1、第第1章章数值分析与科学计算引论数值分析与科学计算引论 1.1 数值分析的对象、作用与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害 1.4 数值计算中算法设计的技术 1.5 数学软件（略）1 数值分析的定义：数值分析的定义：数值分析的主要内容：数值分析的主要内容：本课程主要内容包括插值与数据逼近、数值微分与数值积分、线性方程组的数值求解、非线性方程与方程组求解、特征值计算、常微分方程数值解等.数值分析也称计算数学计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现.1.1 1.1 数值分析研究对象与特点数值分析研究对象与特点2 数
2、值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，数值分析是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的课程.虽然数值分析也是以数学问题为研究对象，但它不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论.又有应用数学的广泛性与实际试验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.3 三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现.数值分析的特点：数值分析的特点：一、面向计算机，能根据计算机特点提供切实可行的有效算法.二、有可靠的理论分析，能
3、任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析.4 四、要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的.51.2 1.2 数值计算的误差数值计算的误差 1.2.1 1.2.1 误差来源与分类误差来源与分类 用计算机解决科学计算问题的过程如下：首先要建立数学模型数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象、简化而得到的，因而是近似的.数学模型与实际问题之间出现的误差称为模型误差模型误差.实际问题数学模型6 以上两种误差不在“数值分析”的讨论范围.实际问题数学模型 在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度、长度、电
4、压等等，这些参量显然也包含误差.这种由观测产生的误差称为观测误差观测误差.数值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差.当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解.7 近似解与精确解之间的误差称为截断误差截断误差或方法误差方法误差.实际问题数学模型上机计算求出结果数值计算方法8 例如，用泰勒(Taylor)多项式 nnnxnfxfxffxP!)0(!2)0(!1)0()0()()(2,)!1()()()()(1)(nnnnxnfxPxfxR近似代替可微函数 ，)(xf则数值方法的截断误差是.0之间与在x 有了计算公式后，在用计算机做数值计算时，还要受计算机字长的限制，原始数据在
5、计算机上表示会产生误差，计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差舍入误差.9产生的误差用 近似代替 ，14159.3就是舍入误差.此外由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差对数值计算也将造成影响.14159.3 R例如，0000026.0 分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差.研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差估计问题.这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断误差将结合具体算法讨论.10 若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即 1.2.2 1.2.2 误差与有效数字误差与有效数字 设 为准确值，x为 的一个近似值，*xxxxe*通常准确
6、值 是未知的，x因此误差 也是未知的.*e为近似值的绝对误差绝对误差，定义定义1 1称简称误差误差.*xxe 则 叫做近似值的误差限误差限，*它总是正数.11 例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，读出和该长度接近的刻度 ，x*x是 的近似值，*xx它的误差限是 ，mm5.0于是 mm.5.0*xx如读出的长度为 ，mm765则有 .5.0765 x 虽然从这个不等式不能知道准确的 是多少，但可知x,5.7655.764 x结果说明 在区间 内.x5.765,5.76412 对于一般情形 ，*xx即*,*xxx也可以表示为.*xx 需要注意注意的是误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏.13 例
7、如，有两个量 ，110 x,51000 y;1,10*xx则.5,1000*yy虽然 比 大 4 倍，*y*x但1000/5*/*yy%5.0比 10/1*/*xx%10要小得多，这说明 近似 的程度比 近似 的程度好.*yy*xx 所以除考虑误差的大小外，还应考虑准确值 本身的大小.x14 实际计算中，由于真值 总是未知的，x*xxxxeer 把近似值的误差 与准确值 的比值*exxxxxe*称为近似值 的相对误差相对误差，*x记作 .*re作为 的相对误差，*x条件是 较小，*xeer通常取此时利用,*xxe知15 相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限相对误差限，xxxxexe
8、xe*)*(*是 的平方项级，*re记作 ，*r*)*(*)(2exxe*)/*(1*)/*(2xexe故可忽略不计.*xr即16%,10*xx%,5.0*yy上例中 与 的相对误差限分别为xy可见 近似 的程度比 近似 的程度好.*yy*xx根据定义，17 当准确值 位数比较多时，常常按四舍五入的原则得到 的前几位近似值 ，xx*x14159265.3 x 取3位,14.3*3x 取5位,1416.3*5x它们的误差都不超过末位数字的半个单位，,102114.32例如,002.0*3,000008.0*5即.10211416.3418 若近似值 的误差限是某一位的半个单位，*x该位到 的第一
9、位非零数字共有 位，就说 有 位有效有效数字数字.*xn*xn 表示为),1010(10*)1(121nnmaaax（2.1）其中 是0到9中的一个数字，为整数，),1(niaima,01.1021*1nmxx（2.2）定义定义2 2且19如取 作为 的近似值，14.3*x取 ，3.1416*x按这个定义，*x就有3位有效数字，*x就有5位有效数字.20 按定义，187.93,0.037856,8.0000,2.7183.的5位有效数字近似数是8.0000，而不是8，000033.8x 例例1 1 按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效数字的近似数：187.9325,0.03785551,8.
