1、人教版 数学 九年级（下）第第2727章章 相似图相似图形形27.2.2 27.2.2 相似三角形的性质相似三角形的性质1 1.在理解相似三角形在理解相似三角形特征特征的基础上，掌握相似三角的基础上，掌握相似三角形形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比比等性质等性质，并运用其进行计算与推理，并运用其进行计算与推理。2 2.通过实践体会相似三角形的通过实践体会相似三角形的性质性质，会用性质与判，会用性质与判定解决相关的问题定解决相关的问题。学习目标学习目标相似三角形的判定方法有哪几种？相似三角形的判定方法有哪几种？1.对应边成比例，对应角相等
2、对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似的两个三角形相似.2.平行平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似角形与原三角形相似.3.三边对应成比例三边对应成比例的两三角形相似的两三角形相似.4.两边成比例且夹角相等两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的两个三角形相似.5.两角分别相等两角分别相等的两个三角形相似的两个三角形相似.6.两边对应成比例的两直角三角形两边对应成比例的两直角三角形相似相似.导入新知导入新知三角形除了三个角三角形除了三个角,三条边外三条边外,还有哪些要素还有哪些要素?【思考思考】如果两个三角形相似，那么它们的这些要素
3、如果两个三角形相似，那么它们的这些要素有一些怎样的性质呢有一些怎样的性质呢?三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？高高、角平分线角平分线、中线中线的长度，的长度，周长周长、面积面积等等高高角平分线角平分线中线中线合作探究合作探究ABCABC 如图，如图，ABC ABC，相似比为相似比为 ，它们，它们对应高对应高线线、对应中线、对应角平分线的比各是多少？、对应中线、对应角平分线的比各是多少？21ACBA B C（2）ABC ABC相似比为相似比为21对应高的比对应高的比21DAADD D 相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形的周长比等于相似比
4、ABC ABC2一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高为22.相似三角形面积的比等于相似比的平方新知二 相似三角形面积的比证明：ABCDEF.(2)ABC的面积ABC ABC新知二 相似三角形面积的比AM、DN分别为中线4如图，小明拿着一把厘米刻度尺，站在距电线杆约30 m的地方，把手臂向前伸直，刻度尺竖直，刻度尺上18个刻度恰好遮住电线杆，已知小明手臂长约 60 cm，小明能求出电线杆的高度吗？若能，请你替小明写出求解过程2一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高为22.典例精析2 利用相似三角形面积的比求多边形的面积(比）故 EH 的长为 3.2(4分)如图，在ABC中，
5、DEBC，AH是ABC的角平分线，交DE于点G，DE BC2 3，那么AG GH等于_如图，ABC ABC，若相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比又各是多少？相似三角形对应高的比等于相似比新知二 相似三角形面积的比AMBDNE.CA B C（1）ABC ABC相似比为相似比为21对应中线的比对应中线的比21DAADD D ABCA B C（3）ABC ABC相似比为相似比为21对应角平分线的比对应角平分线的比21DAADD D AB 如图，如图，ABC ABC，若相似比为若相似比为k，它们对，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比又各是多少？应高、对应中线、对应角平分线的比又各是
6、多少？ABCABC相似三角形对应相似三角形对应高的比等于相似比高的比等于相似比证明：证明：ABCABC，B=B又又 ADB=ADB=90,ABDABD从而从而A DA Bk ADAB 如图，如图，ABC ABC，相似比为，相似比为k，分别作，分别作BC，BC上的高上的高AD，AD 求证：求证：.kADDA证明：证明：ABCDEF.相似三角形对应相似三角形对应中线的比等于相似比中线的比等于相似比.ABCMDEFN.EFBCDEAB又又AM、DN分别是分别是ABC和和DEF的中线的中线.ABMDEN.求证：求证：已知：已知：ABCDEF.AM、DN分别为中线分别为中线.DEABDNAMBC=2BM
