1、11.3.211.3.2多边形及其内角和多边形及其内角和1 1、填空：如图，此多边形应记作、填空：如图，此多边形应记作 边形边形 ，ABAB边的邻边边的邻边是是 、，顶点，顶点E E处的内角为处的内角为 ，过顶点，过顶点A A画出这个多边形的对角画出这个多边形的对角线，共有线，共有 条，它们把多边形分成条，它们把多边形分成 个三角形。个三角形。2 2、n n边形有边形有 个顶点，个顶点，条边，有条边，有 个角，有个角，有 个不同顶个不同顶点的外角点的外角3 3、四边形有、四边形有 条对角线。五边形有条对角线。五边形有 条对角线。条对角线。4 4、四边形的一条对角线将它分成、四边形的一条对角线将
2、它分成 个三角形个三角形5 5、从六边形的一个顶点出发可以画、从六边形的一个顶点出发可以画 条对角线，它们将六边形分成条对角线，它们将六边形分成 个三角形个三角形6 6、正多边形的、正多边形的 相等相等,相等相等7 7、多边形分为、多边形分为 和和 两类两类EABCD五五ABCDEAEBCAED23nnnn252边凸多边形凹多边形角布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷的分布走向恰好与历布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。想一想想一想浙江金华兰溪诸葛八卦村浙江金华兰溪诸葛八卦村你能算出八卦图
3、的内角和吗？你能算出八卦图的内角和吗？你能算它的内角和吗？你能算它的内角和吗？它们的内角和该怎么计算呢？它们的内角和该怎么计算呢？其他多边形的内角和呢？其他多边形的内角和呢？想一想想一想你知道长方形和正方形的内角和是多少？其它四边形的内角和是多少？你还记得三角形内角和是多少度？（三角形内角和 180）（都是360）ABCD四边形内角和四边形内角和那么如何求此五边形的内角和呢那么如何求此五边形的内角和呢?3 180=5400 说说你的说说你的 探索思路？探索思路？ABCDE 三角形三角形 四边形四边形 五边形五边形 1800 2 180=3600 3 180=5400 探索过程一掠探索过程一掠:
4、ACBABCD六边形六边形 七边形七边形4 180=7200 5 180=9000 那么六边形、七边形的内角和呢？内角和内角和三角形个数三角形个数从一个顶点引出对角线从一个顶点引出对角线数数边数边数56233180=540 .344180=720 (n-2)180 n n-3 n-2 75180=900 45综上所述，设多边形的边数为n，则则 n边形的内角和等于边形的内角和等于 （n一一2）180PABCD图 1如图如图1，在四边形内任取一点，在四边形内任取一点P,连接连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于点的四个三角形，四边
5、形内角和等于1804 360=360PABDC图 2如图如图2，在四边形的一边上任取一点，在四边形的一边上任取一点P,连接连接PB、PC，将四边形变成有一个公共顶点的三个三角形，四边将四边形变成有一个公共顶点的三个三角形，四边形内角和等于形内角和等于180 3 180=360PABCD图 3如图如图3，在四边形外任取一点，在四边形外任取一点P,连接连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于边形内角和等于180 3 180=360百家争鸣百家争鸣其他方法其他方法其他方案其他方案我们也可以利用以上不同的方法分割多边形
6、，得我们也可以利用以上不同的方法分割多边形，得到到n边形的内角和公式边形的内角和公式2A3A1A4A5AnA1A4A3A2A5AnAp2A1A3A4A5AnAp2A1A3A4A5AnAp照猫画虎照猫画虎 n边形内角和等于最终结论最终结论（n2）1802、已知一个多边形每个内角都等、已知一个多边形每个内角都等108，求这个多边形，求这个多边形的边数？的边数？解：设这个多边形的边数为 n，根据题意得：(n2)180=108n解得：n=5 答：这个多边形是五边形五边形。1、八边形的内角和等于多少度？、八边形的内角和等于多少度？十边形呢？十边形呢？（82)180=1080(102)180=1440抢抢
