1、人教版 数学 九年级（下）第27章 相似27.2.2 相似三角形的性质1 1.理解并掌握理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似相似三角形中对应线段的比等于相似比比，并运用其解决问题，并运用其解决问题。2 2.理解相似三角形面积理解相似三角形面积的的比比等于相似比的平方，并等于相似比的平方，并运用其解决问题运用其解决问题。学习目标学习目标相似三角形的判定方法有哪几种？相似三角形的判定方法有哪几种？平行于三角形一边平行于三角形一边的直线的直线与与其他其他两边相交两边相交，所构所构成的三角形与原三角形相似成的三角形与原三角形相似.定义定义法：法：对应边成比例，对应角相等对应边成比例，对应角相等的
2、两个三角形相似的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似三边成比例的两个三角形相似.回顾旧知回顾旧知两角分别相等的两个三角形相似两角分别相等的两个三角形相似.一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.相似三角形的判定方法有哪几种？相似三角形的判定方法有哪几种？三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素？高中线角平分线周长面积如果如果两个两个三角形相似，那么三角形相似，那么对应的对应的这些要素这些要素有有什么关系呢？什么关系呢？导入新知导入新知在应用相似三角形对应线段的性质解题时
3、，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比，而是相似三角形中对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比.A34 B43 C916 D1692 相似三角形的性质ABC ABC，相似三角形面积的比等于相似比的平方.若 ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求DEF 的边 EF 上的高和面积.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.相似三角形的判定方法有哪几种？相似三角形面积的比等于相似比的平方，不要与其周长的比等于相似比混淆.已知ABCDEF，且相似比为4:3，若ABC 中 BC 边上的中线 AM=8，则DEF 中 EF 边
4、上的中线 DN 的长度为()在应用相似三角形对应线段的性质解题时，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比，而是相似三角形中对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比.ABD A B D.(1)若F62，求D的度数；如图，分别作 ABC 和 AB C 的对应高 AD 和 A D 相似三角形对应中线的比等于相似比.ABD A B D.新知一 相似三角形对应线段的比(1)求AEF与CDF的周长比；5(2020铜仁)已知FHBEAD，它们的周长分别为30和15，且FH6，则EA的长为()新知一 相似三角形对应线段的比如图，ABC ABC，相似比为 k，它们对应
5、高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ABCABC合作探究合作探究BB，ABD A B D.新知二 相似三角形面积的比平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.相似三角形对应线段的比等于相似比.相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？则ADB=A D B=90.三边成比例的两个三角形相似.1若ABCDEF，相似比为32，则对应高的比为()例3 如图，在ABC 和DEF 中，AB=2 DE，AC=2 DF，A=D.相似三角形对应中线的比等于相似比.相似三角形对应中线的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方.ABD A B D.一组直角边和斜边成比例的两个直
6、角三角形相似.8在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的()面积为A3倍 B6倍 C9倍 D12倍A32 B35 C94 D49如图，分别作 ABC 和 A B C 的中线 AD 和 A D ABC ABC，BB，如图，分别作 ABC 和 AB C 的对应高 AD 和 A D 则ADB=A D B=90.ABD A B D.ABCABCDD.ADABkADAB相似三角形对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比.如图，分别作 ABC 和 A B C 的中线 AD 和 A D ABD A B D.ABCABCDD
7、.ADABkADAB 则.BDBCkBDBCABC ABC，相似三角形对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等于相似比.BB，ABkABABC ABC，BB，如图，分别作 ABC 和 ABC 的角平分线 AD 和 AD 则DAB=DAB.ABD A B D.ABCABCDD.ADABkADAB相似三角形对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比.一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似.A32 B35 C94 D498在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的()已知ABCDEF，且相似比为4
8、:3，若ABC 中 BC 边上的中线 AM=8，则DEF 中 EF 边上的中线 DN 的长度为()相似三角形对应线段的比等于相似比.在应用相似三角形对应线段的性质解题时，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比，而是相似三角形中对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比.DEF 的边 EF 上的高为 6=3，则ABCD等于_.3如图，一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点A，B，C，D，O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O，ABD A B D.则DAB=DAB.A32 B35 C94 D49新知二 相似三角形面积的比新知一 相似三角形对应
9、线段的比如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连接 EC 交对角线 BD 于点 F，若 SDEC=3，则SBCF=.如图，ABC ABC，相似比为 k，它们的面积比是多少？5(2020铜仁)已知FHBEAD，它们的周长分别为30和15，且FH6，则EA的长为()平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.DEF ABC，相似比为 1:2.ABD A B D.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.在应用相似三角形对应线段的性质解题时，要注意并在应用相似三角形对应线段的性质解题时，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线不是
10、相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比，而是的比都等于相似比，而是相似三角形相似三角形中中对应高的比对应高的比、对应中线的比对应中线的比、对应角平分线的比对应角平分线的比等于相似比等于相似比.相似三角形的周长比也等于相似比吗？为相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？什么？如果 ABC ABC，相似比为 k，那么 ABBCCAkA BB CC A，因此 ABk AB，BCkBC，CAkCA，从而.ABBCCAkA BkB CkC AkA BB CC AA BB CC A相似三角形周长的性质：相似三角形周长的比等于相似比.1.已知ABCDEF，且相似比为4:3，若ABC 中
