1、 第 - 1 - 页 共 11 页 - 1 - 20202020 届常德市高三文科数学模拟试卷（二）届常德市高三文科数学模拟试卷（二） 本试卷分第卷和第卷两部分。考试时量 120 分钟，满分 150 分。 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 60 分）分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1已知i为虚数单位，若复数z满足(2)1 3i zi ，则z= A. 1 i B. i1 C.1 i D.1 i 2已知集合 1 | 11, |1, 2 AxxBy yxxA ,则 AIB= A-1， 3 2 ) B-1， 1
2、 2 ) C1， 3 2 D 1 2 ，1） 3已知等差数列 n a前 9 项的和为 27，8 10 a，则 100 a A 100 B 99 C 98 D 97 4.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 80，则判断框中应该填 A. n 8 ? B. n 8 ? C. n 7 ? D. n 7 ? 5已知 1 3 3a ， 1 2 2b ， 3 log 2c ，则a，b，c的大小关系为 Aabc Bbac Ccab Dcba 6.抛物线 2 :2C yx的焦点为F，点P为C上的动点， 点M为C的准线上的动点，当FPM为等边三角形时，其周长为 A2 B2 C3 2 D6 7函数 ln1
3、 1 x f x x 的大致图象是 A B CD 8.某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防。规定每人每天 早晚八时各服一次， 现知每次药量为220毫克， 若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60. 某人上午八时第一次服药，到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留 A220 毫克 B308 毫克 C123.2 毫克 D343.2 毫克 开始 否 是 n=n+1 输出S 结束 S=0，n=1，a=3 S=S+a a=a+2 第 - 2 - 页 共 11 页 - 2 - 9.已知点 P（3，1）在双曲线 2 2 a x 2 2 b y 1 的渐近线上，F 为右焦点
4、且FPO=90,则其离 心率 e 为 A. 2 B. 3 22 C. 3 D. 3 32 10.在三角形ABC中，若ABBCABBC，6,3,ACABE F为BC边的三等分 点， 则AE AF A21 B18 C15 D12 11.已知ABC的三个内角, ,A B C所对的边分别为, , ,a b c且满足2 sin a A ， 面积最大值为则 ABCBcBAb,tan2)tan(tan A . 3 6 B . 3 32 C . 4 6 D. 4 33 12已知函数)(xf在定义域上是单调函数，且 ( )2020 2021 x f f x ， 当kxxxxgcos3sin)(在, 22 上与)
5、(xf在 R 上的单调性相同时， 实数k的取 值范围是 A. 1,( B.3,( C. 3, 1 D. ),3 第第 II 卷（非选择题，共卷（非选择题，共 90 分）分） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上） 13.曲线 ln x y x 在1x 处的切线与曲线 2 yaxax相切，则a_ 14.已知实数x，y满足 22 9 1 1 xy x y ，则 5 y x 的取值范围为_ 第 - 3 - 页 共 11 页 - 3 - 15. 已知0a ， 函数 cossinf xmxx的图象过点2 6 ， 若函数 f x在区间, a a
6、 上单调递增，则a的取值范围为_ 16. 已知ABC、 、三点都在以PA为直径的球O的表面上，34ABBCABBC， 若球O的 体积为11 33 2 ，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 12 分）2019 年 12 月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现了多例有华南海 鲜市场暴露史的不明原因肺炎病例，现已证实为 2019 新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传 染病. 2020年3月3日,某研究机构首次分析了女性在新型冠状病毒传播中可能存在的特殊性。 现将密切接触者 40 名男士和 40
7、名女士进行筛查，得到的无症状者与轻症者情况如下列联表： 无症状 轻症状 男士 30 10 女士 35 5 （）能否有 90%的把握认为性别对症状差别有影响？ （）先从轻症状接触者中按分层抽样抽取了 6 个人进行传播差异性研究，求抽取两个人中 恰有一男一女的概率。 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd P（K 2k） 0.10 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 18 （本题满分 12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S ,且满足49,18 782 Saa （）求数列 n a的通项公式； （
8、）设 31 4 nn n aa b ,数列 n b的前n项和为 n T ,求证：1 2 1 n T . 第 - 4 - 页 共 11 页 - 4 - 19. （本题满分 12 分）如图：四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形， / /,ADBC ADAB， 24ABBCAD，ABP是等边三角形， 且平面PAB平面ABCD，E是PB中点， 点M在棱PC上 （）求证：AEBM； （）若三棱锥CMDB的体积为16 3 9 ，且PMPC ，求实数的值 20.（本题满分 12 分）已知-2 0(2 0AB（ ， ）， ），点P在平面内运动， 1 4 PAPB kk （）求点P的轨迹方程； （）若点(0,