7、 答答那么正五边形、正六边形、正八边形、正那么正五边形、正六边形、正八边形、正n边形的每边形的每个内角分别是多少度呢？个内角分别是多少度呢？正正n边形边形（5-2）180 5 =108（6-2）180 6 =120（8-2）180 8 =135（n-2）180 nNow I can ABCD0180CA00360180)24(DCBA因为：这就是说，如果这就是说，如果00180)(360:CADB所以典型例题典型例题（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？（3）在上图中，你能求出 1+2+3+4+5=吗？你是怎样得到的？（1）小明每从一条街道转）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转到
8、下一条街道时，身体转过的角是过的角是 哪哪 个个 角？角？清晨，小明沿一个五边形广清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑场周围的小路，按逆时针方向跑步。步。DACEBOABCDE12345结论：1，2，3，4，5的和等的和等于于360?1多边形多边形 内角的内角的一边与另一边的反向延长线一边与另一边的反向延长线所所组成的角叫做这个多边形的外角。组成的角叫做这个多边形的外角。在每个顶点处取在每个顶点处取这个多边形的一个外角这个多边形的一个外角，它们它们的和的和叫做这个多边形的外角和。叫做这个多边形的外角和。多边形的外角和等于多边形的外角和等于360?1如果广场的形状是六边形、八边形
9、，那如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？么还有类似的结论吗？多边形的外角和多边形的外角和A3A8AnA1A2A7A5A6A4各抒己见各抒己见多边形的外角和等于多边形的外角和等于360?1多边形多边形 外角与内角有何关系？还有外角与内角有何关系？还有其他方法可以推导出多边形外角和？其他方法可以推导出多边形外角和？多边形的任何一个内角加上与它相邻的内角都等于多边形的任何一个内角加上与它相邻的内角都等于180（平角），（平角），n个外角连同它们的各自相邻的内角，共个外角连同它们的各自相邻的内角，共有有n个个180，总和为，总和为n 180，再用它减去，再用它减去n个内角的和，个内角
10、的和，剩下的就是多边形的外角和了！剩下的就是多边形的外角和了！00180)2(180nn01802 0360 例例1.已知一个多边形，它的内角和已知一个多边形，它的内角和 等于外角和的等于外角和的2倍，求这倍，求这个多边形的边数。个多边形的边数。解：解：设多边形的边数为设多边形的边数为n 它的内角和等于它的内角和等于(n-2)180，多边形外角和等于多边形外角和等于360，(n-2)180=2 360。解得解得:n=6 这个多边形的边数为这个多边形的边数为6。例例2.一个多边形当边数增加一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加时，它的内角和增加 多少度？多少度？解：解：设多边形的边数为设多边形
11、的边数为n，它的内角和等于它的内角和等于 (n-2)180，当边数增加当边数增加1时，内角和为时，内角和为(n+1-2)180，(n+1-2)180-(n-2)180 =n180-180-n180+360 =180内角和增加内角和增加180外角和呢？外角和呢？边数增加边数增加2或或3呢？呢？例3.五边形中,前四个角的比是1:2:3:4,第五个角比最小角多100,则这个五边形的内角分别为_ 解;设五边形中前四个角的度数分别是x,2x,3x,4x,则第五个角度数是x+100.X+2x+3x+4x+x+100=（52）180 11X+100=540 11X=440 X=40 则这个五边形的内角分别为