11、 BC 边上的中线 AM=8，则DEF 中 EF 边上的中线 DN 的长度为()D巩固新知巩固新知2.如图，在ABC 中，两条中线 BE，CD 相交于点 O，则EOD 的周长：BOC的周长为()A.1:2B.2:3C.1:3D.1:4A 新知二 相似三角形面积的比如图，ABC ABC，相似比为 k，它们的面积比是多少？ABCABC合作探究合作探究由前面的结论，我们有212.12 ABCA B CBC ADSBCADk kkSB CA DB CA DABCABCDD相似三角形面积的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方.相似三角形面积的比等于相似比的平方，不要与其周相似三角形面积的比等于相似比
12、的平方，不要与其周长的比等于相似比混淆长的比等于相似比混淆.例3 如图，在ABC 和DEF 中，AB=2 DE，AC=2 DF，A=D.若 ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求DEF 的边 EF 上的高和面积.12 5ABCDEFABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，12 5DEF 的边 EF 上的高为 6=3，12面积为 2112 53 5.2解：在 ABC 和 DEF 中，AB=2DE，AC=2DF，又 D=A，DEF ABC，相似比为 1:2.1.2DEDFABAC如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连接 EC 交对角线 BD 于点 F，若 SD
13、EC=3，则SBCF=.巩固新知巩固新知直接用面积公式；直接用面积公式；利用相似三角形的性质；利用相似三角形的性质；利用等底或等高；利用等底或等高；割补法割补法.解决面积问题的常用方法相似三角形的性质对应线段周长面积等于相似比对应高的比对应中线的比对应角平分线的比周长的比等于相似比面积的比等于相似比的平方归纳新知归纳新知知识点一：相似三角形对应线段的比等于相似比1若ABCDEF，相似比为32，则对应高的比为()A32 B35 C94 D492两个相似三角形的相似比为25，已知其中一个三角形的一条角平分线长为10，那么另一个三角形对应的角平分线长为 _3如图，一组平行横格线，其相邻横格线间的距离
14、都相等，已知点A，B，C，D，O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O，则ABCD等于_.A25或423课后练习课后练习解：(1)四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABDC，DAEAEB，BAEF，ABBE，BAEAEB，FDAE，F62，DAE62，D180DAFF56.ABC ABC，相似三角形面积的比等于相似比的平方.解决面积问题的常用方法相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？定义法：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似.A32 B35 C94 D49A34 B43 C916 D169如图，ABC ABC，相似比为 k，它们的面积比是多少？面积的比等于相似比的平方在应用相似三
15、角形对应线段的性质解题时，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比，而是相似三角形中对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比.如果两个三角形相似，那么对应的这些要素有什么关系呢？DEF 的边 EF 上的高为 6=3，若 ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求DEF 的边 EF 上的高和面积.如图，分别作 ABC 和 A B C 的中线 AD 和 A D 已知ABCDEF，且相似比为4:3，若ABC 中 BC 边上的中线 AM=8，则DEF 中 EF 边上的中线 DN 的长度为()一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似.如图，在平行四边形 A
16、BCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连接 EC 交对角线 BD 于点 F，若 SDEC=3，则SBCF=.EFC的面积为1，EAB的面积是9，AFD的面积是16，S ABCDSEABSAFDSECF916124.(2)如果SAEF6 cm2，求SCDF的值EFC的面积为1，EAB的面积是9，AFD的面积是16，S ABCDSEABSAFDSECF916124.(2)四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABDC，AFDEFC，EABEFC，EFCEABAFD，BE3EC，BC4EC，AD4EC，SEFCSEABSAFD1916.ABC ABC，解决面积问题的常用方法解：在 ABC 和 DE
17、F 中，AB=2DE，AC=2DF，ABD A B D.新知一 相似三角形对应线段的比在应用相似三角形对应线段的性质解题时，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比，而是相似三角形中对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比.A32 B35 C94 D49相似三角形的判定方法有哪几种？解：(1)四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABDC，DAEAEB，BAEF，ABBE，BAEAEB，FDAE，F62，DAE62，D180DAFF56.ABD A B D.若 ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求DEF 的边 EF 上的高和面积.相似三角形对
18、应线段的比等于相似比.DEF 的边 EF 上的高为 6=3，则DAB=DAB.A3 B2 C4 D5A3 B2 C4 D52 相似三角形的性质新知二 相似三角形面积的比知识点二：相似三角形周长的比等于相似比4如果两个相似三角形对应高的比是916，那么它们周长的比是()A34 B43 C916 D1695(2020铜仁)已知FHBEAD，它们的周长分别为30和15，且FH6，则EA的长为()A3 B2 C4 D56如图，在ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若ADE的周长是6，则ABC的周长是()A6 B12 C18 D24CAB知识点三：相似三角形面积的比等于相似比的平方7已知ABCD
19、EF，若ABC与DEF的相似比为23，ABC的面积为40，则DEF的面积为()A60 B70 C80 D908在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的()A3倍 B6倍 C9倍 D12倍DC9如图，在ABCD中，AEEB12.(1)求AEF与CDF的周长比；(2)如果SAEF6 cm2，求SCDF的值解：(1)13.(2)SCDF54 cm2.A B A 14如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且ABBE，AE，DC的延长线相交于点F.(1)若F62，求D的度数；(2)若BE3EC，且EFC的面积为1，求平
20、行四边形ABCD的面积解：(1)四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABDC，DAEAEB，BAEF，ABBE，BAEAEB，FDAE，F62，DAE62，D180DAFF56.(2)四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABDC，AFDEFC，EABEFC，EFCEABAFD，BE3EC，BC4EC，AD4EC，SEFCSEABSAFD1916.EFC的面积为1，EAB的面积是9，AFD的面积是16，S ABCDSEABSAFDSECF916124.如图，在ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DF过EC的中点G，并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O，若ADE的面积是S，则四边形BOGC的面积是_
