1、1河北省衡水中学河北省衡水中学 2023 届上学期高三年级四调考试数届上学期高三年级四调考试数 学学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。共本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。共 4 页，总分页，总分 150 分，考试时间分，考试时间 120分钟。分钟。第卷（选择题第卷（选择题 共共 60 分）分）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知=(3)2+，则在复平面内对应的点位于A实轴上B虚轴上C第一、三象限
2、的角平分线上 D第二、四象限的角平分线上2 已知向量，满足|=2，=(1，1)，|+|=10，则向量在向量上的投影向量的坐标为A(22,22)B(1,1)C(1,1)D(22,22)3在Rt中，=90，=60，=2，则 =A4 B4 C8 D84已知，为平面内任意三点，则“与的夹角为钝角”是“|+|”的A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件52 000 多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割，所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为512如图，在矩形中，与相交于点，且点为线
3、段的黄金分割点，则=A352+5+510 B352+5510C512+5510 D352+556已知复数 z 满足 +4 =5+，则实数的取值范围是A4,4 B6,6 C8,8 D12,1227已知点P是所在平面内一点，有下列四个等式：PA+PB+PC=0；PA (PAPB)=PC (PAPB)；|PA|=|PB|=|PC|；PA PB=PB PC=PC PA如果只有一个等式不成立，则该等式为A B C D8对于给定的正整数，设集合=1,2,3,，且 记()为集合中的最大元素，当取遍的所有非空子集时，对应的所有()的和记为()，则(2023)=A2023 22023+1 B2023 22022
4、+1C2022 22022+1 D2022 22023+1二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9设非零向量，的夹角为，为任意非零向量，定义运算 =|sin，则下列结论正确的是A若 =0，则/B (+)=+C2()()=22sin2 D若|=|=1，则 的最大值为 110已知复数1，2满足|1|2|0，则下列结论正确的是A若|1|=|2|，则
5、1=2 B|1+2|1|+|2|C若|1|=|2|，则21=22 D|12|=|1|2|11如图放置的边长为 1 的正方形的顶点，分别在轴的正半轴、轴的非负半轴上滑动，则 的值可能是A1 B1 C2 D212已知函数()及其导函数()的定义域均为 R若对任意的，都有(+)+()=2()()，则下列结论正确的是A(0)=1B()+(0)0C若(1)=12，则2023=1()=12D()必为奇函数3第卷（非选择题共第卷（非选择题共 90 分）分）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13已知211+=，则的虚部是_14若函数()=sin
6、+cos的图象关于直线=6对称，则实数=_15在中，|=|=|，是线段上的动点，有下列三个结论：2|3|；则所有正确结论的序号是_16 已知向量，满足|=1，=2，|=2|，则向量与的夹角的最大 值是_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）设复数1=1，2=cos+sin，其中 0,(1)若复数=12为实数，求的值；(2)求|1+2|的取值范围18（12 分）记的内角，的对边分别是，已知的外接圆半径=2，且tan+tan=2sincos(1)求和的值；(2)求面积
