1、两点间的距离公式问题问题1：如图，已知平面内两点如图，已知平面内两点 如何求如何求 间的距离间的距离？111222(,),(,)P x yP xy12,P P12|PP追问追问1：我们我们学过什么知识可以学过什么知识可以刻画刻画平面直角坐标系内平面直角坐标系内两两点间线段的长度？点间线段的长度？追问追问1：我们我们学过什么知识可以学过什么知识可以刻画刻画平面直角坐标系内平面直角坐标系内两两点间线段的长度？点间线段的长度？追问追问2：如何如何求求向量向量 的模长的模长？12|PP 22122121|()().PPxxyy 122121(,).PPxx yy 111222(,),(,)P x yP
2、 xy22122121|()().PPxxyy特别特别地，原点地，原点 与任一点与任一点 间的距离间的距离是是(0,0)O(,)P x y22|.OPxy已知平面内两点已知平面内两点 ，则两点间的距离，则两点间的距离公式是公式是A追问追问4：能否能否利用利用 构造构造直角三角形直角三角形，求求线段的线段的长度长度？基于基于点坐标的意义，你能构造出适当点坐标的意义，你能构造出适当的直角三角形吗？的直角三角形吗？111222(,),(,)P x yP xyA追问追问5：如何如何求解求解？12|PP 点A的坐标21(,).A xy 121221|,|.PAxxP Ayy 22122121|()().
3、PPxxyy如果两点平行或垂直于x轴，则 1221|PPxx（或 ）21|yy追问追问6：能否用文字语言表述两点间距离公式能否用文字语言表述两点间距离公式？22122121|()().PPxxyyA平面上两点间的距离等于这两点横、纵坐标差的平方和的算术平方根.解：设所求点(,0).P x例例1：已知点已知点 ，在，在 轴上求一点轴上求一点 ，使得使得 ，并求出，并求出 的值的值.(1,2),(2,7)ABxP|PAPB|PA则22|(1)(2)PAxy225,xx22|(2)(7)PBxy2411.xx由 ，得|PAPB2225411.xxxx解得，1.x 解：设所求点(,0).P x例例1：
4、已知点已知点 ，在，在 轴上求一点轴上求一点 ，使得使得 ，并求出，并求出 的值的值.(1,2),(2,7)ABxP|PAPB|PA所以，(1,0).P22|(1 1)(02)PA 2 2.例例1：已知点已知点 ，在，在 轴上求一点轴上求一点 ，使得使得 ，并求出，并求出 的值的值.(1,2),(2,7)ABxP|PAPB|PAPC点C的坐标172(,).22CAB垂直平分线的斜率是372k (72).AB垂直平分线的方程是721(72)().22yx例例1：已知点已知点 ，在，在 轴上求一点轴上求一点 ，使得使得 ，并求出，并求出 的值的值.(1,2),(2,7)ABxP|PAPB|PAPC
5、AB垂直平分线的方程是721(72)().22yx令 ，0y 所以，(1,0),P22|222 2.PA 解得，1.x例例1：已知点已知点 ，在，在 轴上求一点轴上求一点 ，使得使得 ，并求出，并求出 的值的值.(1,2),(2,7)ABxP|PAPB|PA法1：设点 P 坐标，由线段相等，建立关于点 P 的方程，解方程，求点 P 及|PA|.求线段 AB 的垂直平分线方程，联立垂直平分线方程与x轴方程，求交点 P 的坐标，解方程，求点 P 及|PA|.法2：由|PA|=|PB|判断出点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，列列解解设设形形数数数数例例2：用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方
6、和等于用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍两条邻边的平方和的两倍.追问追问2：如何建立适当的平面直角坐如何建立适当的平面直角坐标系？用坐标表示哪些量呢？标系？用坐标表示哪些量呢？追问追问1：什么是坐标法？什么是坐标法？例例2：用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍于两条邻边的平方和的两倍.(0,0)xy追问追问3：结合平行四边形的性质，结合平行四边形的性质，说说说说需要需要设出哪些点的设出哪些点的坐标坐标？(,0)a(,)b c(+,)ab c追问追问4：如何用顶点坐标表示如何用顶点坐标表
7、示对角线的长度及边长？对角线的长度及边长？例例2：用坐标法证明用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍两条邻边的平方和的两倍.222|(),ACabc222|(),BDbac22|,ABa222|.ADbc22222|2(),ACBDabc22222|,ABADabc所以，2222|2(|).ACBDABADx(0,0)y(,0)a(,)b c(+,)ab c例例2：用坐标法证明用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍条邻边的平方和的两倍.222|(),ACabc222|(
8、),BDbac22|,ABa222|.ADbc22222|2(),ACBDabc22222|,ABADabc所以，2222|2(|).ACBDABADx(0,0)y(,0)a(,)b c(+,)ab c广义勾股定理广义勾股定理例例2：用坐标法证明用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍条邻边的平方和的两倍.建立坐标系，用图形点的坐标表示有关的量进行相关代数运算坐标表示线段长度把代数运算结果“翻译”成几何结论例例2：用坐标法证明用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍两条邻边
9、的平方和的两倍.建立坐标系建立坐标系，用图形点的坐标表示有关的量进行相关代数运算坐标表示线段长度把代数运算结果“翻译”成几何结论例例2：用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍两条邻边的平方和的两倍.追问追问5：还可以怎么建系呢？还可以怎么建系呢？xyO追问追问6：如何设点的坐标？如何设点的坐标？(,0)b(0,)d(,)ba d追问追问7：如何用坐标表示所求线如何用坐标表示所求线段的长度？段的长度？(,0)a例例2：用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和