10、000033,2.7182818.上述各数具有5位有效数字的近似数分别是因为8只有1位有效数字.注意：21如果以 m/s2 为单位，重力常数g，,m/s80.92g若以km/s2为单位，它们都具有3位有效数字，2km/s00980.0g,102180.92g按(2.1)的表示方法，,3,0nm,102100980.05g这里.3,3nm 它们虽然写法不同，但都具有3位有效数字.例例2 2因为按第一种写法按第二种写法),1010(10*)1(121nnmaaax（2.1）22 至于绝对误差限，由于单位不同所以结果也不同,m/s102122*1但相对误差都是 80.9/005.0*r 注意相对误差
11、与相对误差限是无量纲的，而绝对误差与误差限是有量纲的.例2说明有效位数与小数点后有多少位数无关.,m/s102125*2.00980.0/00005.023 从(2.2)可得到具有 位有效数字的近似数 ，其绝对误差限为 n*x,1021*1nm在 相同的情况下，越大则 越小，故有效位数越多，绝对误差限越小.mn110 nm.1021*1nmxx（2.2）24若 的相对误差限 ，*x)1(1*10)1(21nra设近似数 表示为*x)1.2(),1010(10*)1(121llmaaax其中 是0到9中的一个数字，),1(liai;1021)1(1*nra反之，则 至少具有 位有效数字.*xn
12、若 具有 位有效数字，n*x定理定理1 1ma,01为整数.则其相对误差限为25由(2.1)可得,10)1(1ma当 有 位有效数字时*xn*xxxr 反之，由*rxxx,105.01nm证明证明*101xammnma10105.011;102111na11110)1(2110)1(nmaa)1.2(),1010(10*)1(121llmaaax26知 至少有 位有效数字.*xn 定理说明，有效位数越多，相对误差限越小.27由于,4.420知 ，41a故只要取 ，4n3*10125.0r即只要对 的近似值取4位有效数字，其相对误差限就小于0.1%.20此时由开方表得 .472.420 设取 位
13、有效数字，n.1021)1(1*nra例例3 3 要使 的近似值的相对误差限小于0.1%，需取 20几位有效数字?由定理1就有%,1.010328 1.2.3 1.2.3 数值运算的误差估计数值运算的误差估计 两个近似数 与 ，其误差限分别为 及 ，*1x*2x)(*1x)(*2x);()()(*2*1*2*1xxxx);()()(*1*2*2*1*2*1xxxxxx).0()()()/(*22*2*1*2*2*1*2*1xxxxxxxx它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为29 设 是一元函数，的近似值为 ，以 近似 ，其误差界记作 ，)(xfx*x*)(xf)(xf*)(xf 一般情
14、况下，当自变量有误差时函数值也产生误差，之间介于*,*)(2)(*)*)(*)()(2xxxxfxxxfxfxf 取绝对值得*).(2)(*)(*)(*)()(2xfxxfxfxf 其误差限可利用函数的泰勒展开式进行估计.利用泰勒展开30*).(*)(*)(xxfxf 假定 与 的比值不太大，可忽略 *)(xf*)(xf *)(x的高阶项，于是可得计算函数的误差限31 当 为多元函数，如计算 时.f),(1nxxfA 的近似值为 ，nxx,1*1,nxx则 的近似值为A),(*1nxxfA于是由泰勒展开，函数值 的误差 为*A*)(Ae如果AAAe*)(nkkkknxxxxxf1*1)(),(
15、,1*nkkkexf),(),(1*1nnxxfxxf32于是误差限;)(*)(1*nkkkxxfA（2.3）而 的相对误差限为*A*)(*Arr.*)(1*nkkkAxxf（2.4）*)(AA33 已测得某场地长 的值为 ，lm110*l宽 的值d为 ，m80*d已知 .m1.0*,m2.0*ddll试求面积 的绝对误差限与相对误差限.lds 因,ldsdlslds),()(*)(*ddsllss;)(*)(1*nkkkxxfA知例例4 4解解由34其中,m80*dls而,m2.0*)(l于是绝对误差限);m(27)1.0(110)2.0(80*)(2s相对误差限*)(*)(sssrm,11