7、的最大值19（12 分）如图，在平行四边形中，=2，=3，=3，为的中点，=(0 1).(1)若 ，求实数的值；(2)求 的取值范围420（12 分）已知函数f(x)=ax3+bx23x+c为奇函数，且在区间(,1)上单调递增，在区间(1,1)上单调递减(1)求f(x)的解析式；(2)若过点A(1,m)(m 2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数 m 的取值范围21（12 分）治理垃圾是某市改善环境的重要举措2021 年该市产生的垃圾量为 200 万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从 2022 年开始，连续 5 年，每年的垃圾排放量比上一年减少20 万吨，从第 6 年开始，每年
8、的垃圾排放量为上一年的 75%(1)写出该市从 2022 年开始的年垃圾排放量与治理年数()的表达式；(2)设 An为从 2022 年开始年内的年平均垃圾排放量如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由22（12 分）已知函数f(x)=ln(x+1)1(1)证明：f(x1)2x3；(2)设函数g(x)=(x+1)f(x)12ax2+1，若g(x)在区间(0,+)上存在最大值，求实数a的取值范围一、选择题一、选择题1C【解析】因为=1+32+=(1+3)(2)(2+)(2)=5+55=1+，所以在复平面内对应的点的坐标
9、为(1,1)，位于第一、三象限的角平分线上2B【解析】由=(1,1)，得|=12+12=2，则|+|=2+2+2 =|2+|2+2 =10，即4+2+2 =10，则 =2，所以向量在向量上的投影向量的坐标为(|)|=(1,1).3 A【解析】因为为直角三角形，且=90，=60，=2，所以=4，且=120，所以 =|cos120=2 4 (12)=4.4B【解析】设与的夹角为(0,)，当为钝角时，|+|2|2=|+|2|2=4 0，所以|+|；当|+|时，|+|2|2，所以4 0，即 0，故cos 0，所以2 ，所以“与的夹角为钝角”是“|+|”的充分不必要条件5 D【解析】由题意得=512，显
10、然=，=12，所以=(2512)=552，故=255=25(51)，因为=+=+512=+512()=352+512，所以=352+55.6D【解析】设=+，则2+2+4()=5+，整理得2+2+4+4=5+，所以2+2+4=5,4=,即2+4+2165=0因为此方程有实根，所以=164(2165)0，解得12 12.7B【解析】对于，设的中点为，连接，则+=2.又+=0，所以+=，所以=2，故点为的重心；对于，由 ()=()，得()=0，故 ，即为直角三角形；对于，由点到三个顶点的距离相等，得点为的外心；对于，由 =，得()=0，同理可得 =0，所以 ，A ，即点为的垂心，当为等边三角形时，
11、重心、外心、垂心重合，此时均成立，不成立，满足要求；当成立时，其他三个均不一定成立8D【解析】根据题意知为集合的非空子集，满足()=1的集合只有 1 个，即1；满足()=2的集合有 2 个，即2，1，2；满足()=3的集合有 4 个，即3，1，3，2，3，1，2，3；满足()=的集合有21个，所以()=1+2 2+3 22+21，则2()=1 2+2 22+3 23+(1)21+2，两式相减得()=1+2+22+.+21 2=21 2，所以()=(1)2+1，所以(2023)=2022 22023+1.二、选择题二、选择题9ACD【解析】对于 A，因为 =|sin=0，所以sin=0，解得=0
12、或=，所以a/b，故选项 A 正确；对于 B，不妨取=(1,0)，=(0,1)，=(0,1)，设与b+c的夹角为，a与c的夹角为，则a (b+)=|+|sin=1 0 0=0,+=|sin+|sin=1 1 1+1 1 1=2，此时 (+)+，故选项 B 错误；对 于 C，2()()=2(|sin)(|cos)=2|2|2sincos=22sin2，故选项 C 正确；对于 D，当|=|=1时，=|sin=sin 1，当且仅当=2时取等号，所以()max=1，故选项 D 正确10BD【解析】设1=1+，2=2，则|1|=|2|=2,21=(1+)2=2,22=(2)2=2，不满足1=2，也不满足
13、21=22，故选项 AC 错误；对于 B，设1，2在复平面内对应的向量分别为OZ1，2，且OZ1,OZ2 0，由向量加法的几何意义知|OZ1+OZ2|OZ1|+|2|，故|1+2|1|+|2|，故选项 B 正确；对于 D，设1=+，2=+，且，b，c，d 0，则z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac)+(ad+)，所以|12|=()2+(+)2=()2+()2+()2+()2，|1|2|=2+22+2=()2+()2+()2+()2=|12|，故选项 D 正确11 AC【解析】设=(0 2)，因为=1，所以=cos,=sin,=2，故=cos+cos(2)=cos+sin，=sin(2)=
