1、小时不识月，呼作白玉盘。小时不识月，呼作白玉盘。又疑瑶台镜，飞在青云端。又疑瑶台镜，飞在青云端。24.1 圆的有关性质 在一个平面内，线段在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点O旋转一旋转一周，另一个端点周，另一个端点A所形成的图形叫做所形成的图形叫做圆圆rOA固定的端点固定的端点O叫做叫做圆心圆心线段线段OA叫做叫做半径半径以点以点O为圆心的圆，记作为圆心的圆，记作“O”，读作读作“圆圆O”圆的概念圆的概念rOA（2）到定点的距离等于定长的）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上点都在同一个圆上 归纳：归纳：圆心为圆心为O、半径为、半径为r的圆可以看成是所有的圆可以看成是
2、所有到定点到定点O的距离等于定长的距离等于定长r 的点组成的图形的点组成的图形 （1）圆上各点到定点的距离都）圆上各点到定点的距离都等于等于定长；定长；动态动态：在一个平面内，线段在一个平面内，线段OA绕它固定的一绕它固定的一个端点个端点O旋转一周，另一个端点旋转一周，另一个端点A所形成的图所形成的图形叫做形叫做圆圆静态静态：圆心为圆心为O、半径为、半径为r的圆是所有到定点的圆是所有到定点O的距离等于定长的距离等于定长r 的点组成的图形的点组成的图形同步练习同步练习1 1、填空：、填空：（1 1）根据圆的定义，）根据圆的定义，“圆圆”指的是指的是“”，而不是，而不是“圆面圆面”。圆周圆周位置位
3、置大小大小 （2 2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的圆心决定圆的 ，半径决定圆的，半径决定圆的 ，二者缺一不可。二者缺一不可。已知：矩形已知：矩形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于相交于O。求证：求证：A、B、C、D在以在以O为圆心的同一圆上。为圆心的同一圆上。ABCDO证明：证明：ABCD是矩形是矩形 AO=OC；OB=OD；又又AC=BDOA=OB=OC=ODA、B、C、D在以在以O为圆心以为圆心以OA为半径的圆上。为半径的圆上。经过圆心的弦（如图中经过圆心的弦（如图中的的DB）叫做）叫做直径直径COAD连接圆上任意两点的线
4、段连接圆上任意两点的线段（如图（如图AC）叫做）叫做弦弦，与圆有关的概念与圆有关的概念B弦 圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧，简称，简称弧弧以以A、B为端点的弧记作为端点的弧记作 ，读作，读作“圆弧圆弧AB”或或“弧弧AB”。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做每一条弧都叫做半圆。半圆。COABAB弧大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ）叫做叫做优弧优弧。小于半圆的弧（如图中的小于半圆的弧（如图中的 ）叫做）叫做劣弧；劣弧；COABACABC劣弧劣弧与优弧优弧O2O1
5、能够互相重合的两个圆叫能够互相重合的两个圆叫等圆等圆同圆或等圆的半径相等同圆或等圆的半径相等BACD在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧等弧信息快递圆心相同，半径不等的圆叫圆心相同，半径不等的圆叫同心圆同心圆O信息快递同心圆同心圆 等圆等圆圆心相同，半径不同圆心相同，半径不同半径相同，圆心不同半径相同，圆心不同1 1、如图，请正确的方式表示出以点如图，请正确的方式表示出以点A A为端点的优弧及劣弧为端点的优弧及劣弧.F E D C B A O?I,ACD ACF ADE ADC,.AC AE AF AD练习：2、判断下列说法的正误：、判断下列说法的正误：(1
6、)(1)弦是直径；弦是直径；(3)(3)半圆是弧；半圆是弧；(5)(5)过圆心的线段是直径；过圆心的线段是直径；(10)(10)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆。圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆。(6)(6)半圆是最长的弧；半圆是最长的弧；(7)(7)直径是最长的弦；直径是最长的弦；（9）长度相等的两段弧是等弧（2）直径是弦（4）弧是半圆（8）等弧的长度相等练习：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条圆是轴对称图形，任何一条直
7、径所在直线都是它的对称轴直径所在直线都是它的对称轴活动：。问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,37.4m,拱高拱高(弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离)为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？1 18 8.7 73 37 7.4 42 21 1A AB B2 2
8、1 1A AD D4 48 82 21 1A AB B2 21 1A AE EA AB BO OE E 解解：c cm m 5 54 43 3A AE EO OE EO OA A2 22 22 22 2A AC CA AB B A AB BO OD D A AC CO OE E 证证明明：9 90 0O OD DA AE EA AD DO OE EA AA AB B2 21 1A AD D A AC C2 21 1，A AE E四四边边形形A AD DO OE E为为矩矩形形圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?圆是中心对称图形.它的对称中心是圆心.活动：圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心
9、角.OBA信息快递 如图,AOB=将圆心角AOB绕圆心O旋转到 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？OABOABABABAO BAO B根据旋转的性质，将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置时，显然AOBAOB，射线OA与OA重合，OB与OB重合而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，从而点A与点A重合，点B与点B重合.ABA B因此，弧AB与弧AB重合，弦AB与弦AB重合弧AB=弧AB，同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_，所对的弦_；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角_，所对的弧_在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