16、0*lds,m1.0*)(d*)(dls%.31.0880027351.3 1.3 误差定性分析与避免误差危害误差定性分析与避免误差危害 一个工程或科学计算问题往往要运算千万次，由于每步运算都有误差，如果每步都做误差分析是不可能的，也不科学.因为误差积累有正有负，绝对值有大有小，都按最坏情况估计误差限得到的结果比实际误差大得多，这种保守的误差估计不反映实际误差积累.36 考虑到误差分布的随机性，有人用概率统计方法，将数据和运算中的舍入误差视为适合某种分布的随机变量，20世纪60年代以后对舍入误差分析提出了一些新方法，较重要的有威尔金森(Wilkinson)的向后误差分析法向后误差分析法和穆尔(
17、Moore)的区间分析法区间分析法两种.然后确定计算结果的误差分布，这样得到的误差估计更接近实际，这种方法称为概率分析法概率分析法.37 1.3.1 1.3.1 算法的数值稳定性算法的数值稳定性 用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定数值不稳定的.计算 并估计误差.),1,0(ee101ndxxIxnn 由分部积分可得计算 的递推公式 nI),2,1(11nnIInn若计算出 ，0I代入（3.2），可逐次求出 的值.,21II（3.1）.e1ee11010dxIx例例5 538 而要算出 就要先计算 .0I1e,!)1(!2)1()1(
18、1e21kk并取 ，7k则得 ，3679.0e13679.0e17R计算过程中小数点后第5位的数字按四舍五入原则舍入.若用泰勒多项式展开部分和 用4位小数计算，截断误差!81.1041439 当初值取为 时，用（3.2）递推006321.0II).,2,1(1;6321.0)A(10nInIInn计算结果见表1-1的 列.nI 用 近似 产生的误差 就是初值误差，0I0I000IIE它对后面计算结果是有影响的.),2,1(11nnIInn（3.2）.e1ee11010dxIx计算公式为 7.55290.170440.728080.207430.216070.264220.112060.3679
19、10.148050.63210计算)(A)(用In计算)(A)(用In11表nn40 从表中看到 出现负值，8I这与一切 相矛盾.0nI101011emine1edxxnnxx因此，当 较大时，用 近似 显然是不正确的.nnInI10101emaxedxxnxx（3.2）.11n实际上，由积分估值得nI41 计算公式与每步计算都是正确的，计算结果错误的原因主要就是初值 有误差 ，由此引起以后各步计算的误差 满足关系 0I000IIEnnnIIE).,2,1(1nnEEnn 容易推得,!)1(0EnEnn这说明 有误差 ，则 就是 的 倍误差.0I0EnI0E!n42 例如，8n若 ，40102
20、1E2!808EE这就说明 完全不能近似 了.8I8I 若换一种计算方案.由（3.3）取 ，9n,10110e91I9190684.010e10121II取则 它表明计算公式（A）是数值不稳定的.则（3.3）111e1nInn43将公式(3.2)倒过来算，即由 算出 ，公式为*9I*1*7*8,III);1,8,9()1(1,0684.0)B(*1*9nInIInn计算结果见表1-1的 列.*nI0.06847.55290.17080.170440.10350.728080.20730.207430.11210.216070.26430.264220.12680.112060.36790.36