12、40,80,120,160,140.1.正五边形 的每一个外角等于_.每一个内角等于_,721442.如果一个正多边形的一个内角等于如果一个正多边形的一个内角等于120,则这个多边则这个多边 形的边形的边 数是数是_63.如果一个多边形的每一个外角等于如果一个多边形的每一个外角等于30,则这个多边形的边数是则这个多边形的边数是_12随堂练习随堂练习今天的收获今天的收获 3、n边形的内角和等于：边形的内角和等于：（n2）180 2、n边形从一个顶点所画对角线的条数为：边形从一个顶点所画对角线的条数为：n3 4、利用类比归纳、转化的学习方法，可以把多边形问、利用类比归纳、转化的学习方法，可以把多边
13、形问题转化为三角形问题来解决题转化为三角形问题来解决;5、方程的数学思想在几何中有重要的作用。、方程的数学思想在几何中有重要的作用。1、由由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为平面图形称为n边形，又称为多边形。边形，又称为多边形。课后思考1、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他。将一个多边形截去一个角后(没有过顶点）得到多边形的内角和将会（）A、不变 B、增加 180 C、减少 180 D、无法确定如果把多边形的边数增加如果把多边形的边数增加1条，它的条，它的内角和是内角和是2160，那么这个多边形，那么这个多边形的边数是的边数是 。
14、一个多边形除了一个内角外，其余各角的一个多边形除了一个内角外，其余各角的和为和为600，那么除去的这个角的度数是，那么除去的这个角的度数是 ，这个多边形是这个多边形是 边形。边形。13120六1.已知四边形已知四边形ABCD中中,A与与C互补互补.如果如果B=80,则则D的度数是的度数是 .2.某四边形四个内角的度数之比为某四边形四个内角的度数之比为1:2:3:3,这四个内角的度这四个内角的度数分别是数分别是 .3.在四边形在四边形ABCD中中,已知已知A=85 C=115 B比比D大大20,则则B的度数是的度数是 ，D的度数是的度数是 .交一份满意的答卷！10040,80,120,120 9
15、070 练一练练一练:已知在四边形已知在四边形ABCD中中,A=90 C=90,BE平分平分ABC,交交CD于点于点E,DF平分平分ADC,交交AB于点于点F.求求证证:BEDF.ABCDEF4.若一个若一个n边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为角的度数比为3 1，那么，这个多边形的边数为，那么，这个多边形的边数为_.5.若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为为_，每个内角的度数为，每个内角的度数为_.6.若一个凸多边形的内角和等于它的外角和，则它若一个凸多边形的内角
16、和等于它的外角和，则它 的边数的边数是是_.7.如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为2880，那么它的内角为，那么它的内角为_.练习练习1、若多边形的外角和与内角和之比为若多边形的外角和与内角和之比为2 9，求这个多边形，求这个多边形的边数及内角和。的边数及内角和。2、一个多边形中的各内角相等，且每个内角与外角之差的绝、一个多边形中的各内角相等，且每个内角与外角之差的绝对值为对值为60，求此多边形的边数。，求此多边形的边数。3、已知多边形的一个内角的外角与其它各内角的度数总已知多边形的一个内角的外角与其它各内角的度数总和为和为60
