1、古典第五章第五章 相交线与相交线与平行线平行线第一课时【学习目标】【学习目标】1理解垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.2掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理.【课前预习】【课前预习】1下列四个说法：两点之间，线段最短；连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（）A1个B2个 C3个 D4个 2下列选项中，不是运用“垂线段最短”这一性质的是（）A立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离B从一个村庄向一条河引一条最短的水渠C把弯曲的公路改成直道可以缩短路程
2、D直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短 3下列说法中错误的是（）A一个锐角的补角一定是钝角；B同角或等角的余角相等；C两点间的距离是连结这两点的线段的长度；D过直线l上的一点有且只有一条直线垂直于l 4已知点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA4 cm，PB5 cm，PC2 cm，则点P到直线m的距离为()A4 cmB5 cmC小于2 cmD不大于2 cm 5下列命题：两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离其中正确的个数为（
3、）A3B2C1D0【课前预习】答案【课前预习】答案1C 2C 3D 4D 5C两条直线相交两条直线相交一般情况一般情况对顶角：相等对顶角：相等邻补角：互补邻补角：互补特殊情况特殊情况复习：复习：B BA AC CD DO O1 12 23 34 4导入新课导入新课情境引入情境引入 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？日常生活里，图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？A甲B乙C丙D丁这个推理过程可以写成：判断两条直线互相垂直的关键：垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂
4、直.问题2：如下图，当AOC90时，BOD、AOD、BOC等于多少度？为什么？判断两条直线互相垂直的关键：连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；2下列说法中，正确的是（）能作一条，而且只能作一条.A4 个B3 个C2 个D1 个3移：移动三角板到已知点；(1)画已知直线l的垂线能画几条？如图，当直线AB与CD相交于O点，AOD=90时，ABCD，垂足为O.如果ABCD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指用“”和直线字母表示垂直记作：ABOE垂足为O.EOD=EOB+BOD结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.问题问题1 1：如右图，：如右图，(1
5、)(1)AOCAOC的对顶角是哪个角？这的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？两个角的关系怎样？(2)(2)AOCAOC的邻补角有几个？是的邻补角有几个？是哪几个角？哪几个角？问题问题2 2：如下图，当：如下图，当AOCAOC9090时，时，BODBOD、AODAOD、BOCBOC等于多少度？为什么？等于多少度？为什么？观察：观察：两条直线相交形成两条直线相交形成4 4个角，若个角，若固定木条固定木条a a，旋转木条，旋转木条b b，当，当b b的位置发生变化的位置发生变化时，时，a a、b b所成的角也会随之变化，其中有一个所成的角也会随之变化，其中有一个特殊的位置：特殊的位置：9090.在
6、相交线的模型中，固定木条在相交线的模型中，固定木条a a，转动木条，转动木条b b，当当=90=90时，时，a a与与b b垂直垂直.当当b b的位置变化时，的位置变化时，a a、b b所成的角所成的角也会发生变化也会发生变化.当当9090时，时，a a与与b b不垂不垂直，叫斜交直，叫斜交.两条直线相交两条直线相交斜交斜交垂直垂直 垂直是相交的特殊情况垂直是相交的特殊情况)1.1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角有一个角是直角(90(90度度)时，这两条直线互相垂时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们直，其中
7、一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足的交点叫垂足.例如、如图，例如、如图，a a、b b互相垂互相垂直，直，O O叫垂足叫垂足.a a叫叫b b的垂线，的垂线，b b也叫也叫a a的垂线的垂线.b ba aO O垂直的定义垂直的定义从垂直的定义可知，从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个交角中一个只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角角是直角.b ba a用用“”“”和直线字母表示垂直和直线字母表示垂直O O 垂直的表示：垂直的表示：例如、如图，例如、如图，a a、b b互相垂直，互相垂直，垂足为垂足为O O，则记为：
8、，则记为：a ab b或或b ba a，若要强调垂足，则记为：若要强调垂足，则记为：a ab b，垂足为垂足为O O.F FE EM MN NO O记作：记作：MNMNEFEF ，垂足为，垂足为O O.或者或者MNMNEFEF于于O OA AB BO OE E记作：记作：ABABOEOE垂足为垂足为O O.或者或者ABABOEOE于于O OA AB BC CD DO O书写形式：书写形式：如图，当直线如图，当直线ABAB与与CDCD相相交于交于O O点，点，AODAOD=90=90时，时，ABABCDCD，垂足为，垂足为O O.AODAOD=90=90(已知已知)ABABCDCD(垂直的定义垂