21、7910.14550.148050.63210.63210计算)(B)(用I计算)(A)(用In计算)(B)(用I计算)(A)(用In11表*nn*nn),2,1(11nnIInn（3.2）.e1ee11010dxIx44 反之，当用方案（A）计算时，尽管初值 相当准确，0I 此例说明，数值不稳定的算法是不能使用的.记 ，*nnnIIE则 ，*0!1nEnE比 缩小了*0E*nE倍，因此，尽管 较大，但由于误差逐步缩小，故可用 !n*9E近似 .*nInI由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果不可靠.可以看出 与 的误差不超过 .*0I0I410).,2,1(1;6321.0)A(10nInI
22、Inn45 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定数值稳定的，否则称此算法为不稳定不稳定的.在例5中算法（B）是数值稳定的，而算法（A）是不稳定的.定义定义3 3).,2,1(1;6321.0)A(10nInIInn);1,8,9()1(1,0684.0)B(*1*9nInIInn46 1.3.2 1.3.2 病态问题与条件数病态问题与条件数 对一个数值问题本身,如果输入数据有微小扰动（即误差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是病病态问题态问题.例如计算函数值 时，)(xf若 有扰动 ，其x*xxx相对误差为 ，xx函数值 的相对误差为*)(
23、xf)(*)()(xfxfxf47,)()(/)(*)()(pCxfxfxxxxfxfxf（3.3）称为计算函数值问题的条件数条件数.pC相对误差比值 自变量相对误差一般不会太大，如果条件数 很大，pC将引起函数值相对误差很大，出现这种情况的问题就是病态病态问题问题.48 例如，nxxf)(它表示相对误差可能放大 倍.n 如 ，10n有 ，24.1)02.1(,1)1(ff,02.1*x 自变量相对误差为 ，%2函数值相对误差为 ，%24 一般情况下,条件数 就认为是病态，越大病态越严重.10pCpC则有)()(xfxfxCp,1nxnxxnn,1x若取这时问题可以认为是病态的.49.0,1y
24、xyx 解解 当 时，系数行列式为零，方程无解，但当 时，解为 211x例例6 6 线性方程组.12y11 当 时，若输入数据 有微小扰动（误差），则解的误差将会很大.1 若取 ，则解 ；如果 有误差0.001，取 ，则解 ，误差 很大，说明此时线性方程组是病态的.99.025.50 x991.0*81.55*x56.5*xx50当 时，条件数很大，故问题是病态的.211x 实际上，由 是 的函数，由（3.3）式可求得99.0 需要注意的是，病态问题不是计算方法引起的，是数值问题本身所固有的.因此，对数值问题首先要分析是否病态，病态问题要采取相应的数值方法，以减少误差的危害.12)()(22x
25、xCp100pC51 1.3.3 1.3.3 避免误差危害的若干原则避免误差危害的若干原则 数值计算中通常不采用数值不稳定算法，在设计算法时还应尽量避免误差危害，防止有效数字损失，通常要避免两相近数相减和用绝对值很小的数做除数.求 的小正根.01162xx 解解,6381x 只有一位有效数字.*2x6382x则具有3位有效数字.若改用例例7 76382x,06.094.78*2x0627.094.151638152 例例8 8计算 （用四位数学用表）.)2cos1(107A 由于 ，9994.02cos)2cos1(107A只有一位有效数字.2sin2cos12xx)2cos1(107A具有三
26、位有效数字（这里 ）.0175.01sin则 若利用.106)9994.01(10373721013.610)1(sin2直接计算53 此例说明，可通过改变计算公式避免或减少有效数字的损失.类似地，如果 和 很接近时，由 1x2x.lglglg2121xxxx用右边算式有效数字就不损失.,111xxxx也应该用右端算式代替左端.当 很大时，x54 一般情况，当 时，可用泰勒展开*)()(xfxf 2*)(2*)(*)*)(*)()(xxxfxxxfxfxf取右端的有限项近似左端.如果无法改变算式，则采用增加有效位数进行运算；在计算机上则采用双倍字长运算，但这要增加机器计算时间和多占内存单元.5