7、,EF=2EN,.ABBMDEEN.AMABDNDEB=E,证明：证明：ABCDEF.B=E,BAC=EDF.又又AM、DN分别是分别是BAC和和EDF的角平分线的角平分线.相似三角形对应相似三角形对应角平分线的比等于相似比角平分线的比等于相似比.ABCMDEFN求证：求证：已知：已知：ABCDEF.AM、DN分别为角平分线分别为角平分线.AMABDNDE.AMABDNDEBAM=EDN.AMBDNE.BACBAM21EDFEDA21 ，相似三角形相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比对应中线、角平分线的比也等于相似比.相似三角形相似三角形对应高的比等于相似比对应高的比等于相似比.一般地
8、，我们有：一般地，我们有：相似三角形对应相似三角形对应线段的比等于相似比线段的比等于相似比.归纳总结归纳总结解：解：ABC DEF，DEFH 例例1 已知已知 ABCDEF，BG、EH 分别是分别是 ABC和和 DEF 的角平分线，的角平分线，BC=6 cm，EF=4cm，BG=4.8 cm.求求 EH 的长的长.BGBCEHEF ，解得解得 EH=3.2.4.864EHAGBC故故 EH 的长为的长为 3.2 cm.典例精析典例精析1 1 利利用相似三角形对应线段的比求线段的长度用相似三角形对应线段的比求线段的长度1.相似三角形对应边的比为相似三角形对应边的比为2 3,那么相似比为那么相似比
9、为_,对应角的角平分线的比为对应角的角平分线的比为 .2 32 32.两个相似三角形对应边上的高的比为两个相似三角形对应边上的高的比为1 4,若一个三角若一个三角形的最长边是为形的最长边是为12，则另一个三角形的最长边是，则另一个三角形的最长边是_.3或或48巩固新知巩固新知 相似三角形的相似三角形的周长比周长比也也等于相似比等于相似比吗？为什么？吗？为什么？【想一想想一想】合作探究合作探究相似三角形对应边的比为2 5,那么周长比为_.相似三角形对应高的比等于相似比如图，ABC ABC，相似比为 ，它们对应高线、对应中线、对应角平分线的比各是多少？相似三角形面积的比等于相似比的平方.ABMDE
10、N.3如图，点M是ABC内一点，过点M分别作直线平行于ABC的各边，所形成的三个小三角形1，2，3(图中阴影部分)的面积分别是1，4，9，则ABC的面积是_4如图，小明拿着一把厘米刻度尺，站在距电线杆约30 m的地方，把手臂向前伸直，刻度尺竖直，刻度尺上18个刻度恰好遮住电线杆，已知小明手臂长约 60 cm，小明能求出电线杆的高度吗？若能，请你替小明写出求解过程BAM=EDN.A3 4 B9 16 C4 9 D1 3相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形的周长比等于相似比三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？典例精析1 利用相似三角形面积的比求面积或线段相似三角形对应线段的比等于相似比
11、.相似三角形面积的比等于相似比的平方ABC ABCBC=2BM,EF=2EN,相似三角形对应线段的比等于相似比.DEF ABC，相似比为 1:2.通过实践体会相似三角形的性质，会用性质与判定解决相关的问题。相似三角形相似三角形周长的比等于相似比周长的比等于相似比.已知：已知：求证：求证：BAABACCBBACABCAB证明证明1：ACCACBBCBAABBAABACCBBACABCAB(等比性质等比性质)ACBBACABC ABCABC ABCABC证明证明2：AB=kAB，BC=kBC，AC=kAC相似三角形的相似三角形的周长比等于相似比周长比等于相似比ABC ABC，相似比为相似比为kAB
12、BCACkABBCACk AB+BCACkAB+BC+ACABCAB+BCACABCAB+BC+AC的周长的周长ABC3.相似三角形对应边的比为相似三角形对应边的比为2 5,那么周长比为那么周长比为_.2 54.两个相似三角形周长的比为两个相似三角形周长的比为1 7,则它们的相似则它们的相似比为比为_,对应边上角平分线的比为对应边上角平分线的比为_.1 71 7巩固新知巩固新知 如图，如图，ABC ABC，相似比为相似比为k，它它们的面积比是多少？们的面积比是多少？ABCABC合作探究合作探究由前面的结论，我们有由前面的结论，我们有212.12ABCA B CBC ADSBCADk kkSB
