1、 第 - 1 - 页 共 13 页 - 1 - 理科数学试卷一理科数学试卷一 总分：150 分 时量:120 分钟 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的）项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合 P=65|xx，Q=065| 2 xxx，则 PQ=_（桃源县 第四中学） A、61|xx B、61|xx C、61|xx D、61|xx 答案：由已知得 Q=-1，6 P=（-5，6）故 PQ=-1，6故选 C 2.设复数z满足3(1)ziz+=
2、- ，则下列说法正确的是 ( ) (桃源一中) A. z的虚部为2i B.z为纯虚数 C. 5z = D. 在复平面内，z对应的点位于第二象限 答案：答案：C 由 3(1)ziz+=- 得 3( 3)(1) 12 12 iii zi i -+-+- = -+ + ， 22 ( 1)25z =-+= 3.设等差数列 n a的前n项的和为 n S，若 53 47Sa=+， 1 1a =，则 6 a = ( ) (桃源 一中) A. 37 B.16 C. 13 D. -9 答案：答案：B 设等差数列 n a的公差为 d，由 53 47Sa=+得： 11 5 (51) 54(2 )7 2 adad ?
3、 +=+， 将 1 1a =代入上式解得3d =，故 61 511516aad=+=+= （法二： 53 47Sa=+，又 53 5Sa=，所以 3 7a ，由 1 1a 得3d =， 故 61 511516aad=+=+= 4.如图是某市连续 16 日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数(AQI)小于 100 表示空气质 量优良， 空气质量指数大于 200 表示空气重度污染 则 下列说法不正确的是 ( ) (桃源一中) A这 16 日空气重度污染的频率为 0.5 B该市出现过连续 4 天空气重度污染 C这 16 日的空气质量指数的中位数为 203 D 这 16 日的空气质量指数的平均值大于
4、 200 答案：答案：D 这 16 日空气重度污染的频率为 8 0.5 16 =故 A 正确；12 日，13 日，14 日，15 日连续 4 天空气重度污染，故 B 正确；中位数为 1 (192214)203 2 ，故 C 正确； 1 200(147543( 43) 6 x=+ -+ ( 120)( 48)60( 117)( 40)-+ -+ -+ -+ 第 - 2 - 页 共 13 页 - 2 - ( 21)( 62)14216323( 8)200-+ -+ -+- ，解得： 1 1 3 x- ， ， ，( )( )g xf xax=-（其中 a 为常数），则下列说法中 正确的个数为 ( )
5、 (桃源一中) 函数( )f x恰有 4 个零点； 对任意实数 a，函数( )g x至多有 3 个零点； 若 a0，则函数( )g x有且仅有 3 个零点； 若函数( )g x有且仅有 3 个零点，则 a 的取值范围为 11 ( 0 ) 62e ，(桃源一中) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：答案：B 当0x时，( )f x的图像为抛物线 2 1 6 yxx的一部分 当0x时，当0x时， 2 1ln ( ) x fx x - = ，所以(0, )xe时，( )0fx，( )f x单调 递增，( ,)xe?时，( )0fx，( )f x单调递减，画出( )f x的图像如图所示，由
6、图可知( )f x恰有 3 个零点，故不正确； 设( )f x的过原点的切线的斜率为 1 k，切点为 0 0 0 ln (,) x P x x ， 2 ln1ln () xx xx - = ，由 第 - 5 - 页 共 13 页 - 5 - 0 2 2 0 0 0 2 0 1ln ln x k x x x k x - = = ，解得 01 1 , 2 xe k e = ( )f x在0x=处的切线 2 l的斜率为 2 200 1111 () |(2)| 6662 xx kxxx e = =+=+= ， 因为( )( )g xf xax=-零点个数，即函数( )yf x=与yax=的交点个数，
7、由图可知： 1 2 a e 时，有 1 个交点； 1 2 a e 时，有 2 个交点； 11 ) 62 a e ，时，有 3 个交点； 1 (0 ) 6 a，时，有 4 个交点；(,0a 时，有 3 个交点.所以 不正确；正确. （说明： 显然0x=是( )g x的零点， x0 时， 也可转化为 ( )f x a x =零点的个数问题， 也可以画图得出答案） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分把答案填在分把答案填在答题卡答题卡 中对应中对应 题号后的横线上）题号后的横线上） 13.已知函数( )ln(1) x f xx
8、ex=+，则曲线( )yf x=在0x=处的切线方程为 _2yx=_.(桃源一中) 14已知实数 , x y 满足约束条件 10 330, 10 xy xy xy 则 =32zxy 的最小值为 -2 15.已知数列 n a的各项为正，记 n S为 n a的前n项和，若 2 1 1 3 () 2 n n nn a anN aa * + + =? - ， 1 1a =， 则 5 S =_121_.(桃源一中) 16. 已知双曲线 C: 22 22 1(0,0) xy ab ab ，O是坐标原点，F是C的右焦点， 过F 的直线与C的两条渐近线的交点分别为 , ,A B 且 OAB 为直角，记 OAF
