1、2011年年3月月3日日弹簧的势能弹簧的势能:总的机械能为总的机械能为:在不考虑摩擦时总的机械能势守恒的在不考虑摩擦时总的机械能势守恒的.简谐振动中的能量简谐振动中的能量什么时候能量中只有势什么时候能量中只有势能或只有动能？能或只有动能？势能开始向动能转化的势能开始向动能转化的临界点是？临界点是？总能量因此是总能量因此是,于是我们有于是我们有:进而我们有进而我们有:这里这里下图为一弹簧的势能。总能量为一常数下图为一弹簧的势能。总能量为一常数.概念性例题概念性例题:振幅加倍振幅加倍假定弹簧拉伸到假定弹簧拉伸到 x=2A.那么那么(a)系统能量变为？系统能量变为？(b)最大速度？最大速度？(c)最
2、大加最大加速度速度?解：根据题意，其挠度可按解：根据题意，其挠度可按材料力学求得为：材料力学求得为：33FlEI 轻质悬臂梁（如图），长为轻质悬臂梁（如图），长为 ,弯曲刚度弯曲刚度 ，自，自由端施加集中力由端施加集中力 。列出系统横向振动方程，确定其。列出系统横向振动方程，确定其固有频率。固有频率。lEIF例 1 略去梁的质量，梁右端横向振动时的弹簧常数为：略去梁的质量，梁右端横向振动时的弹簧常数为：33FEIkl 因而，系统运动方程为：因而，系统运动方程为：330EImxxl其固有频率为：其固有频率为：33nEIml例 2 一辆起重机被简化为如图所示的理论模型，试确定一辆起重机被简化为如图
3、所示的理论模型，试确定系统在垂直方向振动时的固有频率系统在垂直方向振动时的固有频率假定钢索为刚性1k2k1k2k12k3k3k123k1x2x 解：弹簧解：弹簧 和和 并联并联关系由图（关系由图（b）可见当）可见当在在O点受载荷点受载荷F时，弹时，弹簧簧 和和 所受的载荷若所受的载荷若为为 和和 ，则有：，则有：1k2k1k2k1F2F1FbFab2FaFab，弹簧弹簧 和和 由此产生的位移为由此产生的位移为 和和 ，则，则1k2k1x2x11()Fbxk ab22()Faxk ab，这时，O点的位移为：2212121212()()()aFbaxxxxababkk将弹簧 和 化为一等效弹簧 ，
4、其大小为1k2k12k若a=b,则121211144kkk212221212()Fabkbaxkk弹簧 和 串联的等效弹簧常数为12k3k123123111144kkkk固有频率为：12311144nmkkk若简支梁受到的载荷都在中点，且llll321IIII321则332148lEIkkk若钢索也为弹性体，如何处理？例 3、确定固有频率1111,2,1ldJld 杆1与杆2弹簧并联2112kkk 因此242141211232ldldGkkk对于扭转，扭矩T与角位移 的关系为lGITnG为剪切模量，In为扭转时界面的极惯性矩，对于圆截面324dIn系统的运动方程为032242141ldldGJ 2421411232ldldJGJk例4、求钢索中的最大张力gWk/vvkkWWmmgW Ox简谐振动vxx)0(,0)0()sin(tAx/0vA gkWvWvkWkAWT例5、确定系统自由振动kOx0 xhm1m m,m1接触的那一时刻为t=0.这时二者有速度ghmmmv210取 m和m1与k形成的新系统的静平衡位置为坐标原点，则00)0(,)0(vxkmgxx 固有频率为1mmk系统的自由振动为tmmkmmkghmtmmkkmgtx111sin)(2cos)(
