1、三角函数1.1.1任意角和弧度制1.2弧度制基础梳理1、度量角的两种制度（1）角度制 定义：用度作为单位来度量角的单位制。1度的角：周角的 作为一个单位。（2）弧度制 定义：用弧度作为单位来度量角的单位制。1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角。36012、弧度数的计算2、角度制与弧度制的换算知识点拨1、有关“角度”与“弧度”概念的理解区区 别别（1）定义不同。）定义不同。（2）单位不同。弧度制是以）单位不同。弧度制是以“弧度弧度”为单位，单为单位，单位可以省略，而角度制是以位可以省略，而角度制是以“度度”为单位，单位不为单位，单位不能省略。能省略。（3）弧度制是十进制，而角度制是六十进制
2、。）弧度制是十进制，而角度制是六十进制。1、有关“角度”与“弧度”概念的理解联联 系系（1）不管以）不管以“弧度弧度”还是以还是以“度度”为单位的角的大为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关。与所含的弧这两者的比值有关。（2）“弧度弧度”与与“角度角度”之间可以互相转化。之间可以互相转化。2、解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为：期中 为圆心角的弧度数，R为扇形的半径。要把握好上述公式，需注意以下三个方面：（1）由上述公式可知，由 ，R,S中的两个量可以求出另外的两个
3、量，即知二求二。（2）应用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是 为弧度制。2|2121,|RlRSRll（3）在应用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形应用：|,|,|lRRlRl222|,|21RSRS要点探究归纳类型一：有关类型一：有关“角度角度”与与“弧度弧度”概念的理解概念的理解【典例1】（1）下列说法不正确的是（）A.“度”与“弧度”是角的两种不同的度量单位 B.1度的角是周角的 ，1弧度的角是周角的 C.根据弧度的定义，一定等于 弧度 D.不论是用角度制还是用弧度制度两角，它们与圆的半径长短有关180360121类型一：象限角的判定类
4、型一：象限角的判定【典例1】（1）解析：选D。根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是假命题，选项A,B,C均为真命题。类型一：有关类型一：有关“角度角度”与与“弧度弧度”概念的理解概念的理解【典例1】（2）在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（）A.所对弧长相等 B.所对弦长相等 C.所对弦长等于各自半径 D.所对弧长等于各自半径类型一：象限角的判定类型一：象限角的判定【典例1】（2）解析：选D。1弧度的圆心角是指长度等于 半径长的弧所对的圆心角，所以D正确。类型一：象限角的判定类型一：象限角的判定【思考思考】解决第（
5、1）题的关键点是什么？提示：提示：关键是把握好角度与弧度的定义，明确两者的区别和练习。类型一：象限角的判定类型一：象限角的判定【规律方法】解决“角度”与“弧度”概念问题的关注点 （1）引入弧度制后，角的集合与实数集建立了 一对一对应关系。（2）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同；用角度制和弧度制度量任意非零角，单位不同，数量也不同。（3）“角度”与“弧度”可以按照“”这一等量关系进行相互转化。（4）角度的单位“。”不可以省略，而弧度的单位“rad”可省略。（5）在同一个式子中，角度、弧度不能混合使用。rad180类型一：象限角的判定类型一：象限角的判定【变式训练】下列各命题中，真
6、命题是（）A.1弧度就是 的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度等于半径的弧 C.1弧度是 的弧与 的角之和 D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角111类型一：象限角的判定类型一：象限角的判定【解析】选D。根据弧度制和角度制的规定可知A,B,C均错误，D正确。类型二：终边相同的角与区间角的表示和应用类型二：终边相同的角与区间角的表示和应用【典例2】（1）把下列弧度化为度。=_;=_.（2）把下列角度化为弧度。（3）把下列各角化成 的形式，并指出是第几象限角。-4 127613-1500-、30671725-364类型二：终边相同的角与区间角的表示和应用类型二：终边相同的角与区间角的表示和应用【
7、典例2】解析：（1）（2）（3）第一象限角 第三象限角 第二象限角 105390-325-83类型二：终边相同的角与区间角的表示和应用类型二：终边相同的角与区间角的表示和应用【变式训练】用弧度制表示终边落在 轴上方的角的集合为_.x类型二：终边相同的角与区间角的表示和应用类型二：终边相同的角与区间角的表示和应用【解析】若角 的终边落在 轴上方，则【答案】xZkkk,22Zkkk,22|类型一：象限角的判定类型一：象限角的判定【规律方法】角度制与弧度制互化的策略以及注意点 （1）原则：牢记 ，充分利用 和 进行换算。（2）方法：设一个角的弧度数为 ，角度数为 ，则 ；（3）注意点 用“弧度”为单