9、 和 OAB 的面积分别为 OAF S 和 OAB S ，若 1 3 OAF OAB S S ，则双曲线C的离心率为 答案：. 2 6 3 或 2 3 3 第 - 6 - 页 共 13 页 - 6 - 三、解答题三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（本小题 12 分）已知向量 m(sin 3)x=-，n=(1 cos )x，且函数( )f x =mn. ()若 5 (0 ) 6 x，且 2 ( ) 3 f x =，求sinx的值； ()在锐角ABC中，角ABC， ，的对边分别为abc， ，若a，= 4ABC的面积为4 3， 且 1 (
10、)sin 32 f AcB+=，求ABC的周长. (桃源一中) 解： ()( )f x =mn(sin 3)x=-，(1 cos )x ，sin3cosxx=-2sin() 3 x=- (2 分） Q 2 ( ) 3 f x = ， 1 sin() 33 x-= 又 5 (0 ) 6 x，( ) 332 x-?， 2 2 cos() 33 x-= (4 分） 所以 1 12 2312 6 sinsin() 333 2326 xx + =-+=?(6 分） ()因为 1 ()sin 32 f AcB+=，所以 1 2sinsin 2 AcB=，即4sinsinAcB= 由正弦定理可知4abc=，
11、又a= 4所以bc= 16 (8 分） 由已知ABC的面积 1 sin4 3 2 bcA=，可得 3 sin 2 A=，又(0) 2 A， 3 A=(10 分） 由余弦定理得 22 2cos1bcbcA+-= ，故 22 32bc+= ，从而 2 ()64bc+= 所以ABC的周长为12(12 分） 18 （本小题 12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 平面PAD 平面ABCD， 底面ABCD 是直角梯形，ADBC，ABAD，22ADBCAB，O是AD的中点 ()在线段PA上找一点E，使得BE平面PCD，并证明； ()在(1)的条件下，若2PAPDAD，求平面OBE与平面POC所成的锐二
12、面角的 余弦值(桃源一中) 解：()E是线段 PA 的中点，(1 分） 证明：连接 BE，OE，OB， O 是 AD 的中点，OEPD， 第 - 7 - 页 共 13 页 - 7 - 又OE平面PCD，PD 平面PCD，OE平面PCD，(3 分） 又底面ABCD是直角梯形，22ADBCAB，OBCD， 又OB平面PCD，CD平面PCD，OB平面PCD，(4 分） OE平面OBE，OB平面OBE，OEOBO， 平面OBE平面PCD， 又BE 平面OBE，BE平面PCD(6 分） （也可通过线线平行来证明线面平行） ()平面PAD 平面ABCD， 2PAPDAD， POAD，PO平面ABCD，且1
13、OC ，3PO ， 以O为原点，如图建立空间直角坐标系O xyz ，(8 分） 得0,0,0O，1, 1,0B， 0,0, 3P ，1,0,0C， 13 0, 22 E ， 得 13 0, 22 OE ，1, 1,0OB ， 设, ,mx y z是平面OBE的一个法向量， 则 mOE mOB ，得 30 0 yz xy ，取3x ， 得 3, 3,1m ，(10 分） 又易知0,1,0n 是平面POC的一个法向量，设平面OBE与平面POC所成的锐 二面角为， 则 321 coscos, 77 1 m n m n mn ， 即平面OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值为 21 7 (12 分）
14、 19（本小题 12 分）随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018 年中国快递量世界第 一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名某快递公司收取 费的标准是：不超过 1kg 的包裹收费 8 元；超过 1kg 的包裹，在 8 元的基础上，每超过 1kg(不 足 1kg，按 1kg 计算)需再收 4 元 该公司将最近承揽(接收并发送)的 100 件包裹的质量及件数统计如下(表 1)： 表 1： 公司对近 50 天每天承揽包裹的件数(在表 2 中的“件数范围”内取的一个近似数据)、件数范围 及天数，列表如下(表 2)： 包裹质量（kg) （0，1 （1，2 （2，3 （
15、3，4 （4，5 包裹件数 43 30 15 8 4 件数范围 (0，100 (100，200 (200，300 (300，400 (400，500 天数 5 10 25 5 5 每天承揽包裹的件数 50 150 250 350 450 第 - 8 - 页 共 13 页 - 8 - 表 2： ()将频率视为概率，计算该公司未来 3 天内恰有 1 天揽件数在(100，300内的概率； () 根据表 1 中最近 100 件包裹的质量统计， 估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平 均值： 根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余 用作其他费用 目前， 前台有工
