1、 在一条高速公路上距离出发点的一个以在一条高速公路上距离出发点的一个以千米为单位的数就可以确定车的位置，请千米为单位的数就可以确定车的位置，请问在一个电影院里如何确定你的位置？飞问在一个电影院里如何确定你的位置？飞行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如何报告他的位置？何报告他的位置？思考：思考：一维直线一维直线二维平面二维平面三维空间三维空间数轴数轴平面直角坐标系平面直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系用数字或其符号来用数字或其符号来确定一个点或一个确定一个点或一个物体位置的方法叫物体位置的方法叫坐标方法。相关的坐标方法。相关的符号和数称为点的符号和数称为点
2、的坐标。坐标。第二章第二章 平面解析几何初步平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式v 2.1.1.数轴上的基本公式数轴上的基本公式知识点知识点1 数轴上的向量数轴上的向量知识点知识点2 数轴上的向量的运算数轴上的向量的运算1.1.什么叫做数轴什么叫做数轴?在数轴上，点在数轴上，点P P与实数与实数x x的对应法则的对应法则是什么呢？是什么呢？给出了原点，度量单位和正方向的直线叫做给出了原点，度量单位和正方向的直线叫做数轴数轴，或者说在这条直线上建立了或者说在这条直线上建立了直线坐标系直线坐标系.0123-1-2-3(P)P知识点知识点1 数轴上的向量数轴上的向量数轴上的一点数轴上的一
3、点M M的坐标为的坐标为3 3 记作记作：若点若点P与实数与实数x对应，则称点对应，则称点P的坐的坐标为标为x 记作记作既有大小又有方向的量叫向量既有大小又有方向的量叫向量.3.向量的定义向量的定义AB1)1)向量的长度向量的长度(模模):):长度表示：长度表示：(1)几何法几何法:用有向线段表示用有向线段表示.(2)代数法代数法:用字母表示用字母表示 ABaAB 向量向量 的坐标或数量表示为的坐标或数量表示为 .AB AB=a5.5.向量的有关概念向量的有关概念单位向量单位向量:2)2)两个特殊向量两个特殊向量：0|0|,0零向量零向量:长度为零的向量长度为零的向量(没有确定方向没有确定方向
4、).).表示：表示：|AB表示向量表示向量 的大小，也叫做的大小，也叫做 的长（或模）的长（或模）.记作记作 .aaa长度为长度为1 1个单位长度的向量个单位长度的向量.3)3)相等向量相等向量:baABCD 或或长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量.表示：表示：相等的向量相等的向量 坐标相等坐标相等 对数轴上任意三点对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系：，都具有关系：AC=AB+BC相等向量相等向量:长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量.表示：表示：baCDAB 或或等长同向等长同向数轴上点的坐标定义，数轴上点的坐标定义，OB=,OA=,有：有：1x2x2x1xAB
5、=-知识点知识点2 数轴上的向量的运算数轴上的向量的运算0123-1-2-3AB(B)C 在数轴上，如果点在数轴上，如果点A作一次位移到点作一次位移到点B，接着由点，接着由点B再作一次位移到点再作一次位移到点C，则，则位移位移AC叫做位移叫做位移AB与位移与位移BC的和。的和。对数轴上任意三点对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系，都具有关系AC=AB+BCxAC=AB+BC记作：记作：位移向量和位移向量和知识点知识点2 数轴上的向量的运算数轴上的向量的运算数轴上两点的距离数轴上两点的距离OB=OA+ABAB=OB-OAOB=X 2OA=X 1AB=X 2 X 1A,B两点的距离为两点的距离为
6、:d(A,B)=X 2 X 11x2xABoo1x2xAB知识点知识点2 数轴上的向量的运算数轴上的向量的运算(假)(真)(假)(真)1.口答口答判断下列命题的真假判断下列命题的真假：1.1.单位向量都相等；单位向量都相等；2.2.起点不同起点不同,但方向相同且模相等的几个向量相等但方向相同且模相等的几个向量相等；3.3.若若 则则 ；ba ba4.若若 ，则则 ；cbba,ca5.5.零向量有确定的方向；零向量有确定的方向；6.AB=-BA6.AB=-BA7.|AB|=BA7.|AB|=BA(假)(真)(假)小结小结1.判断一个量是否为向量：判断一个量是否为向量：就是要判断该量既_又_.2.
