1、 前面我们学习了复数的概念及其几何意义：前面我们学习了复数的概念及其几何意义： x实轴实轴 y虚轴虚轴 O z:a + bi r=|z| 1.复数复数z=a+bi，表示向量：，表示向量：oz 2.复数的模等于向量的模：复数的模等于向量的模： )0(| 22 rbarbiaz 3.相等的向量表示同一个复数。相等的向量表示同一个复数。 下面我们就来进一步讨论复数的运算性质下面我们就来进一步讨论复数的运算性质 规定规定1：复数的加法规则：复数的加法规则： z1=a+bi,z2=c+di是任意的两个复数，那么是任意的两个复数，那么 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 因此，两个复数的
2、和仍然是一个确定的复数因此，两个复数的和仍然是一个确定的复数 复数的加法满足交换律和结合律吗？复数的加法满足交换律和结合律吗？ 1.加法的代数运算：设，加法的代数运算：设，z1,z2,z3R，有：，有： z1+z2=z2+z1 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) (交换律交换律) (结合律结合律) 2加法的加法的几何意义几何意义：z1=a+bi,z2=c+di x y o z1=a+bi z2=c+di 3.减法的运算：减法的运算： 如何理解复数的减法？如何理解复数的减法？ 1.代数式：代数式：z=a+bi,z1=c+di,且且z1+z2=z,则则 z2=x+yi, z1+z2=z (
3、c+x)+(d+y)i=a+bi x=a-c y=b-d 2.几何意义几何意义： x y o z2=(a-c)+(b-d)i z1=c+di 例例1.计算计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解解 原式原式(5-2-3)+(-6-1-4)i =-11i 规定规定2:复数的乘法法则：复数的乘法法则： 因此，两个复数的乘积仍然是一个确定的复数，因此，两个复数的乘积仍然是一个确定的复数， 它和多项式的运算规则一致它和多项式的运算规则一致 复数的乘法是否满足复数的乘法是否满足交换律交换律、结合律结合律以及对加法的以及对加法的分配律分配律？ 复数的乘法法则：复数的乘法法则： 设设 ， 是任意两个
4、复数，那么它们的积是任意两个复数，那么它们的积 biaz 1 dicz 2 ibcadbdac bdiadibciadicbia )()( )( 2 我们比较容易证明这些性质：我们比较容易证明这些性质： 1.交换律：交换律：z1 z2=z2 z1 2.结合律结合律:(z1 z2) z3=z1 (z2 z3) 3.结合律：结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 例例2 2 计算计算 )2)(43)(21(iii 解：解： i ii iii 1520 )2)(211( )2)(43)(21( 例例3 求求 )(biabia 解：解： 22 22222 )()( ba ibabiabiabi
5、a 两个两个共轭复数共轭复数 的积是一个实数，这个实数等于每个复的积是一个实数，这个实数等于每个复 数的模的平方，即数的模的平方，即 22 |zzzz zz, 两个实部相等，虚部互为相反两个实部相等，虚部互为相反 数的复数互为共轭复数复数数的复数互为共轭复数复数 z的共轭复数记作的共轭复数记作 z 若若z za ab bi(i(a a，b bR)R)，则，则 z abi 共轭复数所对应的点关于实轴对称容易证明有以下特点：共轭复数所对应的点关于实轴对称容易证明有以下特点： nn zzzzzz 21211. 2. 3. 4. 2121 zzzz nn zzzzzz 2121 2 1 2 1 z z
6、 z z ( (z z2 20)0) 例例4 4 设设 ，求证：，求证： （1） ；（；（2） i 2 3 2 1 01 2 . 1 3 证明：证明： （1） 22 ) 2 3 2 1 () 2 3 2 1 (11ii ; 0 4 3 2 3 4 1 2 3 2 1 ii 22 ) 2 3 ( 2 3 2 1 2) 2 1 ( 2 3 2 1 iii 33 ) 2 3 2 1 (i ) 2 3 2 1 () 2 3 2 1 ( 2 ii ) 2 3 2 1 )( 2 3 2 1 (ii 22 ) 2 3 () 2 1 (i 1 4 3 4 1 (2) 复数的乘方：复数的乘方： 对任何对任何 及
7、及 ，有，有 Czzz 21, , Nnm, nmnm zzz mnnm zz )( nn n zzzz 2121 )( 1 2 i iiii 23 1 34 iiiii ii 1 特殊的有：特殊的有： 一般地，如果一般地，如果 ，有，有 Nn iiiiii nnnn 3424144 , 1, 1 实数的除法是其乘法的实数的除法是其乘法的逆运算逆运算，而向量是，而向量是没有除法运算没有除法运算的，的， 那么复数的除法运算情况怎样的呢？那么复数的除法运算情况怎样的呢？ 复数的除法法则为：复数的除法法则为： )0( )( )( )()( 2222 dici dc adbc dc bdac dicd
8、ic dicbia dic bia dicbia 共轭复数有理化共轭复数有理化 例例 4 4 计算 （1） （2） 分析：可按复数乘、除法运算法则进行计算 解：（1） （2） 例例 5 5 计算 分析：复数的运算顺序也与实数的运算顺序一样，是先进行高级运算 （乘方、 开方） ， 再进行次级运算 （乘、 除） ， 最后进行低级运算 （加、 减）。如 的幂运算，先利用 的害虫的周期性，将其次数降低，然后 再进行四则运算。 解：原式 例例 6 6 计算。 解法 1：原式 解法 2：原式 小结：一定要熟记，等 练习练习 1 1 计算 分析：对于复数运算，除了应用四则运算法则 之外，对于一些简单算式要知
9、道其结果，这样起点 高，方便计算，达到迅速简捷少出错的效果。比如 ，等等。 解：原式 练习练习 2 2 当时，的值等于（ ） A1 B1 C D （1993 年全国高考试题） 分析：将已知式两端平方有。将代入被求式求 。 解： ， 应选 D。 注意：在熟悉的基础上，由变形为，即化简了已知条件，同时又便 于代入被求式求值。 练习练习 3 3 复数等于（ ） A B C D 分析：可利用 ； 与形式非常接近，可考虑 ， 利用 的性质去简化计算。 解： 1.复数加法的代数运算法则及其几何意义复数加法的代数运算法则及其几何意义 2.复数的乘法以及除法的代数运算复数的乘法以及除法的代数运算 3.共轭复数共轭复数
