1、5.1 定义与命题w小华与小刚正在津津有味地阅读小华与小刚正在津津有味地阅读我们爱科学我们爱科学.w坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着。边也在悄悄地议论着。哈哈!这个黑客这个黑客终于被逮住终于被逮住了了.是的是的,现在的因特现在的因特网广泛运用于我网广泛运用于我们的生活中们的生活中,给我给我们带来了方便们带来了方便,但但.这个黑客这个黑客是个小偷是个小偷吧？吧？可能是个喜可能是个喜欢穿黑衣服欢穿黑衣服的贼的贼.w有一位田径教练向领导汇报训练成绩有一位田径教练向领导汇报训练成绩w相传相传,阎锡山在观看士兵篮球赛阎锡山在观看士兵篮球赛,双
2、方争双方争抢非常激烈抢非常激烈.于是命令于是命令:小明的百米小明的百米成绩是成绩是9秒秒9.继续努力继续努力,争取达到争取达到10秒秒.发给每个人一发给每个人一个球个球,不要再抢不要再抢啦啦.真正的含义真正的含义w可见，交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能可见，交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行。进行。w例如例如:w“具有中华人民共和国国籍的人具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民叫做中华人民共和国公民共和国公民”是是“中华人民共和国公民中华人民共和国公民”的定的定义义;w为此为此,就要对名称和术语的含义加以描述就要对名称和术语的含义加以描述,作出明作出明确的规定确的规定,也就
3、是给出它们的也就是给出它们的定义定义.w“两点之间两点之间 线段的长度线段的长度,叫做这两点之间的距离叫做这两点之间的距离”是是“两点之间的距离两点之间的距离”的定义的定义;w“在一个方程中在一个方程中,只含有一个未知数只含有一个未知数,并且未知数的并且未知数的指数是指数是1,这样的方程叫做一元一次方程这样的方程叫做一元一次方程”是是“一一元一次方程元一次方程”的定义的定义;w“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是是“平行四边形平行四边形”的定义的定义;w你还能举出曾学过的你还能举出曾学过的“定义定义”吗吗?w下图表示某地的一个灌溉系统下图表示某地的
4、一个灌溉系统.w上面上面“如果如果,那么那么”都是对事情进行判都是对事情进行判断的语句断的语句.判断一件事情的句子判断一件事情的句子,叫做叫做命题命题.w如果如果B处水流受到污染处水流受到污染,那么那么 处水流便受到污染处水流便受到污染;w如果如果C处水流受到污染处水流受到污染,那么那么 处水流便受到污染处水流便受到污染;w如果如果D处水流受到污染处水流受到污染,那么那么 处水流便受到污染处水流便受到污染;wABCE F HGDKJ IC,E,F,GEKw例如，下列句子都是命题例如，下列句子都是命题(4)无论无论n为怎样的自然数，式子为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数；的值都是质数
5、；(2)任何一个三角形一定有直角；任何一个三角形一定有直角；(1)熊猫没有翅膀；熊猫没有翅膀；(3)对顶角相等；对顶角相等；w反之反之,如果一个句子没有对某一事情作出任何判断如果一个句子没有对某一事情作出任何判断,那么它就不是命题那么它就不是命题.例如例如,下列句子都不是命题下列句子都不是命题:(1)你喜欢数学吗你喜欢数学吗?(2)作线段作线段AB=CD.(5)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行两条直线也互相平行.w命题一般都写成命题一般都写成“如果如果,那么那么”的形式的形式,你能把你能把上面的命题都写成上面的命题都写成“如果如果,
6、那么那么”的形式吗的形式吗?w你能举出一些命题吗你能举出一些命题吗?w举出一些不是命题的语句举出一些不是命题的语句.随堂练习随堂练习P192判断就是命题w 1.1.下列句子中哪些是命题下列句子中哪些是命题?w(1)(1)动物都需要水动物都需要水;w(2)(2)猴子是动物的一种猴子是动物的一种;w(3)(3)玫瑰花是动物玫瑰花是动物;w(4)(4)美丽的天空美丽的天空;w(5)(5)三个角对应相等的两个三角形一定全等三个角对应相等的两个三角形一定全等;w(6)(6)负数都小于零负数都小于零;w(7)(7)你的作业做完了吗你的作业做完了吗?w(8)(8)所有的质数都是奇数所有的质数都是奇数;w(9
