法. . 3.3.通过具体实例通过具体实例, ,理解并掌握数列求和的错位相减法理解并掌握数列求和的错位相减法. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.公式法求和公式法求和 (1)(1)等差数列的前等差数列的前 n n 项和公式项和公式 S Sn n= = 1 2 n n aa = = 1 1 2 n
2、n nad ； (2)(2)等比数列前等比数列前 n n 项和公式项和公式 S Sn n= = 1 1 1 1 1 , 1 . n aq q na q q 2.2.分组法求和分组法求和 有些数列有些数列, ,通过适当分组通过适当分组, ,可把它拆分成等差数列和等比数列求和可把它拆分成等差数列和等比数列求和. . 3.3.裂项相消法求和裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差把数列的通项拆成两项之差, ,在求和时中间的一些项可以相互抵消在求和时中间的一些项可以相互抵消, ,从而求得从而求得 其和其和. . 4.4.错位相减法求和错位相减法求和 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对
3、应项之积构成的如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的, , 在求和式子的左、右两边同乘等比数列的公比在求和式子的左、右两边同乘等比数列的公比, ,然后错位相减然后错位相减, ,使其转化为等使其转化为等 比数列的求和问题比数列的求和问题. . 自我检测自我检测 B B 1.(1.(裂项相消法求和裂项相消法求和) )数列数列aan n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n, ,若若 a an n= = 1 1n n , ,则则 S S5 5等于等于 ( ( ) ) (A)1(A)1 (B)(B) 5 6 (C)(C) 1 6 (D)(D) 1 30 解析解析:
4、:a an n= = 1 1n n = = 1 n - - 1 1n , , S S5 5= = 1 1 - - 1 2 + + 1 2 - - 1 3 + + 1 3 - - 1 4 + + 1 4 - - 1 5 + + 1 5 - - 1 6 =1=1- - 1 6 = = 5 6 . .故选故选 B.B. B B 解析解析: :因为因为 a an n=2=2 n n+n, +n, 所以所以 S Sn n=(2+2=(2+2 2 2+ + +2+2 n n)+(1+2+ )+(1+2+n)+n)=2=2 n+1n+1- -2+ 2+ 1 2 n n . . 所以所以 S S6 6=2=2
5、 7 7- -2+ 2+ 67 2 =147.=147. 故选故选 B.B. 2.(2.(分组法求和分组法求和) )已知数列已知数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2=2n n+n,+n,前前n n项和为项和为S Sn n, ,则则S S6 6 等于等于( ( ) ) (A)282(A)282 (B)147(B)147 (C)45(C)45 (D)70(D)70 解析解析: :因为因为 a an n= = 1 1nn = =1n- -n, , 又又 a a1 1+a+a2 2+ +a+an n= =- -(1(1- -2+ +2- -2+ + + +n- -1n)=)=1n-
6、 -1=9,1=9,所以所以 n=99.n=99. 3.(3.(裂项相消法求和裂项相消法求和) )数列数列aan n 的通项公式是的通项公式是 a an n= = 1 1nn , ,其前其前 n n 项项 和为和为 9,9,则则 n n 等于等于( ( ) ) (A)9(A)9 (B)99(B)99 (C)10(C)10 (D)100(D)100 B B 解解: :当当 a=1a=1 时时,S,Sn n=1+3+5+=1+3+5+(2n+(2n- -1)=n1)=n 2 2. . 当当 a a1 1 时时,S,Sn n=1+3a+5a=1+3a+5a 2 2+7a +7a 3 3+ + +(2
7、n+(2n- -1)a1)a n n- -1 1, , 则则 aSaSn n=a+3a=a+3a 2 2+5a +5a 3 3+ + +(2n+(2n- -3)a3)a n n- -1 1+(2n +(2n- -1)a1)a n n, , - -得得(1(1- -a)Sa)Sn n=1+2a+2a=1+2a+2a 2 2+2a +2a 3 3+ + +2a+2a n n- -1 1- -(2n (2n- -1)a1)a n n=1+ =1+ 1 21 1 n aa a - -(2n(2n- -1)a1)a n n. . 所以所以 S Sn n= = 121 1 n na a + + 2 2 1