17、0，求边数，求边数4、如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的、如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还倍还多多30，求这个多边形的内角和及对角线的总条数，求这个多边形的内角和及对角线的总条数 练习：已知一个多边形的每一个外角都 等于36，这个 多边形是 几边形？它的每一个内角是多少度？3.六角螺母的一个面是六边形的，这个六边形的六个内角相等。求每一个内角的度数。计算计算1.已知一个多边形内角和是外角和的已知一个多边形内角和是外角和的2倍，倍，求边数求边数2.已知多边形每个内角都等于已知多边形每个内角都等于150，求内，求内角和角和3.一个多边形除了一个内角为一个多边形除了一个内角为130外
18、，其外，其余各内角的和为余各内角的和为2030，求多边形的边数，求多边形的边数4.已知五边形五个内角的比为已知五边形五个内角的比为1 1.5 2 2.5 3，求这个五边形的五个外，求这个五边形的五个外角角8.已知多边形的内角和与某一个外角的度数总和为已知多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350，求多边形的边数，求多边形的边数.学习了本节课你有哪些 收获？求下列图形中求下列图形中x的值：的值：01400 x0 x(1)0 x0150012002x(2)0 x0120080075(3)C0 x0135ABDE0150060(4)ABCD随堂练习随堂练习仅做学习交流，谢谢！仅做学习交流，谢谢！
19、语文：初一新生使用的是教育部编写的教材，也称“部编”教材。“部编本”是指由教育部直接组织编写的教材。“部编本”除了语文，还有德育和历史。现有的语文教材，小学有12种版本，初中有8种版本。这些版本现在也都做了修订，和“部编本”一同投入使用。“部编本”取代原来人教版，覆盖面比较广，小学约占50%，初中约占60%。今秋，小学一年级新生使用的是语文出版社的修订版教材，还是先学拼音，后学识字。政治：小学一年级学生使用的教材有两个版本，小学一年级和初一的政治教材不再叫思想品德，改名为道德与法治。历史：初一新生使用华师大版教材。历史教材最大的变化是不再按科技、思想、文化等专题进行内容设置，而是以时间为主线，
20、按照历史发展的时间顺序进行设置。关于部编版，你知道多少？为什么要改版？跟小编一起来了解下吧！一新教材的五个变化一、入学以后先学一部分常用字，再开始学拼音。汉字是生活中经常碰到的，但拼音作为一个符号，在孩子们的生活中接触、使用都很少，教学顺序换一换，其实是更关注孩子们的需求了。先学一部分常用常见字，就是把孩子的生活、经历融入到学习中。二、第一册识字量减少，由400字减少到300字。第一单元先学40个常用字，比如“地”字，对孩子来说并不陌生，在童话书、绘本里可以看到，电视新闻里也有。而在以前，课文选用的一些结构简单的独体字，比如“叉”字，结构比较简单，但日常生活中用得不算多。新教材中，增大了常用常
21、见字的比重，减少了一些和孩子生活联系不太紧密的汉字。三、新增“快乐阅读吧”栏目，引导学生开展课外阅读。教材第一单元的入学教育中，有一幅图是孩子们一起讨论西游记等故事，看得出来，语文学习越来越重视孩子的阅读表达，通过读故事、演故事、看故事等，提升阅读能力。入学教育中第一次提出阅读教育，把阅读习惯提升到和识字、写字同等重要的地位。四、新增“和大人一起读”栏目，激发学生的阅读兴趣，拓展课外阅读。有家长担心会不会增加家长负担，其实这个“大人”包含很多意思，可以是老师、爸妈、爷爷、奶奶、外公、外婆等，也可以是邻居家的小姐姐等。每个人讲述一个故事，表达是不一样的，有人比较精炼，有人比较口语化，儿童听到的故
22、事不同，就会形成不同的语文素养。五、语文园地里，新增一个“书写提示”的栏目。写字是有规律的，一部分字有自己的写法，笔顺都有自己的规则，新教材要求写字的时候，就要了解一些字的写法。现在信息技术发展很快，孩子并不是只会打字就可以，写字也不能弱化。二为什么要先识字后学拼音？一位语文教研员说，孩子学语文是母语教育，他们在生活中已经认了很多字了，一年级的识字课可以和他们之前的生活有机结合起来。原先先拼音后识字，很多孩子觉得枯燥，学的时候感受不到拼音的用处。如果先接触汉字，小朋友在学拼音的过程中会觉得拼音是有用的，学好拼音是为了认识更多的汉字。还有一位小学语文老师说：“我刚刚教完一年级语文，先学拼音再识字