7、)(9)过直线外过直线外l l一点作直线一点作直线l l的平行线的平行线;w(10)(10)如果如果ab,ac,ab,ac,那么那么b=c.b=c.w 2.2.在解决在解决“何处水流受到污染何处水流受到污染”的问题中的问题中,找找出几个命题出几个命题.是是是是是不是是是不是是不是不是是是独立独立作业作业补充:判断下列语句哪些是命题?哪些不是命题?(1)平角都相等.(2)等于同一个角的两个角相等.(3)画两条相等的线段.(4)在射线OA上,任取两点B、C.(5)在空间里，不平行的两条直线一定相交.(6)一对邻补角的平分线互相垂直.(7)延长线段AB到C,使AC=2AB.(8)两条直线平行,内错角
8、相等.(1)如果两个三角形的三条边对应相等如果两个三角形的三条边对应相等,那么这两个三角那么这两个三角 形全等形全等;(2)如果一个四边形的一组对边平行且相等如果一个四边形的一组对边平行且相等,那么这个四边形是平那么这个四边形是平行四边形行四边形;(3)如果一个三角形是等腰三角形如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相那么这个三角形的两个底角相等等;(4)如果一个四边形的对角线相等如果一个四边形的对角线相等,那么这个四边形是矩形那么这个四边形是矩形;(5)如果一个四边形的两条对角线互相垂直如果一个四边形的两条对角线互相垂直,那么这个四边形是菱那么这个四边形是菱形形.w每个命题都由
9、每个命题都由条件条件和和结论结论两部分组成两部分组成.条件是条件是已知事项已知事项,结论是由已事项推断出的事项结论是由已事项推断出的事项.观察下列命题观察下列命题,猜测这些命题的猜测这些命题的共同的结构特征共同的结构特征.与你的同伴交流与你的同伴交流(1)如果如果两个三角形的三条边对应相等两个三角形的三条边对应相等,那么那么这两个三角这两个三角 形全等形全等;(2)如果如果一个四边形的一组对边平行且相等一个四边形的一组对边平行且相等,那么那么这个四边形是平这个四边形是平行四边形行四边形;(3)如果如果一个三角形是等腰三角形一个三角形是等腰三角形,那么那么这个三角形的两个底角相这个三角形的两个底
10、角相等等;(4)如果如果一个四边形的对角线相等一个四边形的对角线相等,那么那么这个四边形是矩形这个四边形是矩形;(5)如果如果一个四边形的两条对角线互相垂直一个四边形的两条对角线互相垂直,那么那么这个四边形是菱这个四边形是菱形形.情景引入情景引入探索新知1、如果、如果两个三角形的三条边对应相等，两个三角形的三条边对应相等，那么那么这三角形全等；这三角形全等；条件条件结论结论已知事项已知事项由已知事项推断由已知事项推断 出来的事项出来的事项命题命题都可以写成都可以写成“如果如果那么那么”的形式；其中的形式；其中“如果如果”引出的部分是引出的部分是条件条件，“那么那么”引出的部分是引出的部分是结论
11、结论。有些命题没有写成有些命题没有写成“如果如果那么那么”的形式，题设和结论不明显，要经过分析的形式，题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写才能找出题设和结论，也可以将它们改写成成“如果如果那么那么”的形式。的形式。如如“同角的余角相等同角的余角相等”可以写成可以写成“如果两个如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等角是同一个角的余角，那么这两个角相等”。注意：命题的条件（题设）部分有时注意：命题的条件（题设）部分有时可用可用“已知已知”或者或者“若若”等形等形式表述，命题的结论部分有时可用式表述，命题的结论部分有时可用“求证求证”或或“则则”等形式表述。等形式表
12、述。知识应用1、下列命题的条件是什么？结论是什么？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果如果ab,bc,那么那么a=c；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；个三角形全等；（4）菱形的四条边都相等；菱形的四条边都相等；（5）全等三角形的面积相等。全等三角形的面积相等。解：（解：（1）条件：两个角相等，）条件：两个角相等，结论：它们是对顶角结论：它们是对顶角解：（解：（2）条件：）条件：ab,bc，结论：结论：a=c解：（解：（3）改写：如果两个三角形的两角和其中改写：如果两个三角形的两角和其中一角的对边
13、对应相等，那么这两个三角形全等。一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。条件：条件：两个三角形的两角和其中一角的对边对应两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等相等结论：结论：这两个三角形全等这两个三角形全等解：解：（4）改写：如果一个四边形是菱形，那么这改写：如果一个四边形是菱形，那么这个四边形的四条边相等个四边形的四条边相等 条件：一个四边形是菱形，结论：这个四边形的条件：一个四边形是菱形，结论：这个四边形的四条边相等四条边相等 解：（解：（5）改写：如果两个三角形全等，那么这改写：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等。两个三角形的面积相等。条件：条件：两个三角形全等两个三角形
