1、 12.3 角的平分线的性质 第1课时 角平分线的性质右图是一个平分角的仪器，右图是一个平分角的仪器，其中其中AB=AD，BC=DC，将点，将点A 放在角的顶点，放在角的顶点，AB 和和AD 沿着角沿着角的两边放下，沿的两边放下，沿AC 画一条射线画一条射线AE，AE 就是就是DAB 的平分线的平分线你能说明它的道理吗？你能说明它的道理吗？ABDCE证明：证明：在在ACD和和ACB中，中，AD=AB（已知），（已知），DC=BC（已知），（已知），CA=CA（公共边）（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应角相等）对应角相等）.AC平分平分DAB（角平
2、分线的定义）（角平分线的定义）.ADBCE学习目标：学习目标：1学会用尺规作角的平分线学会用尺规作角的平分线.2探究并认知角平分线的性质探究并认知角平分线的性质.3能运用角平分线的性质解决问题能运用角平分线的性质解决问题.学习重、难点：学习重、难点：重点：角的平分线的性质重点：角的平分线的性质.难点：运用角平分线的性质解决相关的问题难点：运用角平分线的性质解决相关的问题.从利用平分角的仪器画角的平分线的过程从利用平分角的仪器画角的平分线的过程中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？一个角的平分线？知识点1利用尺规作角的平分线的具体方法利用
3、尺规作角的平分线的具体方法:ABOMNC1以点以点O为圆心，适当长为为圆心，适当长为半径画弧，交半径画弧，交OA于于点点M，交，交OB于于点点N3画射线画射线OC射线射线OC即为所求即为所求 2分别以分别以点点M，N为圆为圆心大于心大于 MN的长为半径画弧，的长为半径画弧，两弧在两弧在AOB的内部交于的内部交于点点C12你能说明为什么射线你能说明为什么射线OC 是是AOB 的平分线吗？的平分线吗？ABOMNC知识点2利用尺规我们可以作一个角的平分线，那利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？么角的平分线有什么性质呢？证明：AD是角平分线，DEAB，DFAC，AOC=BOC
4、，证明：AD是角平分线，DEAB，DFAC，从利用平分角的仪器画角的平分线的过程中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？2探究并认知角平分线的性质.你还能得到哪些三角形全等？（1）如图，OC 平分AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD=PEOC是AOB的平分线，P是OC上一点你能说明为什么射线OC 是AOB 的平分线吗？1以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点NAD=AB（已知），证明：AD是角平分线，DEAB，DFAC，AC平分DAB（角平分线的定义）.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等证明：在ACD和ACB中，
5、在OC 上再取几个点试一试证明：AD是角平分线，DEAB，DFAC，ACD ACB（SSS）DC=BC（已知），（3）如图，OC 平分AOB，点P 在OC 上，PDOA，垂足为D若PD=3，则点P 到OB 的距离为3证明:PD OA，PE OB，ACD ACB（SSS）利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？重点：角的平分线的性质.你能说明为什么射线OC 是AOB 的平分线吗？证明：AD是角平分线，DEAB，DFAC，DC=BC（已知），证明：AD是角平分线，DEAB，DFAC，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等例题：如图，ABC中，BD=CD，AD 是
6、BAC 的平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F求证：EB=FC重点：角的平分线的性质.利用尺规作角的平分线的具体方法:利用尺规作角的平分线的具体方法:OC是AOB的平分线，P是OC上一点求证：CE=CF.难点：运用角平分线的性质解决相关的问题.证明：在ACD和ACB中，12.从利用平分角的仪器画角的平分线的过程中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？（1）如图，OC 平分AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD=PE求证：CE=CF.1学会用尺规作角的平分线.PD=PE.OP=OP，OC 是是AOB的平分线，在的平分线，在OC 上任取一点上任取
7、一点P，过点，过点P 画出画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为的垂线，分别记垂足为D，E，测量，测量 PD，PE 并作比较并作比较你得到什么结论？你得到什么结论？探究在在OC 上再取几个点试一试上再取几个点试一试 通过以上测量，你发现了角的平分通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？线的什么性质？已知：已知：AOC=BOC，点，点 P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分别为垂足分别为D，E求证：求证：PD=PE角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等两边的距离相等证明证明:PD OA，PE OB，PDO=PEO.在在PDO和和PEO中