7、向量的表示向量的表示:可用_或_表示.3.两个特殊向量两个特殊向量:零向量是指_的向量;单位向量是指_的向量.4.相等向量相等向量:两相等向量的方向_长度_.有大小有大小有方向有方向有向线段有向线段字母字母长度为长度为0长度为长度为1相同相同相等相等向量的模是可以进行大小比较的向量的模是可以进行大小比较的;向量是不能比较大小的向量是不能比较大小的.有大小有大小|ba5.向量能不能比较大小向量能不能比较大小?2.1平面直角坐标系中的基本公式v 2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式平面直角坐标系中的基本公式1.1.两点间距离公式两点间距离公式3.3.坐标法坐标法2.2.中点坐标公式中点坐标公式已
8、知已知B B（-2-1-2-1），），C C（4 4，7 7），如何求），如何求BCBC中点坐标？中点坐标？)1,2(B)7,4(CM(x,y)M(x,y)1 1C C(4 4,y y)1,(1xB一般地，对于平面上的两点一般地，对于平面上的两点P1（x1，y1），），P2（x2，y2），），线段线段P1P2的中点是的中点是M（x0，y0），则），则：12120 012120 0 x+xx+xx=x=2 2y+yy+yy=y=2 2 问题问题:1.两点间的距离公式两点间的距离公式|1221xxPP|1221yyPP (1)x1x2,y1=y2(2)x1=x2,y1 y221221221)()(
9、|yyxxPP特别的：特别的：22|:),(yxOPyxPO 的距离的距离与任一点与任一点原点原点(3)d(P1,P2)=例例1.已知已知A（2，4），），B（2，3），求），求d(A,B).例例2.已知点已知点A（1，2），），B（3,4），），C（5,0），），求求证证ABC是等腰三角形是等腰三角形解解.x=x2x1=4y=y2y1=7d(A,B)=822yxd 65证明：证明：d(A,B)=d(A,C)=2020d(B,C)=又又A,B,C不共线不共线所以所以ABC是等腰三角形是等腰三角形一般地，对于平面上的两点一般地，对于平面上的两点P1（x1，y1），），P2（x2，y2），），线段
10、线段P1P2的中点是的中点是M（x0，y0），则），则：12120 012120 0 x+xx+xx=x=2 2y+yy+yy=y=2 22.中点公式中点公式ABCABC中中A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，y y2 2)，C C(x x3 3，y y3 3)）求三角形）求三角形ABCABC的的重心重心G G坐标坐标.12312333xxxxyyyy例例1已知已知ABCD的三个顶点的三个顶点A(3，0)，B(2，2)，C(5，2)，求顶点，求顶点D的坐标的坐标.典例剖析：典例剖析：若已知点若已知点P(xP(x，y)y)，则点，则点P P关于点关于点M(xM(x0 0，
11、y y0 0)对称的点对称的点坐标为坐标为 .变式变式:已知已知的三个顶点的三个顶点(3 3，0)0)，(2(2，2)2)，(5(5，2)2)，求第四个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标.Q(2x0 x，2y0y)例例1已知已知ABCD的三个顶点的三个顶点A(3，0)，B(2，2)，C(5，2)，求顶点，求顶点D的坐标的坐标.解：因为平行四边形的解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同。所以它们的坐标也相同。设设D点的坐标为点的坐标为(x，y)，典例剖析：典例剖析：则则235122202122xy 解得解得 04xy所以点所以点D的坐标是的坐标是(0，4
12、).若已知点若已知点P P(x x，y y)，则点，则点P P关于点关于点M M(x x0 0，y y0 0)对称的点坐标为对称的点坐标为P P(2(2x x0 0 x x，2 2y y0 0y y).).2例例3.求函数求函数y=的最小值的最小值.22148xxx 解：函数的解析式可化为解：函数的解析式可化为 2222(0)(0 1)(2)(02)xx22148xxx 令令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)，则问题转化为在则问题转化为在x轴上求一点轴上求一点P(x，0)，使，使得得|PA|+|PB|取最小值取最小值.A(0，1)关于关于x轴的对称点为轴的对称点为A(0，1)，min(|
