1、1一质点的动量矩一质点的动量矩FrFMO)(zOzFMFM)()()()()(kFjFiFkzj yi xFMzyxOxyzOyFxFFM)(yoxzBFr力对轴力对轴 z 的之矩：的之矩：代数量A)(FMO力对点力对点O之矩在之矩在z轴上的投影：轴上的投影：kFMjFMiFMFMzOyOxOO)()()()(xyzyFxFFM)(复习：力对点复习：力对点O之矩之矩2zOzvmMvmM)()(质点对轴质点对轴 z 的动量矩：的动量矩：代数量代数量yoxzAvmr质点对点质点对点O动量矩：动量矩：vmrvmMO)()(vmMOxyzOymvxmvvmM)(质点的动量对点质点的动量对点O之矩在之矩
2、在z轴上的投影：轴上的投影：xyzymvxmvvmM)(单位：单位：kg2/s。动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴轴)转动的强弱。转动的强弱。Q质点的动量对点质点的动量对点O之矩之矩质点对点质点对点O动量矩在动量矩在z轴上的投影，轴上的投影，等于对等于对z轴的动量矩：轴的动量矩：3二质点系的动量矩二质点系的动量矩)(iiOOvmML)(iizzvmML质点系对轴质点系对轴 z 动量矩动量矩：各质点对同一各质点对同一z轴动量矩的代数和。轴动量矩的代数和。刚体动量矩计算：刚体动量矩计算：1平动刚体对点平动刚体对点O的动量矩：的动量矩：CCCOOvMrvMML)(C
3、iiiiivrmvmr)(CzzvmML平动刚体对轴平动刚体对轴 z 动量矩动量矩：iiivmrCCvMr质点系对点质点系对点O动量矩动量矩：各质点对点各质点对点O动量矩的矢量和。动量矩的矢量和。)(iizzvmMLzOL 42刚体绕刚体绕z轴转动的动量矩：轴转动的动量矩：3平面运动刚体平面运动刚体)(iizzvmMLCCzzJvmML)(1平动刚体对点平动刚体对点O的动量矩：的动量矩：CCCOOvmrvmML)()(CzzvmML平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。对该点（轴）的动量矩。定轴转动刚体对转轴的动量
4、矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。平动刚体对轴平动刚体对轴 z 动量矩动量矩：2iirmzJ平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。动时的动量矩之和。511222321RRvv12232222221)(RmmRJRJLOOCOBOAOLLLL 2332222211)(RvmRvmJJ解解：运动分析运动分析滑轮滑轮A：m1，R1
5、，R1=2R2，J1，滑轮滑轮B：m2，R2，J2；物体物体C：m3 求求:系统对系统对O轴的动量矩。轴的动量矩。A轮：定轴转动轮：定轴转动C物：平动物：平动B轮：平面运动轮：平面运动逆时针逆时针6Fdtvmd)(一质点的动量矩定理一质点的动量矩定理两边叉乘矢径两边叉乘矢径 ,有有Frdtvmdr)(r左边可写成左边可写成vmdtrdvmrdtddtvmdr)()(,)(,0FMFrvmvvmdtrdO而 Frvmrdtd,)(质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩点上的力对同一点之矩。这就是。这就是质点对固定点
6、的动量矩定理。质点对固定点的动量矩定理。故：).()(FMvmMdtdOO7将上式在通过固定点将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得的三个直角坐标轴上投影，得)()(),()(),()(FmvmMdtdFMvmMdtdFMvmMdtdzzyyxx 上式称质点对固定轴的动量矩定理质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。等于作用在质点上的力对同一轴之矩。称为质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒。若0)(FMO则)(vmMO常矢量常矢
7、量).()(FMvmMdtdOO)(常量vmMz).0)(FMz若则8已知已知单摆单摆 m，l，t=0 时时 =0，从静止开始释放。，从静止开始释放。OA9OA10微幅摆动时，微幅摆动时，,sin02n 解微分方程解微分方程,并代入初始条件并代入初始条件 则运动方程则运动方程)0,0(00ttlgcos0，摆动周期摆动周期glT2并令并令lgn2OA11注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致 （本题规定逆时针转向为正）（本题规定逆时针转向为正）质点动量矩定理的应用：质点动量矩定理的应用：在质点受有心力的作用时。质点绕某心（轴）转动的问题。12质点系对任一固