8、 n aa a . . 4.(4.(错位相减法错位相减法) )求数列求数列 1,3a,5a1,3a,5a 2 2,7a ,7a 3 3, , ,(2n,(2n- -1)a1)a n n- -1 1(a (a0)0)的前的前 n n 项和项和. . 课堂探究课堂探究 分组求和分组求和 题型一题型一 解解: :当当 x x1 1 时时, , S Sn n= =( (x+x+ 1 x ) ) 2 2+ +( (x x2 2+ + 2 1 x ) ) 2 2+ + + +( (x x n n+ + 1 n x ) ) 2 2= =( (x x2 2+2+ +2+ 2 1 x ) )+ +( (x x
9、4 4+2+ +2+ 4 1 x ) )+ + +( (x x 2n2n+2+ +2+ 2 1 n x ) )=(x=(x 2 2+x +x 4 4+ + +x+x 2n2n)+2n+ )+2n+（ 2 1 x + + 4 1 x + + + 2 1 n x ）= = 22 2 1 1 n xx x + + 22 2 1 1 n xx x +2n=+2n= 222 22 11 1 nn n xx xx +2n;+2n; 当当 x=x=1 1 时时,S,Sn n=4n,=4n,综上得综上得,S,Sn n= = 222 22 4 ,1, 11 2 ,1. 1 nn n n x xx n x xx
10、【例【例 1 1】 求和求和:S:Sn n= =（x+x+ 1 x ） 2 2+ +( (x x2 2+ + 2 1 x ) ) 2 2+ + + +( (x x n n+ + 1 n x ) ) 2 2. . 题后反思题后反思 某些数列某些数列, ,通过适当分组通过适当分组, ,可把它拆分成两个或两个以上的等可把它拆分成两个或两个以上的等 差数列或等比数列求和问题差数列或等比数列求和问题, ,那么我们可利用等差数列或等比数列的求和公那么我们可利用等差数列或等比数列的求和公 式分别求和式分别求和, ,进而得出原数列的和进而得出原数列的和. . 即时训练即时训练 1 1 1:1:已知数列已知数列
11、ccn n:1:1 1 2 ,2,2 1 4 ,3,3 1 8 , , ,试求试求ccn n 的前的前 n n 项和项和. . 解解: :令令ccn n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n, , 则则 S Sn n=1=1 1 2 +2+2 1 4 +3+3 1 8 + + + n+n+( ( 1 2 ) ) n n =(1+2+3+ =(1+2+3+n)+n)+ 1 2 + + 1 4 + + 1 8 + + +( ( 1 2 ) ) n n = = 1 2 n n + + 11 1 22 1 1 2 n = = 1 2 n n +1+1- -( ( 1 2 ) ) n n. .
12、即数列即数列ccn n 的前的前 n n 项和项和 S Sn n= = 2 2 nn +1+1- -( ( 1 2 ) ) n n. . 解解: :当当 a=1a=1 时时, ,则则 a an n=n,=n,于是于是 S Sn n=1+2+3+=1+2+3+n=+n= 1 2 n n . . 当当 a a1 1 时时,a,an n= = 1 1 n a a = = 1 1a (1(1- -a a n n). ). 所以所以 S Sn n= = 1 1a nn- -(a+a(a+a 2 2+ + +a+a n n) )= = 1 1a n n- - 1 1 n aa a = = 1 n a -
13、- 2 1 1 n aa a . . 综上得综上得 S Sn n= = 2 1 1 , 2 1 1 . 1 1 n n n a aa n a a a 【备用例备用例1 1】 求数列求数列1,1+a,1+a+a1,1+a,1+a+a2 2, ,1+a+a,1+a+a2 2+ +a+an n- -1 1, ,的前的前n n项和项和S Sn n( (其中其中a0).a0). 裂项求和裂项求和 题型二题型二 解解: :(1)(1)设数列设数列aan n 的公比为的公比为 q,q,则由则由 2 3 a=9a=9a2 2a a6 6=9=9 2 4 a, ,所以所以 q q 2 2= =1 9 因为因为
14、q0,q0,所以所以 q=q= 1 3 . . 由由 2a2a1 1+3a+3a2 2=1=1 得得 2a2a1 1+3a+3a1 1q=1,q=1,所以所以 a a1 1= = 1 3 . . 故数列故数列aan n 的通项公式为的通项公式为 a an n= = 1 3n . . 【例【例 2 2】 等比数列等比数列aan n 的各项均为正数的各项均为正数, ,且且 2a2a1 1+3a+3a2 2=1,=1, 2 3 a=9a=9a2 2a a6 6. . (1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式; ; (2)(2)设设 b bn n=log=log3 3a a1 1+lo