10、也相等相等相等相等相等结论：结论：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一一 组量相等，它们所对应的其余各组量也相等组量相等，它们所对应的其余各组量也相等总结：证明：AB=AC,ABC等腰三角形又 ACB=60，ABC是等边三角形，AB=BC=CA.AOBBOCAOC.ABCO例1 如图在 O中，弧AB=弧AC，ACB=60，求证：AOB=BOC=AOC.弧AB=弧AC，1.如图，AB、CD是 O的两条弦（1）如果AB=CD，那么_，_（2）如果弧AB=弧CD，那么_，_（3）如果AOB=COD，那么_，_（4）如果AB=CD，OEAB于E，
11、OFCD于F，OE与OF相等吗？为什么？CABDEFOAOBCOD AB=CDAOBCODAB=CD弧AB=弧CD 弧AB=弧CD（4）如果AB=CD，OEAB于E，OFCD于F，OE与OF相等吗？为什么？CABDEFO相 等 AB=CD AO=CO，BO=DO，AOB COD.又OE 、OF分别是AB与CD边上的高，OE =OF.圆周角:?顶点在圆上，并且两边都和圆相交角ABCDEO信息快递练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？?图中ACB 和AOB 有怎样的关系？BCOAAOBACB213探究BCOABCOA（1）在圆上任取 ，画出圆心角BOC 和圆周角BAC，圆心角与圆周角有几种
12、位置关系？BCBCOA?为了进一步探究上面的发现，如图在 O任取一个圆周角BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和BAC的顶点A由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会:（1）在圆周角的一条边上；COAB四、同弧所对圆周角与圆心角的关系BOCA21即?OA=OC，A=C又BOC=A+CBOC=2A（2）在圆周角的内部 圆心O在BAC的内部，作直径AD，利用（）的结果，有12BADBOD 12DACDOC1()2BADDACBODDOC12BACBOCCOABD（3）在圆周角的外部12BADBOD12DACDOC1()2DACDABDOCDOB12BACBOC圆心O在BAC的外部，作直径AD，利
13、用（）的结果，有COABD?圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半。CDABOE如图所示：ADB、ACB、AEB 、AOB 分别是什么角？它们 有何共同点？ADB、ACB、AEB 与AOB有什么关系？?圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周 角相等。CDABOE如图所示：ADB、ACB、AEB 之间有什 么关系？ABC1C2OC3圆周角定理推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径?在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？?在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等 1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边
14、形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ABCD123456781?=?45?=?82?=?73?=?6基础巩固：2.练习:如图 AB是 O的直径,C,D是圆上的两点,若ABD=40,则BCD=.ABOCD403、在O中，CBD=30?,BDC=20,求A的度数。4.利用圆周角定理解题应注意哪些问题？?例?4：?如图，O直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交 O于D，求BC、AD、BD的长86102222ACABBC又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，22105 2(cm)22ADBDAB解：AB是直径，?ACB=?ADB=90在RtABC中，CD平
15、分ACB，AD=BD.ACDBCD OABCD 圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周 角相等。CDABOE圆周角定理的推论ABC1C2OC3圆周角定理推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径二、圆内接多边形：一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。思考：如图是一个圆内接四边形，圆内接 四边形的对角之间有什么关系呢？21 C=1 A=22121证明:连接OB、OD A+C=2 +12121=（2+1）21=3600=180021同理可得:B+D=1800圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补 例 4：如图，
16、O直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交 O于D，求BC、AD、BD的长解：AB是直径，ACB=ADB=90在RtABC中，CD平分ACB，OABCDAD=BD.AD=BD在RtABD中，则设,xBDAD22210 xx25x解得：25BDAD 1、如图、四边形ABCD内接与圆O，E为CD延长向上一点。B=100度，求ADE的度数。ABCDE.O O 2.练习:如图 AB是 O的直径,C,D是圆上的两点,若ABD=40,则BCD=.ABOCD40 4.圆内接四边形的对角互补。当堂训练cmcm 4 41313cmcm 3 35 52.如图，AB是 O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，COD=35，求AOE的度数 1803 35AOE 75解：弧BC=弧CD=弧DE，BOC=COD=DOE=35.AOBCDE1、在、在O中，中，CBD=30,BDC=20,求求A的度的度数。数。3、在O中，CBD=30,BDC=20,求A的度数。图（图（1）图（图（2）再见