8、定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。二质点系的动量矩定理二质点系的动量矩定理左边交换求和与导数运算的顺序左边交换求和与导数运算的顺序:),(iiOOvmML)()()(eOeiOOMFMdtLd一质点系对固定点的动量矩定理质点系对固定点的动量矩定理nieiOniiiOniiiOFMFMvmMdtd1)(1)(1)()()(对质点系，有对质点系，有),3,2,1().()()()()(niFMFMvmMdtdeiOiiOiiO 对质点对质点
9、Mi：)(,)(,)()()()()(eizzeiyyexeixxFMdtdLFMdtdLMFMdtdL将上式在通过固定点将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得的三个直角坐标轴上投影，得,0)()(iiOFM而而:则则:13 上式称为上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。质点系对固定轴的动量矩定理。即即 质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。的主矩）。质点系的动量矩守恒质点系的动量矩守恒当时，常矢量。当时，
10、常量。0)(eOM0)(ezMOLzL 动量矩定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力动量矩定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。才能改变质点系的动量矩。)(,)(,)()()()()(eizzeiyyexeixxFMdtdLFMdtdLMFMdtdL1415OBAOJrvgPrvgPL1617 1 2 2 1(a)(b)18 1 2 2 1(a)(b)192021222324对于一个定轴转动刚体一个定轴转动刚体zzJL.)()(ezzMJdtd)(22)(ezzezzMdtdJ MJ或刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程解决两类问题解决两类问题：已知作用
11、在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。代入质点系动量矩定理，有252）若若 常量，则常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。常量，刚体作匀变速转动。将将 与与 比较，刚体的转动惯量比较，刚体的转动惯量 是刚体是刚体 转动惯性的度量转动惯性的度量。1）若若 ,则则 恒量，刚体作匀速转恒量，刚体作匀速转 动或保持静止。动或保持静止。特殊情况特殊情况：.0)()()(ezezF
12、MM,0)(ezM)(ezzMJFamzJ26一转动惯量的定义一转动惯量的定义：2iizrmJ 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。若刚体的质量是连续分布，则若刚体的质量是连续分布，则dmrJmz2 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kgm2 。二转动惯量的计算二转动惯量的计算积分法积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）27 匀质细直杆长为匀质细直杆长为l,质量为质量为m。求：求：1
13、）对对z轴的转动惯量轴的转动惯量 ；2）对）对z 轴的转动惯量轴的转动惯量 。zJ zJ222llzdxlmxJ解解：122mllzdxlmxJ0232ml28 匀质细圆盘半径为匀质细圆盘半径为R,质量为质量为m。求：求：1）对对O点的转动惯量点的转动惯量 ；2）对）对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量 。OJxJdRmdJO222解解：dOxyROdRmJ022222mRAyAxdARmxJdARmyJ,2222OAyxJdARmxyJJ222)(2/OyxJJJ42mRJJyx292.回转半径回转半径由所定义的长度由所定义的长度 称为刚体对称为刚体对 z 轴的回转半径。轴的回转半径。mJzzz
14、2zzmJ 对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。转半径是相同的。z 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的，以供参考。刚体的，以供参考。zzJ和刚体的回转半径相当与将所有质量集中在离轴距离为刚体的回转半径相当与将所有质量集中在离轴距离为 位置上位置上z