9、直的定义)书写形式：书写形式：反之，若直线反之，若直线ABAB与与CDCD垂直，垂足为垂直，垂足为O O，那么，那么，AODAOD=90=90.垂直的书写形式：垂直的书写形式：ABABCDCD (已知已知)AODAOD=90=90(垂直的定义垂直的定义)应用垂直的定义：应用垂直的定义：AOCAOC=BOCBOC=BODBOD=90=90垂直的定义的应用格式垂直的定义的应用格式AOCAOC=90=90(已知已知)，ABABCDCD(垂直的定义垂直的定义)如果直线如果直线ABAB、CDCD 相交于点相交于点O O，AOCAOC=90=90(或三个角或三个角中的一个角等于中的一个角等于9090)，那
10、么，那么 ABABCD.CD.这个推理过程可以写成：这个推理过程可以写成：ABABCDCD(已知已知)，AOCAOC9090(垂直的定义垂直的定义)如果如果ABABCDCD，那么所得的四个角中，必有一个是直那么所得的四个角中，必有一个是直角角.这个推理过程可以写成：这个推理过程可以写成：日常生活中，两条直线互相垂直的情形很日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出图中的一些互相垂直的线条常见，说出图中的一些互相垂直的线条.你能再举出其他例子吗？你能再举出其他例子吗？方格本的横线和竖线方格本的横线和竖线铅垂线和水平线铅垂线和水平线过点A、B分别可以做直线a的几条垂线呢？(2)AOC的邻补角有
11、几个？是哪几个角？经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；A在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直B两直线相交，对顶角互补C垂线段最短D直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离记作：ABOE垂足为O.MOCBON40.3下列四个说法：两点之间，线段最短；如图，当直线AB与CD相交于O点，AOD=90时，ABCD，垂足为O.过点A、B分别可以做直线a的几条垂线呢？如果ABCD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.若要强调垂足，则记为：ab，垂足为O.A4cmB2cm;C小于2cm D不大于2cm判断两条直线互相垂直的关键：AB
12、CD(垂直的定义)BON2EON40，用“”和直线字母表示垂直MOCBON40.11过直线AB上一点O作射线OC、OD，使OCOD，当AOC=50时，则BOD的度数_AOC90(垂直的定义)A AC CE EB BD DO O1 1EOBEOB=90=90(垂直的定义垂直的定义)EODEOD=EOBEOB+BODBOD =90 =90+55+55=145=145(解：解：ABABOEOE(已知已知)BODBOD=1=551=55例题例题 例例1 1、如图，直线、如图，直线ABAB、CDCD相交于点相交于点O O，OEOEABAB，1=551=55，求，求EODEOD的度数的度数.(对顶角相等对
13、顶角相等)例2 如图，直线BC与MN相交于点O，AOBC，BOENOE，若EON20，求AOM和NOC的度数解：BOENOE，BON2EON40，NOC180BON 18040140，MOCBON40.AOBC，AOC90，AOMAOCMOC904050，NOC140，AOM50.1.1.在小学学段我们曾在小学学段我们曾通过折纸的方法，通过折纸的方法，得到两条垂得到两条垂线，现在你可以用几种折法得到两条垂线？线，现在你可以用几种折法得到两条垂线？2.2.如图如图(5)(5)：直线：直线a a上有一点上有一点A A，经过点，经过点A A，你能折出，你能折出几条与几条与a a垂直的直线？如图垂直的
14、直线？如图(6)(6)：直线：直线a a外有一点外有一点B B，经过点经过点B B，你能折出几条与，你能折出几条与a a垂直的直线？垂直的直线？过点过点A A、B B分别可以做直线分别可以做直线a a的几条垂线呢？的几条垂线呢？古典二、垂线的画法二、垂线的画法问题问题：怎么样画垂线？怎么样画垂线？1.1.垂线的画法：垂线的画法：问题：问题：这样画这样画l l的的垂线可以垂线可以画几条？画几条？1 1放、放、2 2靠、靠、3 3画线、画线、l lO O如图，已知直线如图，已知直线 l l，作，作l l的垂线的垂线.工具：直尺、三角板工具：直尺、三角板A A无数条无数条1.1.垂线的画法：垂线的画
15、法：l lA A如图，已知直线如图，已知直线 l l 和和l l上的一点上的一点A A ，作，作l l的的垂线垂线.B B4 4画线：沿着三角板的另一直角边画出垂线画线：沿着三角板的另一直角边画出垂线.1 1放：放直尺，直尺的一边要与已知直线重合；放：放直尺，直尺的一边要与已知直线重合；3 3移：移动三角板到已知点；移：移动三角板到已知点；2 2靠：靠三角板，把三角板的一直角边靠在直尺靠：靠三角板，把三角板的一直角边靠在直尺上；上；则所画直线则所画直线ABAB是过是过点点A A的直线的直线l l的垂线的垂线.探究探究结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂结论：过一点有且只有一条直线与已知直线
16、垂直直.(1)(1)画已知直线画已知直线l l的垂线能画几条？的垂线能画几条？(2)(2)过直线过直线l l上的一点上的一点A A画画l l的垂线，这的垂线，这样的垂线能画几条？样的垂线能画几条？(3)(3)过直线过直线l l外的一点外的一点B B画画l l的垂线，这的垂线，这样的垂线能画几条？样的垂线能画几条？结论：结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.注意：1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可 以在已知直线外；2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指 唯一性.总结归纳总结归