14、cos，所以=(cos+sin,cos)同理可得(sin,cos+sin)，所以=(sin,cos+sin)，所以 =(cos+sin,cos)(sin,cos+sin)=1+sin2因为0 2，所以0 sin2 1，则1 2，故 的值可能是l，212BC【解析】对于 A，令=0，由(+)+()=2()()，得2(0)=22(0)，故(0)=0或(0)=1，故选项 A 错误；对于 B，令=，则(2)+(0)=22()，故(2)+(0)0因为 ，令=2，所以()+(0)0，即()+(0)0，故选项 B 正确；对于 C，令=1，=0，则(1)+(1)=2(1)(0)，若(1)=12，则(0)=1；
15、令=1，则(2)+(0)=22(1)，即(2)+1=12，所以(2)=12；令=2，=1，则(3)+(1)=2(2)(1)，即(3)+12=12，所以(3)=1；令=3，=1，则(4)+(2)=2(3)(1)，即(4)12=1，所以(4)=12；令=4，=1，则(5)+(3)=2(4)(1)，即(5)1=12，所以(5)=12；令=5，=1，则(6)+(4)=2(5)(1)，即(6)12=12，所以(6)=1；令=6，=1，则(7)+(5)=2(6)(1)，即(7)+12=1，所以(7)=12，由此可得(),的值有周期性，且周期为6又(1)+(2)+(3)+(4)+(5)+(6)=0，所以20
16、23=1()=337 (1)+(2)+(3)+(4)+(5)+(6)+(1)=12，故选项 C 正确；对于 D，令=0，则()+()=2(0)()，当(0)=0时，()+()=，即()+()=0，则()()=0，即()=()，所以()为偶函数，故选项 D 错误三、填空题三、填空题1335【解析】设=+(,)，由211+=，得2(+)1=(1+)，即21+2=+(+1)，所以21=,2=+1,解得=15=35，所以=15+35，故 z 的虚部是351433【解析】因为函数()=sin+cos的图象关于直线=6对称，所以()=sin+cos在=6时取得最值，结合辅助角公式得(6)=2+1，即12+
17、32=2+1，整理得3223+1=(31)2=0，解得=3315【解析】因为|=|=|=|，所以是等边三角形，取 BC 的中点为 O，连接 AO，以 O 为坐标原点，BC 所在的直线为轴，OA 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系如图设|=2，则(0,3)，(1,0)，(1,0)，(,0)(1 1)，所以=(,3),=(1,3)，所以2|23|2=42 0，即2|3|，故正确；=1+3(+3)=1 2,0，故错误；=+3(+3)=2 2,2，故错误166【解析】由|=2|，得|=2|+ba|又由b=2a，得2|()3|=|，则 4()26 ()+92=()2，即()28 ()+12=0，即
18、 ()=()2+128，所以cos=()|=()2+128|212()28|=32，当且仅当()2=12时取等号，所以向量与的夹角的最大值是6.四、解答题四、解答题17解：(1)=1 2=(1+)(cos+sin)=(cossin)+(cos+sin)i （2 分）若复数=1 2为实数，则cos+sin=0故tan=1.（3 分）又 0,，所以=34（4 分）(2)因为1=1，2=cos+sin所以|1+2|=|1+cos+sin|=|(1+cos)+(1+sin)i|=(1+cos)2+(1+sin)2=3+2 cos2 sin=3+22cos(+4)（6 分）又 0,，所以+4 4,54所
19、以1 cos(+4)22,（8 分）则322|1+2|5即21|1+2|5故|z1+z2|的取值范围是21,5.（10 分）18解：(1)因为tan+tan=2sincos，所以sincos+sincos=2sincos即sincos+cossinC=2sincos,故sin(+)=2sincos（2 分）因为A+B+C=，所以sin=2sincos又sin 0，所以cos=22，因为0 ，所以=4（4 分）由正弦定理得sin=2，则=2 2 22=2.（6 分）(2)由余弦定理2=2+22cos，得4=2+22由基本不等式得4=2+22 22，当且仅当=时取等号，所以 422=2(2+2),