15、303.平行移轴定理平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。2mdJJzCz 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。与两轴间距离的平方之乘积。由公式可知：刚体对过质心的轴的转动惯量最小。由公式可知：刚体对过质心的轴的转动惯量最小。31)(222iiiiizCyxmrmJ)(222iiiiizyxmrmJ)(,22dyxmJdyyxxiiiziiiiiiiiiiymddmyxm2 )()(2
16、22证明：证明：设质量为设质量为m的刚体，质心为的刚体，质心为C，CzzO/2 0 ,mdJJmyymmmzCzCiii例如例如，对于例对于例1中均质细杆中均质细杆z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为2)2(lmJJzz刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。2223141121mlmlml32当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分分(物体物体)的转动惯量的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若若物体有空心部分物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负
17、值来处理要把此部分的转动惯量视为负值来处理。4计算转动惯量的组合法计算转动惯量的组合法33盘杆OOOJJJ222221)(2131RlmRmlm)423(213122221lRlRmlm 钟摆：钟摆：均质直杆均质直杆m1,l；均质圆盘：均质圆盘：m2,R。求求 JO。解解：34 提升装置中，轮提升装置中，轮A、B的重量分别为的重量分别为P1、P2,可视为均质圆可视为均质圆盘盘;物体物体C 的重量为的重量为P3;轮轮A上作用常力矩上作用常力矩M1。求：求：物体物体C上升上升的加速度。的加速度。352)轮轮B与物体与物体C：(2)21(232232222rPrFvrgPrgPdtdT补充运动学条件
18、补充运动学条件112222,rar vr化简化简(1)得：得：化简化简(2)得：得：33222PFagPPTTFrMagP1112gPPPPrMa22/321311(1)2111211rFMgrPT解解:1)轮轮A:363738一质点系动量矩一质点系动量矩)(.rCCrCCCOLLLvmrL 质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系简单的关系。.)()()(eCeiCrCMFMdtLd二质点系相对质心的动量矩定理二质点
19、系相对质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力有关，而与内力无关。的外力有关，而与内力无关。39 设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系可以简化为该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形可以简化为该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形S，质心一定位于质心一定位于S内。内。nFFF,21 取质心取质心C为动系原点，则此平面运动可分解为为动系原点，则此平面运动可分解为1）随质心随质心C的平动的平动 (xC ,yC)2）绕质心绕质心C的转动的转动 （）可通过质心运动
20、定理和相对质心的动量可通过质心运动定理和相对质心的动量矩定理来确定。矩定理来确定。CCrCCrCJJdtdLJL ,.)(,)(eCCCFMJFam40写成写成投影形式投影形式或或上式称为上式称为平面运动微分方程平面运动微分方程。).(,)(eiCCyCxCFMJFymFxm .)(,)(eiCCyCyxCxFmJFmaFma.)(,)(eCCnnCttCFMJFmaFma.)(,)(eCCCFMJFam4142 圆柱在图示力作用下由静止开始作平面运动。令它的铅直对称圆柱在图示力作用下由静止开始作平面运动。令它的铅直对称面重合于坐标平面面重合于坐标平面 Oxy，轴轴 x 沿斜面向下，则有沿斜面
21、向下，则有圆柱平面运动的三个微分方程可写成圆柱平面运动的三个微分方程可写成aC=r (d)maC=mgsin F (a)0=FNmgcos (b)JC =Fr (c)43当圆柱只滚不滑时，滑动摩擦力必须满足当圆柱只滚不滑时，滑动摩擦力必须满足 F fsFN，代入代入求出的求出的 F，和和 FN，则得则得从而求得圆柱滚动而不滑动的条件从而求得圆柱滚动而不滑动的条件联立求解以上四个方程，并考虑到联立求解以上四个方程，并考虑到 JC=mr2/2，就得到就得到aC=2gsin /3,FN=mgcos ,F=mgsin /344A454647OABACDE48O(b)E49OAB(C)ACDE50OAB