15、g+log3 3a a2 2+ +log+log3 3a an n, ,求数列求数列 1 n b 的前的前 n n 项和项和 T Tn n. . (2)b(2)bn n=log=log3 3a a1 1+log+log3 3a a2 2+ +log+log3 3a an n= =- -(1+2(1+2+ +n)+n) = =- - 1 2 n n . . 故故 1 n b = =- - 2 1n n = =- -2 2( ( 1 n - - 1 1n ) ), , 所以所以 T Tn n= = 1 1 b + + 2 1 b + + + 1 n b = =- -2 2(1 1- - 1 2 )
16、 )+ +( ( 1 2 - - 1 3 ) )+ + + （ 1 n - - 1 1n ） = =- - 2 1 n n . . 题后反思题后反思 对于通项公式是分式的一类数列对于通项公式是分式的一类数列, ,在求和时常用“裂项法”在求和时常用“裂项法”. .可可 用待定系数法对通项公式进行拆项用待定系数法对通项公式进行拆项, ,相消时应注意消去项的规律相消时应注意消去项的规律, ,即消去即消去 哪些项哪些项, ,保留哪些项保留哪些项, ,常见的拆项公式有常见的拆项公式有: : (1)(1) 1 n nk = = 1 k ( ( 1 n - - 1 nk ) ); ; (2)(2)若若aan
17、 n 为等差数列为等差数列, ,公差为公差为 d,d, 则则 1 1 nn aa = = 1 d ( ( 1 n a - - 1 1 n a ) ); ; (3)(3) 1 1nn = =1n- -n等等. . 解解: :因为因为 a an n= = 1 12n = = 2 1n n =2=2( ( 1 n - - 1 1n ) ), , 所以所以 S Sn n=2=2( (1 1- - 1 2 + + 1 2 - - 1 3 + + + 1 n - - 1 1n ) )= = 2 1 n n . . 即时训练即时训练 2 2 1:1:求和求和:1+:1+ 1 12 + + 1 123 + +
18、 + 1 123n . . 解解: :(1)(1)设设aan n 的公差为的公差为 d,d,则则 S Sn n=na=na1 1+ + 1 2 n n d.d. 由已知可得由已知可得 1 1 330, 5105. ad ad 解得解得 a a1 1=1,d=1,d=- -1.1. 故故aan n 的通项公式为的通项公式为 a an n=2=2- -n.n. 【思维激活】【思维激活】 (2013 (2013 高考新课标全国卷高考新课标全国卷) )已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前 n n 项和项和 S Sn n 满足满足 S S3 3=0,S=0,S5 5= =- -5.5. (1)(
19、1)求求aan n 的通项公式的通项公式; ; (2)(2)求数列求数列 2121 1 nn aa 的前的前 n n 项和项和. . (2)(2)由由(1)(1)知知 2121 1 nn aa = = 1 3212nn = = 1 2 ( ( 1 23n - - 1 21n ) ), , 从而数列从而数列 2121 1 nn aa 的前的前 n n 项和为项和为 1 2 ( ( 1 1 - - 1 1 + + 1 1 - - 1 3 + + + 1 23n - - 1 21n ) )= = 12 n n . . 解解: :数列的通项数列的通项 a an n= = 2 2 11 11 n n =
20、 = 2 2 22 2 nn nn =1+=1+ 2 2 2nn =1+=1+( ( 1 n - - 1 2n ) ), , 所以所以 S Sn n= =( (1+1+ 1 1 - - 1 3 ) )+ +( (1+1+ 1 2 - - 1 4 ) )+ +( (1+1+ 1 3 - - 1 5 ) )+ + +（1+1+ 1 1n - - 1 1n ）+ + （1+1+ 1 n - - 1 2n ）=n+1+=n+1+ 1 2 - - 1 1n - - 1 2n = =n n- - 1 1n - - 1 2n + + 3 2 . . 【备用例【备用例 2 2】 求数列求数列 2 2 21 2
21、1 , , 2 2 31 31 , , 2 2 41 41 , , , 2 2 11 11 n n 的前的前 n n 项和项和 S Sn n. . 错位相减法求和错位相减法求和 题型三题型三 解解: :(1)(1)当当 n=1n=1 时时,a,a1 1=S=S1 1=3+k;=3+k; 当当 n n2 2 时时,a,an n=S=Sn n- -S Sn n- -1 1=(3=(3 n n+k) +k)- -(3(3 n n- -1 1+k)=2 +k)=23 3 n n- -1 1. . 因为数列因为数列aan n 是等比数列是等比数列, ,所以所以 2 1 a a =3,=3, 即即 23