13、CA DB C A DABCABCDD几何表述几何表述:相似三角形性质定理相似三角形性质定理:相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方.ABC ABC，相似比为相似比为k，归纳归纳:2kSSCBAABCABCABC5.已知两个三角形相似，请完成下列表格：已知两个三角形相似，请完成下列表格：相似比相似比2 k周长比周长比面积比面积比1000013241319100100kk2巩固新知巩固新知解：解：在在 ABC 和和 DEF 中，中，AB=2DE，AC=2DF，又又 D=A，DEF ABC，相似比为相似比为 1:2.ABCDEF1.2DEDFABAC 例例2 如图，在
14、如图，在 ABC 和和 DEF 中，中，AB=2 DE，AC=2 DF，A=D.若若 ABC 的边的边 BC 上的高为上的高为 6，面积为面积为 ，求，求 DEF 的边的边 EF 上的高和面积上的高和面积.125典例精析典例精析1 1 利利用相似三角形面积的比求面积或线段用相似三角形面积的比求面积或线段合作探究合作探究ABCDEF面积为面积为 2112 53 5.2 DEF 的边的边 EF 上的高为上的高为 ，3621ABC 的边的边 BC 上的高为上的高为 6，面积为面积为 ，1256.如果两个相似三角形的面积之比为如果两个相似三角形的面积之比为 4:9，较大三，较大三角形一边上的高为角形一
15、边上的高为 18，则较小三角形对应边上的高，则较小三角形对应边上的高为为_.12巩固新知巩固新知 例例3 如图，如图，D，E 分别是分别是 AC，AB 上的点，已知上的点，已知ABC 的的面积为面积为100 cm2，且，且 ，求四边形，求四边形 BCDE 的面积的面积.ADE ABC.它们的相似比为它们的相似比为 3:5，面积比为面积比为 9:25.BCADE解：解：BAC=DAE，且且 35AEADACAB，典例精析典例精析2 2 利利用相似三角形面积的比求多边形的面积用相似三角形面积的比求多边形的面积(比）比）35AEADACAB又又 ABC 的面积为的面积为 100 cm2，ADE 的面
16、积为的面积为 36 cm2.四边形四边形 BCDE 的面积为的面积为10036=64(cm2).合作探究合作探究两角分别相等的两个三角形相似.例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知ABC 的面积为100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积.如图，ABC ABC，相似比为 ，它们对应高线、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ABDABDABMDEN.高、角平分线、中线的长度，周长、面积等相似三角形对应高的比等于相似比.ABMDEN.通过实践体会相似三角形的性质，会用性质与判定解决相关的问题。4如图，小明拿着一把厘米刻度尺，站在距电线杆约30 m的地方，把手臂向前伸直，刻度尺竖
17、直，刻度尺上18个刻度恰好遮住电线杆，已知小明手臂长约 60 cm，小明能求出电线杆的高度吗？若能，请你替小明写出求解过程解：在 ABC 和 DEF 中，三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？(2)ABC的面积例1 已知 ABCDEF，BG、EH 分别是 ABC和 DEF 的角平分线，BC=6 cm，EF=4cm，BG=4.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是()ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，DFCH，ADF ACH，相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形的周长比等于相似比 AB=2DE，AC=2D
