1、一、直角坐标系中的累次积分法一、直角坐标系中的累次积分法二、极坐标系中的累次积分法二、极坐标系中的累次积分法 第二节第二节 二重积分的计算方法二重积分的计算方法第十章第十章重重 积积 分分设设 A(x)表示过点表示过点 x 任取子区间任取子区间 x,x+dx a,b.且垂直且垂直 x 轴的轴的平面平面 与曲顶柱体相交的截面的面与曲顶柱体相交的截面的面积，积，1.设积分区域设积分区域 D 可用不等式组表示为可用不等式组表示为 bxaxyx ),()(21 如图所示，如图所示，选选 x 为积分变量，为积分变量，x a,b，一、直角坐标系中的累次积分法一、直角坐标系中的累次积分法 则曲顶柱体体积则曲
2、顶柱体体积 V 的微元的微元 dV 为为 baxxAV.d)(,d)(dxxAV 式中面积函数式中面积函数 A(x)是一个是一个以区间以区间 1(x),2(x)为底为底边、边、以曲线以曲线 z=f(x,y)(x 是固是固定的定的)为曲边的曲边梯形，为曲边的曲边梯形，其面积可表示为其面积可表示为 )()(21.d),()(xxyyxfxA 将将 A(x)代入上式，代入上式，则曲顶柱体的体积则曲顶柱体的体积.dd),()()(21 baxxxyyxfV 于是于是，二重积分二重积分 baxxDxyyxfyxf.dd),(d),()()(21 公式称为先积公式称为先积 y(也称内积分对也称内积分对 y
3、)后积后积 x(也称外也称外积分对积分对 x)的累次积分公式的累次积分公式.它通常也可写成它通常也可写成 baxxDyyxfxyxf)()(21d),(dd),(这结果也适用于一般情形这结果也适用于一般情形.2.设积分区域设积分区域 D 可用不等式组表示为可用不等式组表示为如右图，则如右图，则 Ddcyyxyxfyyxf)()(21.d),(dd),(，dycyxy )()(21 首先在首先在 xy 平面上画出所围平面上画出所围成的区域成的区域 D.若是先积若是先积 y 后积后积 x 时时，得投影区间得投影区间 a,b，则把区域则把区域 D 投影到投影到 x 轴上，轴上，在在 a,b 上任意确
4、定上任意确定一个一个 x，这时这时 a 就是对就是对 x 积分积分(外积分外积分)的下限，的下限，b 就是对就是对 x 积分积分(外积分外积分)的上限；的上限；过过 x 画一条与画一条与 y 轴平行的直线，轴平行的直线，假定它与区域假定它与区域 D 的边界曲线的边界曲线(x=a,x=b 可以除外可以除外)的交点总是不超过的交点总是不超过两个两个(称这种区域为凸域称这种区域为凸域).把二重积分化为累次积分，把二重积分化为累次积分，其上下限的定法可用如下直观其上下限的定法可用如下直观方法确定：方法确定：且与边界曲线交点纵坐标分别为且与边界曲线交点纵坐标分别为 y=1(x)和和 y=2(x)，如果如
5、果 2(x)1(x)，那么那么 1(x)就对就对 y 积分积分(内积分内积分)的下限的下限，2(x)就是对就是对 y 积分积分(内积分内积分)的上限的上限.类似地，先积类似地，先积 x(内内积分积分)后积后积 y(外积分外积分)时时的定限方法如右图所示的定限方法如右图所示.如果区域不属于凸域，把如果区域不属于凸域，把 D 分成若干个小区域，分成若干个小区域，使每个小区域都属于凸域，那么使每个小区域都属于凸域，那么 D 上的二重积分就上的二重积分就是这些小区域上的二重积分的和是这些小区域上的二重积分的和.例例 1试将二重积分试将二重积分 Dyxf化化为为 d),(两种不同两种不同次序的累次积分，
6、次序的累次积分，其中其中 D 是由是由 x=a,x=b,y=c,y=d(a b,c d)所围成的矩形区域所围成的矩形区域.解解画出积分区域画出积分区域 D 如图如图.如果先积如果先积 y 后积后积 x，则有则有 Dbadcyyxfxyxf.d),(dd),(如果先积如果先积 x 后积后积 y，则可得，则可得 Ddcbaxyxfyyxf.d),(dd),(例例 2 试将试将 化为两种不同次序的累次化为两种不同次序的累次积分，积分，Dyxf d),(其中其中 D 是由是由 y=x，y=2-x 和和 x 轴所围成的区域轴所围成的区域.解解 首先画出积分区域首先画出积分区域 D 如图，如图，并求出边界
7、曲线并求出边界曲线的交点的交点(1,1)、(0,0)及及(2,0).Dyxf d),(则则 1d),(Dyxf -2120,d),(dxyyxfx 2d),(Dyxf 100d),(dxyyxfx如果先积如果先积 x 后积后积 y，则为则为.d),(dd),(102 -Dyyxyxfyyxf 其中其中 D 是抛物线是抛物线 y2=x 与直线与直线 y=x-2 所围成的区域所围成的区域.例例 3计算二重积分计算二重积分,d Dxy 解解 画出积分区域画出积分区域 D 如图，如图，并求出边界曲线的交并求出边界曲线的交点点(1,-1)及及(4,2)，由图可见，由图可见，先积先积 x(内积分内积分)后