20、（10 分）所以=12sin=24 24 2(2+2)=1+2故面积的最大值为1+2（12 分）19解：(1)在平行四边形 ABCD 中，=2，=3，=3，建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)，(3,0)，(1,3)，(4,3).（2 分）又 E 为 CD 的中点，所以(72,32),则|=(72,32)因为=，所以(3,0)，则=(31,3).（4 分）因为 ，所以 =0即72(31)+32(3)=0，解得=1021（6 分）(2)由(1)知F(3,0)，(72,32)，=(31,3)，则=(723,32)（8分）所以 =(31)(723)32=92+2725=9(34)2+116因为
21、0 1，所以当=34时，取得最大值为116；当=0时，取得最小值为5，故 的取值范围是5,116（12 分）20解：(1)因为函数()=3+23+为 R 上的奇函数，所以(0)=0，即=0，所以()=3+23又()=()所以3+2+3=32+3，则=0（2 分）又()在区间(,1)上单调递增，在区间(1,1)上单调递减，所以()在=1处取得极大值，因为()=33，()=323所以(1)=0，即33=0，解得=1（4分）所以()=33，经检验符合题意（5 分）(2)由(1)知()=33，所以点(1,)(2)不在曲线=()上，且()=323.设切点为(0,0)，则0=3030，(0)=3(201)
22、故切线的斜率满足3(201)=303001，整理得230320+3=0.因为过点(1,)可作曲线=()的三条切线，所以关于的方程2332+3=0有三个实根 （7 分）设()=2332+3，则()=626令()0，得0 0，得 1所以()在区间(,0),(1,+)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减，所以()的极大值点为=0，极小值点为=1（9 分）所以关于的方程2332+3=0有三个实根的必要条件是(0)=+3 0(1)=+2 0解得3 2（10 分）此时(1)=2 4 4 0所以当3 2时，关于的方程2332+3=0有三个实根故实数的取值范围是(3,2).（12 分）21解：(1)设治理年
23、后，该市的年垃圾排放量构成数列当1 5时，是首项为1=20020=180，公差为20的等差数列，所以=1+(1)=18020(1)=20020.（2分）当 5时，数列是以5为首项，公比为34的等比数列，所以=55=100 (34)5（4 分）所以=20020,1 5,100 (34)5,6.（5 分）(2)现有的治理措施是有效的，理由如下：设为数列的前项和，则=,所以+1=1+1=+1(+1)(+1)=(+1)(+1)(+1)=+1(+1)=(+11)+(+12)+(+1)(+1).（8 分）由(1)知当1 5时，=20020，所以为递减数列；（9分）当 6时，=100(34)5，所以为递减数
24、列，且以6 5，所以当 时，为递减数列，故+11 0，+12 0，+1 0,所以+1 0，则()=11=1（1 分）令()0，得0 0，得 1所以()在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+)上单调递增，所以()(1)=0，即22 0即1 23，故(1)23（4 分）(2)解：由题意得()=(+1)(+1)122，则()=(+1)令()=()=(+1)，0，则()=1+1.（5 分）当 0时，()0，()在区间(0,+)上单调递增，所以()(0)=0，所以()在区间(0,+)上单调递增，无最大值，不符合题意；（6 分）当 1时，()=1+1 1 0，()在区间(0,+)上单调递减，所以()(0)=0，所以()在区间(0,+)上单调递减，无最大值，不符合题意（7 分）当0 0当 (0,11)时，()0，()在区间(0,11)上单调递增当 (11,+)时，()0时，(x)2x+12ax 11，且()(0)=0，所以由零点存在定理，得存在0(11,)，使得(0)=0所以当 (0,0)时，()0，即()0；当 (0,+)时，()0，即()0，所以()在区间(0,0)上单调递增，在区间(0,+)上单调递减，所以()在区间(0,+)上存在最大值(0)，符合题意，综上，实数的取值范围是(0,1)（12 分）