8、位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写。用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少的形式；度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度rad180rad18011801radn180radradnn180类型三：与弧长、扇形面积有关的问题类型三：与弧长、扇形面积有关的问题【典例3】（1）半径为2，圆心角为 的圆弧的长度为_.（2）在半径为6的圆中，长度为6的弦和它所对的劣弧围成的弓形的面积为_.（3）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数。35类型三：确定类型三：确定 角所在的象限角所在的象限【解析】（1）因为半径r=2，圆心角 ，所以弧长 （2）如图所示，
9、因为AB=6,OA=OB=6,所以 。所以扇形AOB的面积 。又因为AOB是等边三角形，所以 。所以所求弓形的面积 。n35310235rl3AOB66321212122rlrSAOB扇形396432AOBS39-6S类型三：确定类型三：确定 角所在的象限角所在的象限【解析】（3）设扇形圆心角的弧度数为 ，弧长为 ，半径为R，依题意有 ,消去 得R2-5R+4=0 ，解之得R1=1,R2=4.当R=1时，此时，舍去。当R=4时，此时，n）（20421102lRRlll)(8 cml)(2 cml radrad28rad2142类型三：确定类型三：确定 角所在的象限角所在的象限【互动探究】在第（
10、3）题中，若扇形的周长10cm改为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？n2类型三：确定类型三：确定 角所在的象限角所在的象限【解析】设扇形的圆心角为 ，半径为R，弧长为 ，面积为S，则 所以 ，所以 所以当半径R=10cm时，扇形的面积最大。这个最大值为100cm2，这时 nl402 RlRl2-40100)10()20()240(21212RRRRRlRSradRl21010240类型三：确定类型三：确定 角所在的象限角所在的象限【规律方法】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略及注意点 （1）解题策略明确弧度制下弧长公式 ，扇形的面积公式是（其中
11、 是扇形的弧长，是扇形的圆心角）。涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活应用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程（组）求解。nrl|2|2121rlrSl类型三：确定类型三：确定 角所在的象限角所在的象限【规律方法】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略及注意点 （2）注意点在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负。看清角的度量制，选用相应的公式。扇形的周长等于弧长加两个半径长。n知能达标演练1.时钟经过1小时，时针转过了（）A.B.C.D.rad6【解析】选B。顺时针方向旋转形成的角为负角 ，故选B。rad6-rad12rad
12、12-6-2121-2.集合 所表示的角的范围（用阴影表示）是（）Zkkk,24|【解析】选C。当 时，角 终边所在的位置与 范围内的角的终边相同，当 时 ，即 ，角 终边所在位置与 范围内的角的终边相同，故选C。nk22242nn24，12 nk2)12(4)12(nn232452nn2345，3.圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则（）A.扇形的面积不变B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原来的2倍D.扇形的圆心角增大到原来的2倍【解析】选B。根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长与半径的比，故选B。nk24.圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为_.【解析】设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为 ，所以弧长等于 的圆心角的弧度数 【答案】：-2R3R333RR35.求半径为 ，圆心角为 的扇形的弧长及面积。cm【解析】因为 所以,32180120,cmr120)(321),(32|232cmlrScmrl谢谢大家