14、全等结论：结论：这两个三角形的面积相等这两个三角形的面积相等2、这几个命题哪些是正确的？哪些不正确？你是怎么知道它们是不正确的？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果如果ab,bc,那么那么a=c；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；个三角形全等；（4）菱形的四条边都相等；菱形的四条边都相等；（5）全等三角形的面积相等。全等三角形的面积相等。不正确不正确不正确不正确正确正确正确正确正确正确正确的命题称为真命题，不正确的正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题命题称为假命题3、这几个命题哪些是真命题
15、？哪些是假命题？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果如果ab,bc,那么那么a=c；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；个三角形全等；（4）菱形的四条边都相等；菱形的四条边都相等；（5）全等三角形的面积相等。全等三角形的面积相等。假命题假命题假命题假命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题说明假命题的方法：说明假命题的方法：举反例举反例使之具有命题的条件，而不具有使之具有命题的条件，而不具有命题的结论命题的结论如何证实一个命题是真命题呢如何证实一个命题是真命题呢用我们以前学用我们以前学过的观察过的观
16、察,实验实验,验证特例等方验证特例等方法法.这些方法这些方法往往并不往往并不可靠可靠.能不能根据已能不能根据已经知道的真命经知道的真命题证实呢题证实呢?那已经知那已经知道的真命道的真命题又是如题又是如何证实的何证实的?.哦哦那那可怎么办可怎么办如何证实一个命题是真命题呢？其实，在数学发展史上，数学家们也遇到类似其实，在数学发展史上，数学家们也遇到类似的问题，公元前的问题，公元前3 3世纪，人们已经积累了大量的世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得(公元前公元前300前后前后)编写一本书，书编写一本书，书名叫名叫原本原本，为
17、了说明每一个，为了说明每一个结论的正确性，他在编写这本书结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据，题作为证实其他命题的起始依据，w公认的真命题称为公认的真命题称为公理公理.某些数学名词称为某些数学名词称为原名原名.w除了公理外除了公理外,其它真命题的正确性其它真命题的正确性都通过推理的方法证实都通过推理的方法证实.推理的过推理的过程称为程称为证明证明.经过证明的真命题称为经过证明的真命题称为定理定理.其中其中他的方法是：他的方法是：确定一些公认的命题作为确定一些公认的
18、命题作为公理公理用推理的方法证实其它命题的正确性用推理的方法证实其它命题的正确性推理的过程叫推理的过程叫证明证明经过证明的真命经过证明的真命题叫题叫定理定理 原名、公理、证明、定理、定义及它们的关系推推 理理推理的过推理的过程叫程叫证明证明证实其它命证实其它命题的题的正确正确性性原名原名公理公理一些一些条件条件+经过证明经过证明的真命题的真命题叫叫定理定理有关概念、公理有关概念、公理条件条件1定理定理1有关概念、公理有关概念、公理条件条件2定理定理2定理定理3原本原本问世之前，世界上还没有一问世之前，世界上还没有一本数学书籍像本数学书籍像原本原本这样编排，因这样编排，因此此原本原本是一部具有划
19、时代意义的是一部具有划时代意义的著作。著作。1.两直线被第三条直线所截两直线被第三条直线所截,如果同位角相如果同位角相等等,那么这两条直线平行那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截,同位角相同位角相等等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等两边夹角对应相等的两个三角形全等;4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全两角及其夹边对应相等的两个三角形全等等;5.三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等;6.全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等,对应角相等对应角相等.本套教材选用如下命题作为公理本套教材选用如下命题作为公理:w等式的有关性质等