16、作人员 5 人， 每人每天揽件数不超过 100 件， 日工资 80 元 公 司正在考虑是否将前台人员裁减 1 人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你 是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员 1 人? (桃源一 中) 解：()将频率视为概率，样本中包裹件数在(100，300内的天数为102535， 频率为 357 5010 f ，故该公司 1 天揽件数在(100，300内的概率为 7 10 (2 分） 未来 3 天包裹件数在(100，300内的天数 X 服从二项分布，即 7 (3 ) 10 XB ， 所以未来 3 天内恰有 1 天揽件数在100，299内
17、的概率为： 12 3 73189 ()() 10 101000 PC(5 分） () 由题 可知，样本中包裹质量（kg)、快递费（元）、包裹件数如下表所示： 所以每件 包裹收取 快递费的平均值为 1 43 830 12 15 168 204 2412 100 (7 分） 根据题意及，揽件数每增加 1，公司快递收入增加 12（元） 若不裁员，则每天可揽件的上限为 500件，公司每日揽件数情况如下： 每天承揽包裹的件数 Y 的期望 E(Y)=50 0.1+150 0.2+250 0.5+350 0.1+450 0.1=240 公司每日利润的期望值为 1 240 125 80560 3 元(9 分）
18、 若裁员 1人，则每天可揽件的上限为 400件，公司每日揽件数情况如下： 包裹质量 （kg) （0，1 （1，2 （2，3 （3，4 （4，5 快递费 （元） 8 12 16 20 24 包裹件 数 43 30 15 8 4 件数范围 (0，100 (100,200 (200,300 (300，400 (400，500 天数 5 10 25 5 5 每天承揽包裹的 件数 Y 50 150 250 350 450 概率 P 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1 第 - 9 - 页 共 13 页 - 9 - 每天承揽包裹的件数 Y 的期望 E(Y)=50 0.1+150 0.2+250 0.5+
19、350 0.1+400 0.1=235 公司每日利润的期望值为 1 235 124 80620 3 元(11 分） 因为 560620 ，所以公司应将前台工作人员裁员 1人(12 分） 20.有一种曲线画图工具如图 1 所示 是滑槽的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长 杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接， MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动， 且 2 1 ONDN， 1DM当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 转动，M 处的笔尖画出 的曲线记为 C 以 为原点， 所在的直线为 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系 （）求曲线 C 的轨迹方程； （2)设 2 F为
20、曲线 C 的右焦点，P为曲线 C 上一动点，直线 2 PF斜率为)0( kk，且 2 PF与曲线 C 的另一个交点为 Q， 是否存在点), 0(tT， 使得TQPTPQ,若存在， 求t的取值范围；若不存在，请说明理由.（芷兰实验学校谌兴明供题） 解（1）设 ),(yxM 则）（0 , 2 x D，则 1) 2 ( 22 y x x及1 4 2 2 y x 5 （2）设直线PQ的方程为(3)yk x， 件数范围 (0，100 (100，200 (200，300 (300，400 (400，500 天数 5 10 25 5 5 每天承揽包裹 的件数 Y 50 150 250 350 400 概率
21、P 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1 第 - 10 - 页 共 13 页 - 10 - 将(3)yk x代入 2 2 1 4 x y，得 2222 148 31240kxk xk ； 设 1122 ,P x yQ x y，线段PQ的中点为 00 ,N x y， 2 1212 000 22 4 33 ,3 214214 xxyykk xyk x kk ， 即 2 22 4 33 , 1414 kk N kk 8 因为 TQPTPQ 所以直线TN为线段PQ的垂直平分线， 所以TN PQ ，则 1 TNPQ kk ，即 ， 所以 2 3 33 3 1 41 4 k t k k k ， 0 1
22、当0k 时，因为 1 44k k ，所以 3 3 0, 4 t ， 当k0时，因为 1 44k k ，所以 3 3 ,0 4 t . 综上，存在点T，使得|TPTQ，且t的取值范围为 3 33 3 ,00, 44 2 1 21（本小题 12 分）已知函数( )(ln ) x f xxea xx，其中2.71828e 为自然对数的 底数. （1）若( )1f x ，求实数a的值； （2）证明： 2 (2ln )2(1 sin ) x x exxx.（常 德市一中） 解：（1）法一： 当0a 时， 111 ( )(ln)ln1 2222222 eeee haa与( )1f x 恒成立矛盾，不合 题
