1、几何模型-半角模型探究1、名称的由来：主要因为图形中两个共顶点的，一大一小两个角，小角的度数等于大角的一半。这样的基本图形称之为半角模型。有普通角的半角模型，更多是研究特殊角的半角模型。比如“30和60”、“45和90”、“60和120”2、半角模型的解题策略：通过旋转，得到轴对称全等，进行等量替换。在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，探究BE、DF、EF三条线段之间的数量关系.45FCABDE213E结论：EF=BE+DF把ABE绕点A逆时针旋转90到ADE的位置。据题目条件得AEFAEF。EF=EF=ED+DF=BE+DFEF=BE+DF探求EFC的周长与正方形
2、边长之间的关系。结论：CEFC=BC+CD 结论：SABE+SADF=SAEFF45FCABDE213结论：EF=BE+DF结论：CEFC=BC+CD 结论：SABE+SADF=SAEFBADEAF21FEDCBAE123结论：EF=BE+DF结论：CEFC=BC+CD把ABE绕点A逆时针旋转到ADE的位置。据题目条件得AEFAEF。EF=EF=ED+DF=BE+DFEF=BE+DF 结论：SABE+SADF=SAEF (3)如图，在四边形ABCD中，ABAD，BD180，E、F分别是CB、DC延长线上的点，且 ，BE、DF、EF三条线段之间的数量关系是否仍然成立，若不成立，请写出它们之间的数
3、量关系，并证明.BADEAF21ABCEFDE123结论：BE=FE+DF延长DF 至点E的位置，使得DE=BEAB=AD,B=ADE,BE=DEAEBAFDBAE=DAE,BAD=EAEEAF=EAFAF=AF,AE=AEAEFAEFEF=EFDE=DF+FE,DE=BEEB=FE+DFBADEAF21方法二、截长补短猜想：BE=FE+DFF在BC边上截得BF=DFAB=ADB=ADFBF=DFABFADF(AAS)AF=AF,BAF=FADFAE=FAE又AF=AF,AE=AEAFEAFE(SAS)FE=FEBE=FE+DF如图，已知RtABC中，ACB=90,AC=BC，点D、E在斜边A
4、B上，且DCE=45，（1）探究DE、DA、EB三条线段之间的数量关系。CADED结论：222BEADDE把ACD绕点C逆时针旋转到CBD的位置。据题目条件得CDECDE。DE=DE(ED)2=BE2+(DB)2,BD=ADEB=FE+DFDE2=AD2+BE2（3）应用：在上面问题的条件下，如果AB=10，求 BDAE 的值CADEB2、在正方形 ABCD 中，已知 E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且满足,EAF=45，AE、AF 分别与对角线交于点 M、N。结论：（1）BE+DF=EF （2）CECF=2AB （3）BM2+DN2=MN2 （4）SABE+SADF=SAEF （5）A
5、H=AB （6）SAMN=S 四边形 MNEF （7）AMNDNFBEMAEFBNADAM1、半角模型的解题策略：变式：已知：如图，等边ABC中，点D、E在边AB上，DCE=30，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；CABDE 当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形且顶角DFE为120.DCABDE 若此题中，AD=2,BE=3,你可以求出AC边的长度吗？证明：将ADC绕点C逆时针旋转60至CBD的位置。过点D作DFEB于点F,在RtBDF中DBF=60,DB=AD=2BF=1,DF=ED=,DE=AB=AD+DE+E
6、B=5+即AC=5+319191919如图，在梯形ABCD中，ADBC（BCAD），A=90，AB=BC=12，ECD=45，若BE=4，求ED的长.已知在ABC中，BAC=45,ADBC于点D,若BD=6,CD=4,求ABC的面积ECDMADEAE=CM,HCE=DAECHE=ADE=90AECM1、常见半角模型：90 、60 、1202、半角模型常通过旋转变换聚拢条件，或者通过构造半角模型转化条件。3、在正方形 ABCD 中，已知 E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且满足,EAF=45，AE、AF 分别与对角线交于点 M、N。结论：（1）BE+DF=EF （2）CECF=2AB （3）BM2+DN2=MN2 （4）SABE+SADF=SAEF （5）AH=AB （6）SAMN=S 四边形 MNEF （7）AMNDNFBEMAEFBNADAM