17、纳1 1、垂线的定义、垂线的定义2 2、垂线的画法、垂线的画法3 3、垂线的性质、垂线的性质(1)(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直一、放；二、靠；三、移；四、画一、放；二、靠；三、移；四、画小结：小结：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.如图，已知直线 l，作l的垂线.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角
18、是直角(90度)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？A甲B乙C丙D丁A小于PA=5cmB等于PA=5cmC大于PA=5cmD不确定8如图，学校举行运动会，A为主席台位置，对面是观众席，甲、乙、丙、丁四位同学分别坐在观众席的点B，C，D，E的位置上，已知B，C，D，E四点在一条直线上，且ADBE，问距离主席台最近的同学是（）两条直线相交形成4个角，若固定木条a，旋转木条b，当b的位置发生变化时，a、b所成的角也会随之变化，其中有一个特殊的位置：90.3下列四个说法：两点之间，线段最短；7点A、
19、B、C为直线l上三点，点P为直线l外一点，且PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离为()第五章 相交线与平行线(3)过直线l外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条？4下列说法中，不正确的是（）A在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直B两直线相交，对顶角互补C垂线段最短D直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离ABCD(已知)，问题2：如下图，当AOC90时，BOD、AOD、BOC等于多少度？为什么？经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90度
20、)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.你能再举出其他例子吗？【课后练习】【课后练习】1点P是直线l外一点，A为垂足，PAl，且PA=5cm，则点P到直线l的距离（）A小于PA=5cmB等于PA=5cmC大于PA=5cmD不确定 2下列说法中，正确的是（）A在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直B两直线相交，对顶角互补C垂线段最短D直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 3下列四个说法：两点之间，线段最短；连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最
21、短.其中正确的个数有（）A1个B2个 C3个 D4个 4下列说法中，不正确的是（）A两直线相交所成的四个角中有两个角相等，则这两条直线互相垂直B在同一平面内，经过一已知点能画一条直线和已知直线垂直C一条直线可以有无数条垂线D在同一平面内，过射线的端点与射线垂直的直线只有一条 5点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为()A4cmB2cm;C小于2cmD不大于2cm 6已知A、B为平面上的2个定点，且AB=5若点A、B到直线l的距离分别等于2、3，则满足条件的直线共有()条 A2 B3C4D5 7点A、B、C为直线l上三点，
22、点P为直线l外一点，且PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离为()A2cmB3cm C小于3cmD不大于3cm 8如图，学校举行运动会，A为主席台位置，对面是观众席，甲、乙、丙、丁四位同学分别坐在观众席的点B，C，D，E的位置上，已知B，C，D，E四点在一条直线上，且ADBE，问距离主席台最近的同学是（）A甲B乙C丙D丁 9下列说法：相等的角是对顶角；平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；平行于同一条直线的两条直线互相平行；同角或等角的余角相等，其中正确的说法有（）A4 个B3 个C2 个D1 个 10在直线MN上取一点P，过点P作射线PA，PB，使PAPB，当
23、MPA40，则NPB的度数是（）A50B60C40或140D50或130 11过直线AB上一点O作射线OC、OD，使OCOD，当AOC=50时，则BOD的度数_ 12运动会上裁判员测量跳远成绩时，先在距离踏板最近的跳远落地点上插上作为标记的小旗，再以小旗的位置为赤字的零点，将尺子拉直，并与踏板边缘所在直线垂直，把尺子上垂足点表示的数作为跳远成绩这实质上是数学知识_在生活中的应用 13关于垂线，小明给出了下面三种说法：两条直线相交，所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直；这两条直线的交点叫垂足；直线ABCD，也可以说成CDAB其中正确的有_（填序号）14两条直线相交组成的4个角中如果有一个角是直角，那么其他3个角也是直角（_）15在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使COD90，当AOC50时，BOD的度数是_【课后练习】答案【课后练习】答案1B 2C 3C 4A 5D 6B 7D 8C 9B 10D1140或14012垂线段最短1314正确1540或140