23、意； 当0a 时， (1)() ( ) x xxea fx x ，令( ) x xahex ，则( )(1)0 x h xxe， 所以( )h x在(0,)上递增，又(0)0ha ，( )(1)0 aa h aaeaa e 2 2 2 3 41 1 4 3 41 k t k k k k 第 - 11 - 页 共 13 页 - 11 - 故存在 0 (0,)x ，使 0 ()0h x，且 0 0 x x ea， 00 lnnl xxa 当 0 (0,)xx时，( )0h x ，( )0fx ，( )f x递减， 当 0 (,)xx时，( )0h x ，( )0fx ，( )f x递增 所以 0
24、min0000 ( )()nnl(l x eaaaf xf xxaxx 故( )1f x ，即ln10aaa ，令( )ln1aaaa， 则( )lnaa，知( )a在(0,1)上递增，在(1,)上递减， 所以 max ( )(1)0a，要使( )ln10aaaa ，当且仅当1a 综上，实数a的值为 1 法二： ln ( )(ln )(ln ) xx x f xxea xxea xx ，令ln ,txx tR 则( )1f x 等价于10 t eat ，对任意tR恒成立，令( )1 t h teat， 当0a 时， 1 0 ( )220 a h tee与( )0h t 恒成立矛盾，不合题意；
25、当0a 时，( )1 t h te， 1 1 ( 1)110he e 与( )0h t 恒成立矛盾，不合题意； 当0a 时，( ) t ah te，( )h t在(,ln )a上递减，在(ln ,)a 上递增， 所以( )h t的最小值为(ln )ln1haaaa 令( )ln1aaaa，则( )lnaa，知( )a在(0,1)上递增，在(1,)上递减， 所以 max ( )(1)0a，要使( )ln10aaaa ，当且仅当1a （2）由（1）知，当1a 时，ln1 x xexx，即ln1 x xexx， 所以 22 ln x x exxxx， 下面证明 2 ln(2ln )2(1 sin )
26、xxxxxxx，即证： 2 22sin0xxx 令 2 ( )22sing xxxx，( )21 2cosg xxx 当01x时，显然( )g x单调递增，( )(1)1 2cos1 1 2cos0 3 g xg ， 所以( )g x在(0,1上单调递减，( )(1)22sin10g xg， 当1x 时，显然 2 ,22sin0xxx，即( )0g x 故对一切(0,)x，都有( )0g x ，即 2 ln(2ln )2(1 sin )xxxxxxx 故原不等式 2 (2ln )2(1 sin ) x x exxx成立 22(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系xOy中，直线 1 C：10
27、xy+-=，曲线 2 C： sin1 cos ay ax (为参 数,0a)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系. 第 - 12 - 页 共 13 页 - 12 - ()说明 2 C是哪一种曲线，并将 2 C的方程化为极坐标方程. ()曲线 3 C的极坐标方程为 0 =(0)，其中 0 tan2 =，0(0) 2 ，且曲线 3 C分别交 1 C， 2 C于点A，B两点，若3+ 5OBOA=，求a的值. (桃源一中) 解：() 由 sin1 cos ay ax 消去参数得： 2 C的普通方程为 222 ) 1(ayx，（2 分） 则 2 C是以) 10( ，为圆心，a为半径的圆
28、. （3 分） sin,cosyx， 2 C的极坐标方程为 222 ) 1sin()cos(a， 即 2 C的极坐标方程为01sin2 22 a，（5 分） ()曲线 3 C极坐标方程为 0 =(0)， 0 tan2 =，且 0 2 sin 5 = 所以曲线 3 C的直角坐标方程为2yx=)0( x 由 10 2 xy yx +-= = 解得： 1 3 2 3 x y = = ， 12 () 33 A，（7 分） 5 3 OA=，2 5OB=（8 分） 故点 B 的极坐标为0 (2 5)， ， 代入01sin2 22 a得13a= （10 分） 23(本小题满分 10 分) 选修 4-5：不等
29、式选讲 设函数 ( ) |1|f xxax . (I)若 1a ，求不等式 ( )3f x 的解集; (II)已知关于x的不等式 ( ) |2|6f xxx 在 1,1x 上恒成立，求实数a的取 值范围. 解：( I) 1a 时， 21 ( ) |1|1|211 21 xx f xxxx xx ， 由 ( )3f x 得不等式的解集为 33 22 xx . (5 分) (II)由题知| |1|2|6xaxxx 在 1,1x 上恒成立， 第 - 13 - 页 共 13 页 - 13 - 且当 1,1x 时，| 1|1,|2|2xxxx ， | 3xax ， 33xaxx ， 33 2ax ， (7 分) 又函数 32yx 在 1,1x 上的最小值为1， 31a ，即a的取值范围是 3,1 . (10 分)