10、的两倍等于两条邻边的平方和的两倍.xyO(,0)a(,0)b(0,)d(,)ba d222|(2),ACbad222|,BDbd22|(),ABba222|.ADad22222|4422,ACBDaabbd22222|22,ABADaabbd所以，2222|2(|).ACBDABAD例例2：用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍两条邻边的平方和的两倍.xyO(,0)a(,0)b(0,)d(,)ba dx(0,0)y(,0)a(,)b c(+,)ab c追问追问8：两种建系方法都算是两种建系方法都算是“适当适当”的方法，
11、其原因在何？的方法，其原因在何？例2：用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.例1：已知点 ，在 轴上求一点 ，用“向量法”及另一种建立坐标系的方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.解方程，求点 P 及|PA|.AB垂直平分线的斜率是建立坐标系，用图形点的坐标表示有关的量追问1：什么是坐标法？例1：已知点 ，在 轴上求一点 ，已知两点 能否说出这两点间的距离公式？追问3：结合平行四边形的性质，说说需要设出哪些点的坐标？已知两点 能否说出这两点间的距离公式？追问7：如何用坐标表示所求线段的长度？追问3：结合平行四边形的性质，说说需要设出哪
12、些点的坐标？求线段 AB 的垂直平分线方程，法1：设点 P 坐标，求线段 AB 的垂直平分线方程，（1）求在 x 轴上与点 的距离为13的点的坐标;能否描述这句话对应的几何图形？特别地，原点 与任一点 间的距离是已知 与 两点间的距离是17，求 a 的值.使得 ，并求出 的值.AB垂直平分线的方程是追问1：我们学过什么知识可以刻画平面直角坐标系内两点间线段的长度？把代数运算结果“翻译”成几何结论追问2：如何求向量 的模长？例例2：用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍两条邻边的平方和的两倍.xyOxyOABCD使得 ，
13、并求出 的值.AB垂直平分线的斜率是使得 ，并求出 的值.特别地，原点 与任一点 间的距离是追问2：如何求向量 的模长？已知平面内两点 ，则两点间的距离公式是例2：用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.代数结果“翻译”成几何结论用 表示两条对角线向量，计算所求量间的关系.追问2：如何求向量 的模长？能否描述这句话对应的几何图形？例2：用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.平面上两点间的距离等于这两点横、纵坐标差的平方和的算术平方根.令 ，由线段相等，建立关于点 P 的方程，用“向量法”及另一种建立坐标系的方法证明：平行四边形两条对
14、角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.特别地，原点 与任一点 间的距离是例2：用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.解方程，求点 P 及|PA|.追问3：结合平行四边形的性质，说说需要设出哪些点的坐标？把代数运算结果“翻译”成几何结论用“向量法”及另一种建立坐标系的方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.追问1：我们学过什么知识可以刻画平面直角坐标系内两点间线段的长度？用“向量法”及另一种建立坐标系的方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.追问5：还可以怎么建系呢？追问追问9：我们曾经用向量法证明过这个结论，
15、你能回忆一下我们曾经用向量法证明过这个结论，你能回忆一下证明过程吗？证明过程吗？用 表示两条对角线向量，计算所求量间的关系.,AB AD ,AB AD 取 为基底,代数结果“翻译”成几何结论22122121|()().PPxxyy 已知两点已知两点 能否说出能否说出这这两点间的两点间的距离公式？距离公式？111222(,),(,)P x yP xy课堂小结课堂小结能否描述这句话对应的几何图形能否描述这句话对应的几何图形？课堂小结课堂小结A21|xx21|yy两点两点间距离间距离公式的证明公式的证明追问5：如何求解？例2：用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.例2
16、：用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.例2：用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.已知 与 两点间的距离是17，求 a 的值.（或 ）问题1：如图，已知平面内两点 如何求 间的距离？追问1：我们学过什么知识可以刻画平面直角坐标系内两点间线段的长度？建立坐标系，用图形点的坐标表示有关的量追问3：结合平行四边形的性质，说说需要设出哪些点的坐标？追问2：如何求向量 的模长？例2：用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.建立坐标系，用图形点的坐标表示有关的量特别地，原点 与任一点 间的距离是例2：用坐标法证
17、明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.用“向量法”及另一种建立坐标系的方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.追问6：如何设点的坐标？取 为基底,追问2：如何建立适当的平面直角坐标系？用坐标表示哪些量呢？解方程，求点 P 及|PA|.把代数运算结果“翻译”成几何结论追问3：结合平行四边形的性质，说说需要设出哪些点的坐标？追问3：结合平行四边形的性质，说说需要设出哪些点的坐标？进行相关代数运算坐标表示线段长度追问2：如何求向量 的模长？回顾两道例题的求解过程，总结它们的共同点，谈谈你的回顾两道例题的求解过程，总结它们的共同点，谈谈你的感受？感受？代数代数几何几何几何几何坐标坐标课后作业课后作业1.用“向量法”及另一种建立坐标系的方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.2.已知 与 两点间的距离是17，求 a 的值.3.（1）求在 x 轴上与点 的距离为13的点的坐标;（2）已知点 P 的横坐标为7，点 P 与点 间的距离等于10，求 点 P 的坐标.(,5)A a(0,10)B(5,12)A(1,5)N