27、5 例例9 9 在五位十进制计算机上，计算,5249210001iiA其中 .9.01.0i 把运算的数写成规格化形式.1052492.0100015iiA 由于在计算机内计算时要对阶，若取 ，9.0i55510000009.010000009.01052492.0A，表示机器中相等符号)(1052492.05对阶时 ，在五位的计算机中表示为5100000090.i机器 0，因此56结果显然不可靠，这是由于运算中出现了大数 52492“吃掉”小数 造成的.i,109.0101.03100013ii于是 A551052492.010001.0 如果计算时先把数量级相同的一千个 相加，最后再加52
28、492，就不会出现大数“吃”小数现象，i,1052492.010009.055.5339252592 A这时57 例例10 10 利用公式11)1()1ln(nnnnxx的前 项和，可计算 的近似值（令 ）.N 若要精确到 ，需要对 项求和，此时不但计算量大，舍入误差的积累也很严重.若改用2ln1x510100000N),1253(211ln1253nxxxxxxn取 ，只要计算前10项之和，其截断误差便小于 .10103/1x58 算法设计的好坏不但影响计算结果的精度，还可以大量节省计算时间.1.4 1.4 数值计算中算法设计的技术数值计算中算法设计的技术 一个计算问题如果能减少运算次数，不
29、但可以及减少计算量还可以减少误差，这是算法设计中一个重要原则.1.4.1 1.4.1 多项式求值的秦九韶算法多项式求值的秦九韶算法 以多项式求值为例，设给定 次多项式,0,)(01110aaxaxaxaxpnnnn求 处的值 .n*x*)(xp59可表示为,2,1*,100niaxbbabiii（4.1）若直接计算 再相加，共需做inixa)(2)1(2120nOnnnni次乘法和 次加法.n 若采用,)()(110nnaxaxaxaxp则 即为所求.这就是秦九韶算法.*)(xpbn 用它计算 次多项式 的值只用 次乘法和 次加法,且只用 个存储单元，这是计算多项式最好的方法.nn)(xpn2
30、n60 秦九韶算法的另一个好处是求 在 点的值.由（4.1）式有)(xp其中对 求导得,*)(,)(*)()*)()(1210nnnnnnbxpbxqxxbbxbxbxxxp),(*)()()(xqxxxqxp故 .从而得用秦九韶算法计算 的算法如下：x*)(xp*x.)(122110nnnnbxbxbxbxq*)(*)(xqxp61.49)2()2(,7542)(,10)2(3234pqcxxxxqpb此处 例例11 11 设 ，用秦九韶算法求 和 的值.*).(*)(1xpxqcn则)2(p,1,2,1*,100nibxccbciii（4.1）4332)(24xxxxp)2(p 解解 用（
31、4.1）和（4.2）式构造出计算表格（1-2）621014*4)2(4942*710*32116*58*384*44*02222*2*2-14343232321212101010001234bxbapcxcbxbacxcbxbacxcbxbacbaxxxxxx常数项系数系数系数系数系数表表63 以开方运算为例，它不是四则运算，因此在计算机上求开方值就要转化为四则运算，这时就要使用迭代法 迭代法是一种按同一公式重复计算逐次逼近真值的方法，是数值计算普遍使用的重要方法.1.4.2 1.4.2 迭代法与开方求值迭代法与开方求值这种方程求根问题可以用第7章的迭代法来解决.现在来用简单的方法构造迭代法
32、假定 ，求 等价于解方程a0a（4.3）02 ax64 由于 是很小的量，所以可以舍去高阶项 ，则得先给定一个初始近似 ，令 是一个校正量，称为增量，于是（4.3）式化为即00 x即xxx0axx20)(.)(22020axxxxx2)(xaxxx0202).(2100 xxax于是.)(211000 xxaxxxx65（4.4）这里 不是的真值，但它是真值 的进一步近似，重复以上过程可以得到迭代公式它可逐次求得 若 1xa,21xx*,limxxkk则 ，容易证明序列 对任何 均收敛，且收敛很快.,2,1,0),(211kxaxxkkkax*kx00 x 迭代法（4.4）每次迭代只做一次除法