22、(b)ACDE(c)51xyOABCyx52xyOFAFBmgCvABCyx53xyOFAFBmgCvABCyx54xyOFAFBmgCvABCyx55)f(sin cos2 llxC56一基本概念一基本概念1动量矩动量矩：某瞬时物体绕点某瞬时物体绕点转动转动时机械运动强弱的一种度量时机械运动强弱的一种度量。2质点的动量矩质点的动量矩：3质点系的动量矩质点系的动量矩：4转动惯量转动惯量：物体转动时惯性的度量。物体转动时惯性的度量。.)(vmrvmMO.iiiOvmrL 对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直 于质量对称平面的转轴的转动惯
23、量要熟记。于质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。第十二章动量矩定理习题课第十二章动量矩定理习题课572)2)若，则 常量。5刚体动量矩计算刚体动量矩计算平动：平动：定轴转动：定轴转动：).(,CzzCCOvmMLvmrLzzJL.)(CCzzJvmML二质点的动量矩定理及守恒二质点的动量矩定理及守恒1质点的动量矩定理质点的动量矩定理).()(),()(FMvmMdtdFMvmMdtdzzOO或2质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒1)若若，则，则 常矢量。常矢量。0)(FMO0)(FMz)(vmMO)(vmmz平面运动：平面运动：58三质点系的动量矩定理及守恒三质点系的动量矩定理及守恒1质点系的动
24、量矩定理质点系的动量矩定理)()()()()(,)(ezezzeOeOOMFMdtdLMFMdtLd或2质点系的动量矩守恒质点系的动量矩守恒)()(,ezCzCeCCMdtdLMdtLd或四质点系相对质心的动量矩定理四质点系相对质心的动量矩定理2)2)若，则 常量。1)若若，则，则 常矢量。常矢量。0)(eOM0)(ezMOLzL59.)(J ),(zFMFmJzzz 或五刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程五刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程1刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程2刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程或xCxFmayCyFma).()(eCCFMJxCF
25、xm yCFym.)()(eCCFMJ 60六动量矩定理的应用六动量矩定理的应用应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动传动系统尤为方便）系统尤为方便）1已知质点系的已知质点系的转动转动运动，求系统所受的外力或外力矩。运动，求系统所受的外力或外力矩。2已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体 的角加速度或角速度的改变。的角加速度或角速度的改变。3已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数 和等于零，应用动量矩守恒定
26、理求角速度或角位移。和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。61七应用举例七应用举例例例1 均质圆柱，半径为均质圆柱，半径为r，重量为重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速置圆柱于墙角。初始角速度度 0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f，滚滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。解解：研究对象研究对象:圆柱圆柱;刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程)0,0(CyCxaaBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212123补充方程：补充方程：BBAANfFNfF ,4 受力分析如图示;运
27、动分析：质心C 不动，刚体绕质心转动。62将将4式代入式代入1、2两式，有两式，有0)1(2QNfB1 ,1 ,1 ,1 22222fQfFfQfNfQfFfQNAABB将上述结果代入将上述结果代入3式，有式，有,2112rgfffdtd解得：解得：)1(2)1(02fgfrftBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212123补充方程：补充方程：BBAANfFNfF ,4dtffrgfdt020112 063例例2 两根质量各为两根质量各为8 kg的均质细杆固连成的均质细杆固连成T 字型，可绕通过字型，可绕通过O点的水平轴转动，当点的水平轴转动，当OA处于水平位置时处于水平位置时