9、1)Q，,M N为C上两动点， 3 4 MQNQ kk 问直线MN能否过定点，若能 过定点，则求出该定点坐标，若不能过定点则说明理由 21已知函数 axxexf x 2 2 1 有两个极值点 21,x x. （）求实数a的取值范围； （）求证：0 21 xx； （III）求证： 2 21 xfxf. 选考题（请考生在第选考题（请考生在第 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多选，则按所做第一题计分。作答时两题中任选一题作答，如果多选，则按所做第一题计分。作答时 请用请用 2B2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应方框涂黑）铅笔在答题卡上把所选题目对应方框涂黑） 22 （本小题满分 10 分
10、）选修 4-4：坐标系与参数方程 第 - 5 - 页 共 11 页 - 5 - 已知直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3,xt yt （t为参数） 以O为极点，x轴 的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 12 cos （）写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （）设点P为 2 C上的任意一点，求P到 1 C距离的取值范围 23 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知( )22f xxxa （）当2a时，求不等式5)(xf的解集； （）设不等式若的解集为 ,12)(Bxxf36,Ba，求 的取值范围 第 - 6 - 页 共 11 页
11、- 6 - 20202020 届常德市高三文科数学模拟试卷（二）参考答案届常德市高三文科数学模拟试卷（二）参考答案 一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C D D D A D D A D B 二、填空题: 13 1 14 3 1 , 4 4 15(0, 6 16 4 6 15 三、解答题: 17.（本小题满分 12 分）2019 年 12 月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现了多例有华南海 鲜市场暴露史的不明原因肺炎病例，现已证实为 2019 新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传 染病. 2020年3月3日,某研究机构首次分析了女性在新型冠状病
12、毒传播中可能存在的特殊性。 现将密切接触者 40 名男士和 40 名女士进行筛查，得到的无症状者与轻症者情况如下列联表： 无症状 轻症状 男士 30 10 女士 35 5 （）能否有 90%的把握认为性别对症状差别有影响？ （）先从轻症状接触者中按分层抽样抽取了 6 个人进行传播差异性研究，求抽取两个 人中恰有一男一女的概率。 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd P（K 2k） 0.10 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 17.解： （）由题可得列联表： 无症状 轻症状 总计 男士 30 10
13、40 女士 35 5 40 总计 65 15 80 2 分 706. 2051. 2 39 80 40401565 1035-53080 K 2 2 ）（ 第 - 7 - 页 共 11 页 - 7 - 5 分 故没有 90%的把握认为性别对症状差别有影响6 分 （） 依题意， 先从轻症状接触者中按分层抽样抽取了 6 个人进行传播差异性研究， 比例为 2： 1，所以轻症男士 4 人，轻症女士 2 人 8 分 从这 6 人中选 2 人共有 15 种选法，男士女士各 1 人的选法共有 8 种， 10 分 所以先从轻症状接触者中按分层抽样抽取了 6 个人进行传播差异性研究，抽取两个人中恰有 一男一女的
14、概率为 8 15 12 分 18 （本题满分 12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S ,且满足49,18 782 Saa （）求数列 n a的通项公式； （）设 31 4 nn n aa b ,数列 n b的前n项和为 n T ,求证：1 2 1 n T . 【解析】 1设数列 n a的公差为d,由9,182 5582 aaaa则 又由 7,497 2 7 44 71 7 aa aa S得，2d,12 nan 分5 （）由（1）可知 1 1 nn bn 1 11 nn 分7 数列 n b的前n项和为 1 1 -1 n 分10 由. 1 2 1 2 1 1 1 0 n T n 得 分
15、12 20. （本题满分 12 分）如图：四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形， / /,ADBC ADAB， 24ABBCAD，ABP是等边三角形， 且平面PAB平面ABCD，E是PB中点， 点M在棱PC上 （）求证：AEBM； （）若三棱锥CMDB的体积为 16 3 9 ，且PMPC ，求 实数的值 第 - 8 - 页 共 11 页 - 8 - （）证明：证明：四棱锥中，底面ABCD是梯形，且平面平面ABCD， 平面平面，平面ABCD 平面PAB， 平面PAB， ，； 又因为是等边三角形，E是PB中点，； ，平面PBC， 平面PBC，； 5 分 （） 解：解：三棱锥的体积为，且， 三棱锥