33、一次加法与一次移位（除以2），计算量很少.66 例例12 12 用迭代法（4.4）求 ，取3.20 x 解解 若计算精确到 ，由（4.4）式可求得610,732051.1,732051.1,73214.1,75.14321xxxx计算停止.由于 ，可知只要迭代3次误差即小于 .7320508.13 6102167 1.4.3 1.4.3 以直代曲与化整为以直代曲与化整为“零零”在数值计算中将非线性问题线性化是常用方法，几何上体现为在局部范围内用直线近似曲线.圆周率 的计算是古代数学的一个光辉成就，充分体现了以直代曲化整为“零”的思想.图1-168这就是方程求根的牛顿迭代法，它是以直代曲建立迭代
34、序列的典型例子.求函数方程 的根，几何上 表现为平面上的一条曲线，它与 轴交点的横坐标即为方程的根 .0)(xf)(xfy x*x 假如已给出一个近似根 ，用该点 处的切线逼近该曲线，令 为该切线与 轴交点的横坐标，一般情况下 近似 的程度要比 好.1kxxkxkx)(,(kkxfx*x1kx图1-20)()(kkkxxxfxfy 上述以直代曲相当于用切线方程的根 近似 ，从而1kx*x),1,0()()(1kxfxfxxkkkk（4.5）69.)()(2)(1TbfafabfI（4.6）在微积分中计算定积分的梯形公式,)(badxxfI它是用通过曲线 上两点 及 的直线（弦）近似曲线的弧，用
35、梯形面积近似曲边梯形的面积，也是以直代曲.)(xfy)(,(afaA)(,(bfbB图1-370,210bxxxxan其中.,nabhihaxi 为提高精度仍然采用化整为“零”，将积分区间分割为小区间在每个小区间 上用梯形公式计算，再求和，得到),2,1(,1nixxii,)()(2)(11nniiiTxfxfhfI（4.7）称它为复合梯形公式，显然 只要取足够大的就可以得到满足精度要求的积分值 .).(limfITnn)(fIn71 1.4.4 1.4.4 加权平均的松弛技术加权平均的松弛技术 刘徽用“割圆术”求得 ，如果单纯用“割圆”计算相当于割到3072边形，计算量是惊人的！1416.3
36、 实际上在计算中利用了现代计算方法中的松弛技术，令内接正 边形面积 近似圆周面积 ，取半径 ，计算出nS10rnS用松弛法，令 为松弛参数.),(96192192SSSS,62564314,62558431319296SS 若取 ，则得1053672,16.314254314)62558431362564314(1053662564314S于是.1416.310016.3142rS 与 近似，但由于使用了松弛技术，计算量大大节省了.S1590.3143072S 松弛技术是计算方法中提高收敛速度的有效方法，设量 为精确值，与 为 的两个近似值，其加权平均为*xx 0 x1x*x73,)1()(0
37、1011xxxxxx其中 为松弛因子.通常 是比 更接近真值 ，要求 比 更接近 可选 .1x0 x*xx1x*,x0 若增量 选得适当，就可最好地逼近真值 ，这就产生了选择最优 的问题，割圆术中选择的 ，使)(010 xxxx*x10536)(1053696192192SSSS是一个接近真值 的近似.S74 利用松弛技术的方法称为松弛法松弛法，是数值分析中常用的方法.在近似计算积分的梯形公式中取 分别得2,1n.2),()(2)(4),()(221bacbfcfafabTbfafabT为了得到 更精确的近似也可以使用松弛法，令)(fI,)1()(121221TTTTTS若取 ，则得3/175).()(4)(63134121bfcfafabTTS（4.8）这就是计算积分的辛普森公式，比梯形公式精度高.761.5 1.5 数学软件（略）数学软件（略）77