22、3k =3,=3,解得解得 k=k=- -1.1. 所以所以 a an n=2=23 3 n n- -1 1. . 【例【例 3 3】 已知等比数列已知等比数列aan n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n, ,且满足且满足 S Sn n=3=3 n n+k(k +k(k 为常数为常数,n,nN N * *). ). (1)(1)求求 k k 的值及数列的值及数列aan n 的通项公式的通项公式; ; (2)(2)若数列若数列aan n 满足满足 1 2 n a = = 2 4 n n b k , ,求数列求数列bbn n 的前的前 n n 项和项和 T Tn n. . (2)(2)
23、将将 k=k=- -1 1 及及 a an+1 n+1=2=23 3 n n, , 代入代入 1 2 n a = = 2 4 n n b k , ,得得 b bn n= = 2 n n , , T Tn n= = 1 1 2 + + 2 2 2 + + 3 3 2 + + + 2 n n , , 1 2 T Tn n= = 2 1 2 + + 3 2 2 + + 4 3 2 + + + 1 2n n + + 1 2n n , , - -得得 1 2 T Tn n= = 1 2 + + 2 1 2 + + 3 1 2 + + 4 1 2 + + + 1 2 n - - 1 2n n =1=1-
24、- 1 2 n - - 1 2n n , , 所以所以 T Tn n=2=2- - 1 1 2n - - 2 n n =2=2- - 2 2n n . . 解解: :分分 x=1x=1 和和 x x1 1 两种情况两种情况. . 当当 x=1x=1 时时,S,Sn n=1+2+3+=1+2+3+n=+n= 1 2 n n . . 当当 x x1 1 时时,S,Sn n=x+2x=x+2x 2 2+3x +3x 3 3+ + +nx+nx n n, ,xS xSn n=x=x 2 2+2x +2x 3 3+3x +3x 4 4+ + +(n+(n- -1)x1)x n n+nx +nx n+1n
25、+1, , 所以所以(1(1- -x)Sx)Sn n=x+x=x+x 2 2+x +x 3 3+ + +x+x n n- -nx nx n+1n+1= = 1 1 n xx x - -nxnx x+1x+1. .所以 所以 S Sn n= = 2 1 1 n xx x - - 1 1 n nx x . . 综上可得综上可得 S Sn n= = 1 2 1 1, 2 1 10 . 11 n n n n x xx nx xx xx 且 即时训练即时训练3 3- -1:1:求和求和:S:Sn n=x+2x=x+2x2 2+3x+3x3 3+ +nx+nxn n(x0).(x0). 解解: :(1)(
26、1)当当 n=1n=1 时时,a,a1 1=S=S1 1=1;=1; 当当 n n2 2 时时, , a an n=S=Sn n- -S Sn n- -1 1 = = 2 2 nn - - 2 11 2 nn =n.=n. 故数列故数列aan n 的通项公式为的通项公式为 a an n=n.=n. 【思维激活】【思维激活】 (2014(2014 高考湖南卷高考湖南卷) )已知数列已知数列aan n 的前的前 n n 项和项和 S Sn n= = 2 2 nn ,n,nN N * *. . (1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式; ; (2)(2)设设 b bn n= =2 n
27、 a +(+(- -1)1) n na a n n, ,求数列求数列bbn n 的前的前 2n2n 项和项和. . (2)(2)由由(1)(1)知知,b,bn n=2=2 n n+( +(- -1)1) n nn. n. 记数列记数列bbn n 的前的前 2n2n 项和为项和为 T T2n 2n, , 则则 T T2n 2n=(2=(2 1 1+2 +2 2 2+ + +2+2 2n2n)+( )+(- -1+21+2- -3+43+4- -+2n).+2n). 记记 A=2A=2 1 1+2 +2 2 2+ + +2+2 2n2n,B= ,B=- -1+21+2- -3+43+4- -+2n,+2n, 则则 A=A= 2 2 12 12 n =2=2 2n+12n+1- -2, 2, B=(B=(- -1+2)+(1+2)+(- -3+4)+3+4)+- -(2n(2n- -1)+2n=n.1)+2n=n. 故数列故数列bbn n 的前的前 2n2n 项和项和 T T2n 2n=A+B=2=A+B=2 2n+12n+1+n +n- -2.2. 点击进入课时作业点击进入课时作业 点击进入周练卷点击进入周练卷 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
