1、 专题 4 求函数的值域专项训练 1、函数 21f xxx的值域是（ ） A. 0, B. 17 , 8 C. 5 , 4 D. 15 , 8 【答案】B 【解析】 f x的定义域为1, 令1tx 0t ，则 2 1xt 2 2 115 212 48 yttt 0,t f x的值域为 15 , 8 2、函数 1 1 3xy 的值域为（ ） A. 0, B. 0,11, C. |1x x D. 1, 【答案】B 【解析】本题可视为 3 f x y 的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题、令 1 1 t x ，则,00,t ，所以可得30,11, t y 3、函数 1 428,2
2、,2 xx f xx 的值域为_ 【答案】9,0 【解析】 2 1 42822 28 xxxx f x 令2xt 2,2x 1 ,4 4 t 2 2 2819yttt f x的值域为9,0 4、函数 1 ln 1 x x e y e 的值域为_ 【答案】0, 【解析】所求函数为 ln f x 的形式，所以求得 1 1 x x e e 的范围，再取对数即可。对 1 1 x x e e 进行变形可 得、 12 1 11 x xx e ee ，从而将1 x e 视为一个整体，即可转为反比函数，从而求得范围 解、定义域、100, x ex 12 1 11 x xx e ee 令1 x te 0,t 2
3、 11, t 1 ln0, 1 x x e y e 5、已知函数 2 3log,1,4f xx x，则 2 2 g xf xf x 的值域为（ ） A. 18, 2 B. 11, 6 C. 18,6 D. 11, 2 【答案】B 【解析】 2 2 22 3log3logg xxx 2 222 32loglog6log9xxx 2 22 log4log6xx f x的定义域为1,4，且 2 2 g xf xf x 2 14 14 x x ，解得、1,2x 令 2 logtx，则0,1t 2 2 4622yttt 11, 6y ，即 g x的值域为11, 6 6、设函数 yf x定义域为R，对给定
4、正数M，定义函数 , , M f xf xM fx M f xM 则称函数 M fx为 f x的“孪生函数” ，若给定函数 2 2, 20, 1 21,0 x xx f xM x ，则 M yfx的值 域为（ ） A. 2,1 B. 1,2 C. ,2 D. , 1 【答案】A 【解析】根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以yM为分界线， f x图像在yM下 方的图像不变，在M上方的图像则变为yM，通过作图即可得到 M fx的值域为2,1 7、定义min, ,a b c为, ,a b c中的最小值，设 2 min 23,1,53f xxxx， 则 f x的最大值是_ 【答案】 2 【解析
5、】本题若利用min, ,a b c的定义将 f x转为分段函数，则需要对三个式子 两两比较， 比较繁琐， 故考虑进行数形结合， 将三个解析式的图像作在同一坐标系下， 则 f x为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得 f x的最大值点为 2 1yx与53yx在 第 一 象 限 的 交 点 ， 即 2 11 253 xyx yyx ， 所 以 max2f x 8、已知函数 2222 22,228fxxaxag xxaxa ，设 12 max,min,Hxf xg xHxf xg x， （其中max, p q表示, p q中的较大值， min,p q表 示, p q中 的 较 小 值 ）
6、记 1 Hx的 值 域 为A， 2 Hx的 值 域 为B， 则 AB _ 【答案】44, 412aa 【 解 析 】 由 12 ,HxHx的 定 义 可 想 到 其 图 像 特 点 ， 即 若 将 ,f xg x的图像作在同一坐标系中，那么 1 Hx为 ,f xg x图像 中位于上方的部分，而 2 Hx为 ,f xg x图像中位于下方的部分。 对 ,f xg x配方可得、 2 2 244 2412 f xxaa g xxaa ，其中44412aa，故 g x的 f(x) y=1 y x 1 -2 f(x) y=2x+3 y=5-3x y=x2+1 y x 顶点在 f x顶点的上方。由图像可得、
7、褐色部分为 1 Hx的图像，红色部分为 2 Hx的图像，其值域 与 ,f xg x的交点有关，即各自的顶点 2, 412 ,2, 44aaaa，所以 1 Hx的值域 44,Aa ， 2 Hx的值域, 412Ba 。从而44, 412ABaa 9、 （1）函数 ln3, 2,4 1 xx yx x 的值域为_ （2）函数 22 4210yxxx的值域为_ 【答案】 （1） 8ln2 2ln23,1 3 （2） 26, 【解析】所求函数y是, lnx xx与定点1, 3连线的斜率 设 lnf xxx 1lnfxx ，当2,4x时， 0fx 恒成立 f x为增函数 22ln2,44ln48ln2ff