20、式的有关性质和和不等式的有关性质不等式的有关性质都可以看作都可以看作公理公理w在等式或不等式中在等式或不等式中,一个量可以用它的等量一个量可以用它的等量来代替来代替.例如例如,如果如果a=b,b=c,那么那么a=c,这一性质这一性质也看作公理也看作公理,称为称为“等量代换等量代换”.习题习题6.31.下列命题的条件是什么？结论是什么？下列命题的条件是什么？结论是什么？（1）如果两个三角形的两边及其夹角对应相等，那么这两个三角）如果两个三角形的两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等形全等条件：两个三角形的两边及其夹角对应相等条件：两个三角形的两边及其夹角对应相等结论：这两个三角形全等结论：这
21、两个三角形全等（2）如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是）如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形等腰三角形条件：一个三角形中有两个角相等条件：一个三角形中有两个角相等结论：这个三角形是等腰三角形结论：这个三角形是等腰三角形（3）直角三角形的两个锐角互余。）直角三角形的两个锐角互余。条件：两个角是一个直角三角形的锐角条件：两个角是一个直角三角形的锐角结论：这两个角互余。结论：这两个角互余。（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。条件：一个四边形的两条对角线互相平分条件：一个四边形的两条对角线互相平分结论：这个四边形是平行
22、四边形结论：这个四边形是平行四边形2.下列命题中哪些是假命题？为什么？下列命题中哪些是假命题？为什么？（1）如果）如果 那么那么x4.25 所以这个命题所以这个命题是是假命题假命题5323xx 3.A、B、C、D、E五名学生猜自己的数学成绩：五名学生猜自己的数学成绩：A说：说：“如果我得优，那么如果我得优，那么B也得优。也得优。”B说：说：“如果我得优，那么如果我得优，那么C也得优。也得优。”C说：说：“如果我得优，那么如果我得优，那么D也得优。也得优。”D说：说：“如果我得优，那么如果我得优，那么E也得优。也得优。”大家都没有说错，但只有三个人得优。请问：得大家都没有说错，但只有三个人得优。
23、请问：得优的是哪三个人？优的是哪三个人？C、D、E三个人得优。考 考 你！1、“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”这个语句是（这个语句是（）A、定理、定理 B、公理、公理 C、定义、定义 D、只是命题、只是命题2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语这个语 句是（句是（）A、定理、定理 B、公理、公理 C、定义、定义 D、只是命题、只是命题3、下列命题中，属于定义的是（、下列命题中，属于定义的是（）A、两点确定一条直线、两点确定一条直线 B、同角的余角相等、同角的余角相等 C、两直线平行，内错角相等、两直线平行，内错角相等 D、点到直线的距
24、离是该点到这条直线的垂线段的长度、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度4、下列句子中，是定理的是（、下列句子中，是定理的是（），是公理的），是公理的 是（是（），），是定义的是（是定义的是（），），A、若、若a=b，b=c，则，则a=c；B、对顶角相等、对顶角相等 C、全等三角形的对应边相等，对应角相等、全等三角形的对应边相等，对应角相等 D、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 E、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等BDCBDA、C、E小结与反思小结与反思 通过本节课的学习通过本节课的学习,你有哪些收获你有哪些收获?还有什还有什么疑问么疑问?课堂小结w 1、命题都是由条件和结论两部分组成 2、说明一个命题是假命题的方法：、说明一个命题是假命题的方法：举反例举反例 3、说明一个命题是真命题的方法：、说明一个命题是真命题的方法：证明证明证明的依据：公理（等式的性质）证明的依据：公理（等式的性质）定义、已证明的定理定义、已证明的定理“如果如果那么那么”条件条件结论结论结束寄语 在几何学习中最能发挥你的聪明才智.数学使人聪明.只要你敢想敢做,未来的数学“大家”将是你!