23、，刚进校门的孩子上来就学，压力会比较大，很多孩子有挫败感，家长甚至很焦急。现在让一年级的孩子们先认简单的字，可以让刚入学的孩子们感受到学习的快乐，消除他们害怕甚至恐惧心理。我看了一下网上的新教材，字都比较简单，很多小朋友都认识。”语文：初一新生使用的是教育部编写的教材，也称“部编”教材。“部编本”是指由教育部直接组织编写的教材。“部编本”除了语文，还有德育和历史。现有的语文教材，小学有12种版本，初中有8种版本。这些版本现在也都做了修订，和“部编本”一同投入使用。“部编本”取代原来人教版，覆盖面比较广，小学约占50%，初中约占60%。今秋，小学一年级新生使用的是语文出版社的修订版教材，还是先学
24、拼音，后学识字。政治：小学一年级学生使用的教材有两个版本，小学一年级和初一的政治教材不再叫思想品德，改名为道德与法治。历史：初一新生使用华师大版教材。历史教材最大的变化是不再按科技、思想、文化等专题进行内容设置，而是以时间为主线，按照历史发展的时间顺序进行设置。关于部编版，你知道多少？为什么要改版？跟小编一起来了解下吧！一新教材的五个变化一、入学以后先学一部分常用字，再开始学拼音。汉字是生活中经常碰到的，但拼音作为一个符号，在孩子们的生活中接触、使用都很少，教学顺序换一换，其实是更关注孩子们的需求了。先学一部分常用常见字，就是把孩子的生活、经历融入到学习中。二、第一册识字量减少，由400字减少
25、到300字。第一单元先学40个常用字，比如“地”字，对孩子来说并不陌生，在童话书、绘本里可以看到，电视新闻里也有。而在以前，课文选用的一些结构简单的独体字，比如“叉”字，结构比较简单，但日常生活中用得不算多。新教材中，增大了常用常见字的比重，减少了一些和孩子生活联系不太紧密的汉字。三、新增“快乐阅读吧”栏目，引导学生开展课外阅读。教材第一单元的入学教育中，有一幅图是孩子们一起讨论西游记等故事，看得出来，语文学习越来越重视孩子的阅读表达，通过读故事、演故事、看故事等，提升阅读能力。入学教育中第一次提出阅读教育，把阅读习惯提升到和识字、写字同等重要的地位。四、新增“和大人一起读”栏目，激发学生的阅
26、读兴趣，拓展课外阅读。有家长担心会不会增加家长负担，其实这个“大人”包含很多意思，可以是老师、爸妈、爷爷、奶奶、外公、外婆等，也可以是邻居家的小姐姐等。每个人讲述一个故事，表达是不一样的，有人比较精炼，有人比较口语化，儿童听到的故事不同，就会形成不同的语文素养。五、语文园地里，新增一个“书写提示”的栏目。写字是有规律的，一部分字有自己的写法，笔顺都有自己的规则，新教材要求写字的时候，就要了解一些字的写法。现在信息技术发展很快，孩子并不是只会打字就可以，写字也不能弱化。二为什么要先识字后学拼音？一位语文教研员说，孩子学语文是母语教育，他们在生活中已经认了很多字了，一年级的识字课可以和他们之前的生
27、活有机结合起来。原先先拼音后识字，很多孩子觉得枯燥，学的时候感受不到拼音的用处。如果先接触汉字，小朋友在学拼音的过程中会觉得拼音是有用的，学好拼音是为了认识更多的汉字。还有一位小学语文老师说：“我刚刚教完一年级语文，先学拼音再识字，刚进校门的孩子上来就学，压力会比较大，很多孩子有挫败感，家长甚至很焦急。现在让一年级的孩子们先认简单的字，可以让刚入学的孩子们感受到学习的快乐，消除他们害怕甚至恐惧心理。我看了一下网上的新教材，字都比较简单，很多小朋友都认识。”思考一：一个三角形中，它的内角最多可以有几个锐角？思考一：一个三角形中，它的内角最多可以有几个锐角？为什么？为什么？思考二：一个四边形中，它的内角最多可以有几个锐角？思考二：一个四边形中，它的内角最多可以有几个锐角？为什么？为什么？思考三：一个多边形中，它的内角最多可以有几个锐角？思考三：一个多边形中，它的内角最多可以有几个锐角？为什么？为什么？一个多边形中，它的外角最多可以有几个钝角？一个多边形中，它的外角最多可以有几个钝角？3