8、 设曲线上两点2,2ln2 ,4,8ln2AB 定点1, 3C 8ln23 2ln23, 3 ACBC kk 8ln2 ,2ln23,1 3 BCAC ykk （2） 222 222 421002103yxxxxx y为动点,0P x到点0,2 ,1,3AB距离和，即yPAPB 作A点关于x轴的对称点 0, 2A 26PAPBPAPBAB （等号成立条件、 ,P A B共线） 当x 或x 时，PAPB 函数的值域为 26, 10、 （1）函数 131f xxx的值域为（ ） A. 3,1 B. 1, C. 2,2 2 D. 1,2 21 （2）函数 1 1 xx f x xx 的值域为（ ）
9、y x f(x)=xlnx C A B -2 2 y x P B A A A. ,1 B. ,1 C. 0,1 D. 0,1 （3）函数 325 221 x f x x 的值域为_ 【答案】 （1）D （2）B （3） 5 ,6 2 【解析】 （1）函数的定义域为3,1，含有双根式，所以很难依靠传统的换元解决问题，但 f x的导 数 31 2 13 xx fx xx 较易分析出单调性， 所以考虑利用导数求出 f x的单调区间， 从而求得最 值 1131 2 1232 13 xx fx xxxx 令 0fx 即解不等式、31xx 3 11xxx f x在3, 1 单调减，在1,1单调递增 12
10、21,31,11fff f x的值 域为1,2 21 （2）函数的定义域为1x ，从而发现11xx ，所以函数的解析式为 1f xxx，观察 可得 f x为增函数，且x 时， f x ，所以当,1x 时， f x的值域为,1 （3）先确定函数的定义域、 3203 1, 2202 x x x ， f x为分式且含有根式，求导则导函数较为 复杂。观察分子分母可知、3250x且关于x单减，2210x 且关于x单增，即 1 221x 单减，所以 325 221 x f x x 为减函数，由 3 1, 2 x 可知 f x的值域为 5 ,6 2 11、 （1）函数 2 2 247 23 xx y xx
11、的值域为（ ） A. 9 ,2 2 B. 7 ,0 3 C. 7 ,0 3 D. 9 ,2 2 （2）函数 sin1 cos2 x y x 的值域为_ 【答案】 （1）D （2） 4 ,0 3 【解析】 （1）由 2 2 247 23 xx y xx 可得: 22 23247x yxyyxx 2 224370yxyxy 2 2 23120xxx 函数的定义域为R y的取值只需让方程有解即可 当2y 时，130不成立，故舍去 当2y 时， 2 2442370yyy 即、2920yy 9 2 2 y 综上所述、函数的值域为 9 ,2 2 （2） sin1 cos2 x y x 的定义域为R 且 s
12、in1 cos2sin1 cos2 x yyxyx x sincos21xyxy 2 1sin21yxy，即 2 21 sin 1 y x y ，其中tany 因为该方程有解 2 2 2 21 1211 1 y yy y 2 4 340,0 3 yyy 12、已知函数 2 lg2yxxm的值域为R，则m的取值范围是（ ） A. 1m B. 1m C. 1m D. mR 【答案】C 【解析】本题可视为 2 lg ,2yt txxm的复合函数，函数的值域为R，结合对数函数的性质可知 t应取遍所有的正数（定义域可不为R） ，即若函数 2 2txxm的值域为A，则0,A ，由二 次函数的图像可知，当0
13、 时，可满足以上要求。所以440m解得1m 13、在计算机的算法语言中有一种函数 x叫做取整函数（也称高斯函数） ， x表示不超过x的最大整 数，如、 22, 3.13,2.63 ，设函数 21 122 x x f x ，则函数 yf xfx 的 值域为（ ） A. 0 B. 1,0 C. -1,0,1 D. 2,0 【答案】B 【解析】 按 x的定义可知， 若要求出 x， 则要将确定里面x的范围， 所以若求 yf xfx 的值域， 则要知道 ,f xfx的范围。 观察到 yf xfx 为偶函数， 所以只需找到 0x 的值域即可， 2112 1222 12 xx xx fx ， 2121 12
14、22 12 xx xx f x ， 即 f xfx 成立，所以 f x为奇函数，只需确定 f x的范围即可。对 f x中的分式进行分离常数可得、 11 221 x f x ，当0x 时，212, x ，从而 11 0, 212 x ，所以 1 0, 2 f x ，由 1 ,0 2 fxf x 。即 0,1fxfx ，可得1y ，再利用偶函数性质可得 0x 时，1y 。当0x 时， 0f xfx，所以0y ，综上所述、 yf xfx 的值域为1,0 14、求 1 3,1,2yx x 的值域 【答案】 4 , 2 7 【解析】1,2x 11 ,1 2x 17 3,4 2 y x 15、求 11 ,3 2 fxxx x 的值域。 【答案】 10 2, 3 【解析】函数为对勾函数1a ，作图观察可发现极值点1x 在定义域中，故最小值为 12f，而 最大值在 1 ,3 2 ff 中产生， 1510 ,3 223 ff 故值域为 10 2, 3 16、求 2 34 ,3,5 1 xx f xx x 的值域。 【答案】11, 524 【解析】设1tx，2,4t 2 2 1314588 5 tttt f tt ttt （极值点、82 2） min 2 24 25yf t 211,411f tf t 4 25,11y