18、F，7.如图，这是圆桌正上方的灯泡如图，这是圆桌正上方的灯泡（点点A）发出的光线照射桌发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 米，桌面距离地面米，桌面距离地面为为 1 米，若灯泡距离地面米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积约米，则地面上阴影部分的面积约为多为多少少 (结果保留两位小数结果保留两位小数)？ADEFCBH解：解：FH=1 米，米，AH=3 米，米，桌面的直径为桌面的直径为 1.2 米，米，AF=AHFH=2(米米)，DF(米米).DFCH，ADF ACH，巩固新知巩固新知DFAFCHAH，即即0 623.CH，解得解得
19、 CH 米米.220.92.54CH(平方米平方米).).答：答：地面上阴影部分的面积为地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米平方米.阴影部分的面积为：阴影部分的面积为：ADEFCBHA 课堂检测课堂检测2(4分分)如图，在如图，在ABC中，中，DEBC，AH是是ABC的角平分线，交的角平分线，交DE于点于点G，DE BC2 3，那么，那么AG GH等于等于_2 14(3分分)(铜仁中考铜仁中考)已知已知FHBEAD，它们的周长分别为，它们的周长分别为30和和15，且，且FH6，则，则EA的长为的长为()A3 B2 C4 D5AB 6(4分分)已知两个相似三角形的最短边的长分别为已知两个相似
20、三角形的最短边的长分别为5和和3，且它们周长的差为，且它们周长的差为12，则较大三角形的周长为则较大三角形的周长为_30B 8(3分分)如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，点中，点E在边在边DC上，上，DE EC3 1，连接，连接AE交交BD于点于点F，则，则DEF的面积与的面积与BAF的面积之比为的面积之比为()A3 4 B9 16 C4 9 D1 3B9(4分分)如图，在如图，在ABC中，中，EFBC，AB3AE，若，若S四边形四边形BCFE16，则，则SABC_1810(9分分)(教材教材P38例例3变式变式)已知已知ABCABC，AB边上的中线边上的中线CD4 cm，AB边
21、上的中线边上的中线CD8 cm，ABC的周长为的周长为20 cm，ABC的面积是的面积是64 cm2，求：，求：(1)ABC的周长；的周长；(2)ABC的面积的面积相似相似三角三角形的形的性质性质相似三角形相似三角形对应线段的比对应线段的比等于等于相似比相似比相似三角形相似三角形面积的比面积的比等于等于相似比的平方相似比的平方相似三角形相似三角形性质性质的运用的运用归纳新知归纳新知B 课后练习课后练习2一张等腰三角形纸片，底边长一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高为，底边上的高为22.5 cm.现沿底边依次现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图
22、所示已知剪得的纸条中有一张的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是是正方形，则这张正方形纸条是()A第第4张张 B第第5张张 C第第6张张 D第第7张张C3如如图，点图，点M是是ABC内一点，过点内一点，过点M分别作直线平行于分别作直线平行于ABC的各边，所形的各边，所形成的三个小三角形成的三个小三角形1，2，3(图中阴影部分图中阴影部分)的面积分别是的面积分别是1，4，9，则，则ABC的面积是的面积是_364如如图，小明拿着一把厘米刻度尺，站在距电线杆约图，小明拿着一把厘米刻度尺，站在距电线杆约30 m的地方，把手臂向的地方，把手臂向前伸直，刻度尺竖直，刻度尺上
23、前伸直，刻度尺竖直，刻度尺上18个刻度恰好遮住电线杆，已知小明手臂长约个刻度恰好遮住电线杆，已知小明手臂长约 60 cm，小明能求出电线杆的高度吗？若能，请你替小明写出求解过程，小明能求出电线杆的高度吗？若能，请你替小明写出求解过程5如如图，在图，在ABC中，中，D，E两点分别在两点分别在AB，AC上，点上，点F在在DE上，上，G，H两点两点在在BC上，且上，且DEBC，FGAB，FHAC，若，若BG GH HC4 6 5，求，求ADE与与FGH的面积之比的面积之比6如如图，在图，在ABC中，中，BCAC，点，点D在在BC上，且上，且CACD，ACB的平分的平分线交线交AD于点于点F，E是是AB的中点的中点(1)求证：求证：EFBD；(2)若若ACB60，AC8，BC12，求四边形，求四边形BDFE的面积的面积解：解：