8、，中，PDO=PEO，AOC=BOC，OP=OP，PDO PEO（AAS）.PD=PE.OC是是AOB的平分线，的平分线，P是是OC上一点上一点 PDOA，PEOB，PD=PE角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等两边的距离相等角的平分线的性质的作用是什么？角的平分线的性质的作用是什么？主要是用于判断和证明两条线段是否相主要是用于判断和证明两条线段是否相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等先证两个三角形全等ABOPCDE练习练习1判断对错判断对错（1）如图如图，OC 平分平分AOB，点
9、，点P 在在OC 上，上，D，E 分别为分别为OA，OB 上的点，则上的点，则PD=PEABOPCDE练习练习1 判断对错判断对错（2）如图，点如图，点P 在在OC 上，上，PDOA，PEOB，垂足分别为垂足分别为D，E，则，则PD=PE练习练习1判断对错判断对错（3）如图如图，OC 平分平分AOB，点，点P 在在OC 上，上，PDOA，垂足为，垂足为D若若PD=3，则点，则点P 到到OB 的距的距离为离为3ABOPCD（3）如图，OC 平分AOB，点P 在OC 上，PDOA，垂足为D若PD=3，则点P 到OB 的距离为3角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等在RtDEB和RtD
10、FC中，证明：AD是角平分线，DEAB，DFAC，CAD=CAB（全等三角形的 对应角相等）.难点：运用角平分线的性质解决相关的问题.证明：AD是角平分线，DEAB，DFAC，2探究并认知角平分线的性质.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？证明：AD是角平分线，DEAB，DFAC，证明:PD OA，PE OB，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等2分别以点M，N为圆心大于 MN的长为半径画弧，两弧在AOB的内部交于点CPDOA，PEOB，求证：CE=CF.利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？难点：运用角平分线的性质解决相关的问题.你还能得到哪些
11、三角形全等？PDO=PEO，难点：运用角平分线的性质解决相关的问题.证明：AD是角平分线，DEAB，DFAC，重点：角的平分线的性质.练习练习2 2 如图如图,在在ABC中，中，ACBC，AD平平分分BAC，DEAB，AB7，AC3，求，求BE的长的长 在在此题此题的已知条件下的已知条件下，你还能得到哪些三角形全等？你还能得到哪些三角形全等？那些线段相等？那些线段相等？例题：例题：如图，如图，ABC中，中，BD=CD，AD 是是BAC 的平分线，的平分线，DEAB，DFAC，垂足分别，垂足分别为为E，F求证：求证：EB=FCABCDEF证明：证明：AD是角平分线，是角平分线，DEAB，DFAC
12、，DE=DF（角平分线上的点到角两角平分线上的点到角两边的距离相等边的距离相等）.在在RtDEB和和RtDFC中，中，RtDEB RtDFC（HL）.EB=FC.BD=CD，DE=DF，ABCDEF练习练习3.如图，点如图，点D、B分别在分别在MAN的两边上，的两边上，C是是MAN内一点，内一点，AB=AD，BC=CD，CEAM于于E，CFAN于于F.求证：求证：CE=CF.证明：证明：在在ABC和和ADC中，中，ABC ADC(SSS).ABADBCDCACAC ，DAC=BAC.AC平分平分MAN.CEAM，CFAN，CE=CF.证明：AD是角平分线，DEAB，DFAC，在此题的已知条件下
13、，CEAM，CFAN，AC平分DAB（角平分线的定义）.你还能得到哪些三角形全等？DAC=BAC.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等（1）如图，OC 平分AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD=PE求证：CE=CF.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？DC=BC（已知），你能说明为什么射线OC 是AOB 的平分线吗？证明：在ACD和ACB中，利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？ACD ACB（SSS）AD=AB（已知），已知：AOC=BOC，点 P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E从利用平分角的仪器画角的平分线的过程中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？证明:PD OA，PE OB，1以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点NABOMNC角平分线的性质：角平分线的性质：角的角的平分线上的点到角的两边的平分线上的点到角的两边的距离相等距离相等1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。