13、)|13PAPBA B即函数即函数y=的最小值为的最小值为1322148xxx 例例4.4.证明平行四边形四条边的平方和和等于两条证明平行四边形四条边的平方和和等于两条对角线的平方和。对角线的平方和。证明：以证明：以A A为原点，为原点，ABAB为为x x轴轴 建立直角坐标系。建立直角坐标系。xyABCD(0,0)(a,0)(b,c)(a+b,c)则四个顶点坐标分别为则四个顶点坐标分别为A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)22|ABa22|CDa222|()ACabc222|ADbc222|BCbc222|()BDba
14、c2222222|2()ABCDADBCabc22222|2()ACBDabc222222|ABCDADBCACBD因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。的平方和。解析法解析法第二步第二步:进行有进行有关代数运算关代数运算第三步第三步:把代数把代数运算结果翻译成运算结果翻译成几何关系。几何关系。第一步第一步:建立坐建立坐标系，用坐标表标系，用坐标表示有关的量示有关的量。例例4ABD和和BCE是在直线是在直线AC同侧的同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|=|CD|.证明：如图，以证明：如图，以B点为
15、坐标原点，取点为坐标原点，取AC所在的直线为所在的直线为x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系.设设ABD和和BCE的边长的边长分别为分别为a和和c，则则A(a，0)，C(c，0)D ，E ，3(,)22aa3(,)22cc于是于是|AE|=22222344ccaacaacc|CD|=22223()(0)22acaaacc 所以所以|AE|=|CD|.已知已知ABCD，求证：，求证：AC2+BD2=2(AB2+AD2).证明：取证明：取A为坐标原点，为坐标原点，AB所在的直线为所在的直线为x轴，轴，建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系xOy，依据平行四边形的性质可设点依据平行四边形的性质可设点A，
16、B，C，D的坐标为的坐标为A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，D(ba，c)，变式练习：变式练习：所以所以 AB2=a2，AD2=(ba)2+c2，AC2=b2+c2，BD2=(b2a)2+c2，AC2+BD2=4a2+2b2+2c24ab =2(2a2+b2+c22ab)，AB2+AD2=2a2+b2+c22ab，所以所以：AC2+BD2=2(AB2+AD2).A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，D(ba，c)，二二.坐标法坐标法 坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数
17、问题，再通过一步步地计算来解决为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法问题的方法.用坐标法证题的用坐标法证题的步骤步骤用坐标法证题的用坐标法证题的步骤步骤（1）根据题设条件，在适当位置）根据题设条件，在适当位置建立坐建立坐标系标系（直线坐标系或者是直角坐标系）；（直线坐标系或者是直角坐标系）；（2）设出未知坐标设出未知坐标；（3）根据题设条件推导出所需）根据题设条件推导出所需未知点的未知点的坐标，坐标，进而推导进而推导结论结论.证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。离相等。yxoB CAM(0,0)(a,0)(0,b)2 2b b,2 2a a(【反馈总结】【反馈总结】v1.1.两点间距离公式两点间距离公式v3.3.坐标法坐标法第一步第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量建立坐标系，用坐标表示有关的量。第二步第二步:进行有关代数运算进行有关代数运算第三步第三步:把代数运算结果翻译成几何关系。把代数运算结果翻译成几何关系。22122121|()()PPxxyyv2.2.中点坐标公式中点坐标公式1 12 20 01 12 20 0 x x+x xx x=2 2y y+y yy y=2 2