8、积后积 y(外积分外积分)较为简便较为简便.Dxy d -2212ddyyxxyy.855 由定限示意图有由定限示意图有-2122d22yyxyy=-2152d)2(21yyyy2162346234421-yyyy例例 4计算计算,de2 -Dy 其中其中 D 是由直线是由直线 y=x,y=1 与与 y 轴所围成轴所围成.解解 画出积分区域画出积分区域 D，作定限示意图，作定限示意图，并求出边并求出边界曲线的交点界曲线的交点(1,1),(0,0)及及(0,1)，则则x=yDOx1y(1,1)(1,1)-Dy de2-101022e21deyyyy).e1(211-100ded2yyxy-100
9、de2yxyy即即 x=常数和常数和 y=常数，常数，二、极坐标系中的累次积分法二、极坐标系中的累次积分法 在直角坐标系中，用平行于在直角坐标系中，用平行于 x 轴和平行于轴和平行于 y 轴的轴的两族直线，两族直线，把区域把区域 D 分割成分割成许多子域许多子域.这些子域除了靠边界曲线的一些子域外，这些子域除了靠边界曲线的一些子域外，绝大多数都是矩形域绝大多数都是矩形域(如图如图).(当分割更细时，这些不规则当分割更细时，这些不规则子域的面积之和趋向于子域的面积之和趋向于 0.所所以不必考虑以不必考虑).).于是，图中阴于是，图中阴影所示的小矩形影所示的小矩形 i 的面积为的面积为.kjiyx
10、 因此，因此，在直角坐标系中的面积元素可记为在直角坐标系中的面积元素可记为.dddyx 而二重积分可记为而二重积分可记为.dd),(d),(DDyxyxfyxf 和和 r=常数的两常数的两族曲线，族曲线，在极坐标系中，在极坐标系中，我们可用我们可用 =常数常数 和另一族圆心在极和另一族圆心在极点的同心圆，点的同心圆，即一族从极点发出的射线即一族从极点发出的射线 这些子域除了靠这些子域除了靠边界曲线的一些子域外，边界曲线的一些子域外，把把 D 分割成许多子域，分割成许多子域，绝大多数都是扇形域绝大多数都是扇形域(如图如图).).(当分割更细时，这些不规则子当分割更细时，这些不规则子域的面积之和趋
11、向域的面积之和趋向于于 0.所以不所以不必考虑必考虑).).于是图中所示的子域于是图中所示的子域的面积近似等于的面积近似等于 以以 rd 为长，为长，dr为宽的矩形面积，因此在极为宽的矩形面积，因此在极坐标系中的面积元素可记为坐标系中的面积元素可记为,ddd rr 于是二重积分的极坐标形式为于是二重积分的极坐标形式为 DDrrrrfyxf.dd)sin ,cos(d),(sincosryrx再通过变换再通过变换 且边界方程为且边界方程为 r=r()，如图，如图，实际计算中，实际计算中，分两种情形来考虑分两种情形来考虑:1)如果原点在积分域如果原点在积分域 D 内内，则二重积分的累次积分为则二重
12、积分的累次积分为 Drrrrf dd)sin ,cos(,dd)sin ,cos(20)(0 rrrrrf或写为或写为 dd)sin ,cos(rrrrfD 20)(0.d)sin ,cos(d rrrrrfr=r()xO ,分别是对分别是对 积分积分(外积分外积分)的下限和上限，的下限和上限，则从原点作则从原点作两条射线两条射线 =和和 =()2)如果坐标原点不在积分域如果坐标原点不在积分域 D 内部内部，(如图如图)夹紧域夹紧域 D.在在 与与 之之间作任一条射线与积分域间作任一条射线与积分域 D 的边界交两点，它们的极的边界交两点，它们的极径分别为径分别为 r=r1()，r=r2()，假
13、定假定 r1()r2()，那 么那 么 r1()与与 r2()分别是对分别是对 r 积分积分(内积分内积分)下限与上限，下限与上限，即即 Drryf dd)sin ,cos(.d)sin ,cos(d)()(21 rrrrrrf例例 5把把 Dyxf d),(化为极坐标系中的累次积分，化为极坐标系中的累次积分，其中其中 D 是由圆是由圆 x2+y2=2Ry 所围成的区域所围成的区域.并把并把 D 的边界曲线的边界曲线 x 2+y2=2Ry 化为极坐标方程，化为极坐标方程，作射线作射线 =0 与与 =夹紧域夹紧域 D.解解在极坐标系中画出区域在极坐标系中画出区域 D 如图，如图，即为即为r=2R
14、sin 与域边界交两点与域边界交两点 r1=0，r2=2Rsin ，在在 0,中任作射线中任作射线Dr=2Rsin Ox得得 Dyxf d),(.d)sin ,cos(d0sin20rrrrfR .dd)sin ,cos(rrrrfD 并把并把 D 的的边界曲线化为极坐标方程，边界曲线化为极坐标方程，即为即为例例 6在极坐标系中，在极坐标系中，计算二重积分计算二重积分，Dyx d)(22 D 是由是由 x2+y2=R12 和和 x2+y2=R22(R1 R2)所围成的所围成的环形区域在第一象限的部分环形区域在第一象限的部分.解解在极坐标系中画出区域在极坐标系中画出区域 D，如图，如图，在在 0 与与 之之间任作一射线与域间任作一射线与域 D 的边界交两点的边界交两点 r=R1 和和 r=R2，2 d)(22 Dyx),(8dd414220321RRrrRR-如果积分域如果积分域 D 是整个环形，是整个环形，显然有显然有 Drrr d2r=R1,r=R2,作两条射线作两条射线 =0 与与 =2 夹紧积分域夹紧积分域 D.所以有所以有).(21424RR-DDrrryx ddd)(222 20321ddRRrr 21212d243RRRRrrr