16、等 价于三棱锥； 由题意可过点P作于F，连接FC，过M作于N； 因为平面平面ABCD，是等边三角形，可得：F为AB中点， FC为PC在平面ABCD的射影，N一定落在射影FC上； 则：中，有，即为三棱锥以BCD为底面上的高， 即有：； 底面ABCD是梯形，是等边三角形， 通过计算可得： ，因为有， 所以：中，中， 因为：，所以：， 由题，所以：； 故答案为： 12 分 20. （本题满分 12 分）已知-2 0(2 0AB（ ， ）， ），点P在平面内运动， 1 4 PAPB kk （）求点P的轨迹； （）若点(0,1)Q，,M N为C上两动点， 3 4 MQNQ kk 问直 线MN能否过定点，
17、若能过定点，则求出该定点坐标，若不能过定点则说明理由 20.解：（）设),(yxP，则 4 1 2 2 x y x y n ， 1 4 )4( 4 1 2 2 22 y x xy4 第 - 9 - 页 共 11 页 - 9 - 分 （） 设),( 1 yxM，),( 2 yxN，mkxyMN: ， 代入 4)(444 2222 mkxxyx 0448)41 ( 222 mkmxxb ， 4 311 4 311 11 1 2 2 1 1 x nkx x nkx x y x y 21 2 2121 2 4 3 ) 1()(1(xxmxxmkxxk ， 8 分 0) 1()(1() 4 3 ( 2
18、2121 2 mxxmkxxk ， 0) 1() 41 8 )(1() 41 44 )( 4 3 ( 2 22 2 2 m k km mk k m k 又1m 0)41)(1()8() 1)(34( 22 kmkmkmk024 m， 2 1 m ， 2 1 kxy ， 过定点 ) 2 1 , 0( 12 分 21已知函数 axxexf x 2 2 1 有两个极值点 21,x x. （）求实数a的取值范围；（）求证：0 21 xx； （III）求证： 2 21 xfxf. 1,2 12 1 .:0 = .2 1,00-00, +0,. 0 =1,+ .14 x x x fxexax x yaxe
19、xxxa gxeggxg x gxg x g xgxg xa 解：依题意有两解， 即与g有两交点，gg分 又且， 在，内，递减； 在 0，内，递增 且时，分 2222 121212 12 2 22222 2 2 .0,+0. ,0,.6 ,210 21,0.2(1). 1,000. 8 xxxx xxxx x xxxxxx g xxgx xgxexexex e h xexexh xe ex exh xh xh xh ； 不妨设要证，则需证 而在递减， 即需证g分 即需证g即， 设则 递增， 原不等式成立分 第 - 10 - 页 共 11 页 - 10 - 22 11 1212 1222 2 2
20、 2 3 .0,10. =0,00,. 2 2,2, 210 2.0.2 , 20. 0 xx xx xxxx xx xfxexa fxe fxfxxfxf x xxf xfx f xf xfxf x eex m xeexxm xeex mxee xm 当时， 递减，又， 在内有递减 由知有 要证只要证 即证分 设 则 当时， 00. 00012 xm xm xm xm xm 递增， 当时,递增，原不等式成立分 选考题（请考生在第选考题（请考生在第 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多选，则按所做第一题计分。作答时两题中任选一题作答，如果多选，则按所做第一题计分。作答时 请用请用 2
21、B2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应方框涂黑）铅笔在答题卡上把所选题目对应方框涂黑） 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3,xt yt （t为参数） 以O为极点，x轴 的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 12 cos （）写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （）设点P为 2 C上的任意一点，求P到 1 C距离的取值范围 【命题意图】本题主要考查直线的参数方程、曲线直角坐标方程、极坐标方程的互化， 圆的极坐标方程等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养满 分
22、 10 分. 【解析】（） 1 C的普通方程为3xy ，即30xy 2 分 2 C的直角坐标方程为 22 12xyx ，即 2 2 12xy 5 分 （）由（1）知， 2 C是以1,0为圆心，半径 2r 的圆， 圆心 2 C1,0到 1 C的距离 103 2 22 2 d ， 7 分 所以直线 1 C与圆 2 C相离，P到 1 C距离的最小值为 2 222dr ； 8 分 最大值为 2 2dr23 2 ， 9 分 所以P到 1 C距离的取值范围为2,3 2 10 分 23 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知( )22f xxxa 第 - 11 - 页 共 11 页 - 11
23、- （）当2a时，求不等式5)(xf的解集； （）设不等式若的解集为 ,12)(Bxxf36,Ba，求 的取值范围 解：（）当2a时，5)(xf即522axx 当 5)2()2(2 2 xx x ， 解得2x， 当 52)2(2 22- xx x ， 解得12- x， 当 5)2()2(2 2 xx x ， 解得 3 7 x， 故不等书5)(xf解集为 3 7 1|xxx或 -5 分 （）若B63，则原不等式12x)(fx在63，上恒成立 即122-x2xax，即)2(212xxax，3ax 33ax 即axa3-3-，所以 63 3-3- a a ， 解得36-a 故满足条件的a的取值范围是 3, 6a -10 分