28、,T 形杆具有角速度形杆具有角速度 =4rad/s。求该瞬时轴承求该瞬时轴承O的反力。的反力。解：解：一、一、“T”字型杆字型杆.rad/s 20.75 2).()(eOOFMdtdJ2222121712131mlmlmlmlJO四、由定轴转动微分方程四、由定轴转动微分方程二、受力分析：二、受力分析：,mg,mgOyOxFF,三、运动分析：定轴转动三、运动分析：定轴转动.2 lmglmgJOmgmgOxFOyF64五、由质心运动微分方程，得五、由质心运动微分方程，得OxxCxCFmama21mgmgFmamaOyyCyC21N 96)5.04 25.04(8)(2221xCxCOxaamFN
29、3.32)5.075.20 25.075.20(88.982OyF.,22211yCCtyctcalaalaOxCxFMaOyCyFMaN,96 OxF.(N)3.32OyF.,2222121xCCtxcncalaala65总结：总结：1 1、此题为动量矩定理与动量定理综合运用的题目此题为动量矩定理与动量定理综合运用的题目2 2、先用动量矩定理求出运动，即：先用动量矩定理求出运动，即：;由运动学求各杆质心的加速度由运动学求各杆质心的加速度3 3、用动量矩定理求约束力用动量矩定理求约束力.66例例3 均质圆柱体均质圆柱体A和和B的重量均为的重量均为P，半径均为半径均为r，一绳缠在一绳缠在绕固定轴
30、绕固定轴O转动的圆柱转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重上，绳重不计且不可伸长，不计轴不计且不可伸长，不计轴O处处摩擦。摩擦。求：求：1、圆柱圆柱B下落时质心的加速度。下落时质心的加速度。2、若在圆柱体若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么试问在什么 条件下圆柱条件下圆柱B的质心将上升。的质心将上升。分析：分析：1、A 圆柱作定轴转动圆柱作定轴转动2、B 圆柱作平面转动圆柱作平面转动用刚体定轴转动微分方程求解用刚体定轴转动微分方程求解用刚体平面运动微分方程求解用刚体平面运动微分方程求解67二、圆柱二、圆柱B：)3(212rTrg
31、PB)2(TPagPC运动学关系运动学关系：)4(BACrraTrrgPA221（1）解：一、圆柱解：一、圆柱 A：由1、3式得：BA,52rgBAgaC54 代入3、4式得：68由动量矩定理由动量矩定理：rPMrgPrvgPrgPdtdBCA2)222(22代入式，得grPrPMarPMargPargPCCC5)2(2 ;222当M 2Pr 时，圆柱B的质心将上升。0CaBCAOrgPrvgPrgPL22222rPMMeO2)(ABCv对对O点的力矩：点的力矩：三、研究对象三、研究对象:整个系统（对整个系统（对O点的动量矩）点的动量矩）)(/eOOMdtdL)(222222rPMrgPrag
32、PrgPBcABACrra补充运动学关系式：补充运动学关系式：BCra69研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方 程，找出质心运动与刚体转动之间的联系。程，找出质心运动与刚体转动之间的联系。应用动量矩定理列方程时应用动量矩定理列方程时,要特别注意正负号的规定的要特别注意正负号的规定的 一致性。一致性。70由点的合成运动定理：reavvv由刚体绕平行轴转动的定理：rea 当刚体同时绕两平行轴同向转动时，刚体的合成运动为绕当刚体同时绕两平行轴同向转动时，刚体的合成运动为绕瞬时轴的转动，绝对角速度等于牵连角速度与相对角速度的瞬时轴的转动，绝对角速
33、度等于牵连角速度与相对角速度的和。和。当反向转动时：当反向转动时：|rea绝对角速度绝对角速度 的转向与的转向与 、中较大一个相同。中较大一个相同。era71rearOOOA（a)a)（b)b)OOO（c)c)r解解：OOJL 1 1）杆与轮焊接在一起，定轴转动杆与轮焊接在一起，定轴转动AOJmRJ2)2(2225.4)24(mrmrmrLOaACOOJvmML)(2 2）轮相对杆转动，轮作轮相对杆转动，轮作平面运动平面运动)(2)2(2rOAOmrRmvLAAvm)(2)2)(2(2rOOmrrrm)(52rOOmrA已知：轮的质已知：轮的质 m m,半径半径r r ，杆长为杆长为2r,。求：求：OLrO72|rOrearOOOA（a)a)（b)b)OOO（c)c)r解解：OOJL 1 1）杆与轮焊接在一起，定轴转动杆与轮焊接在一起，定轴转动AOJmRJ2)2(aACOOJvmML)(2 2）轮相对杆转动，轮作轮相对杆转动，轮作平面运动平面运动AAvm)(COOvmML 3 3）轮相对杆作反向转动轮相对杆作反向转动|rea0轮作平动轮作平动OOmrrrm24)2)(2(AAvm已知：轮的质已知：轮的质 m m,半径半径r r ，杆长为杆长为2 2r r,。求：求：OLrO
