1、选选修修4-54-5不不等等式式选选讲讲第第二二节节不不等等式式证证明明的的基基本本方方法法高考成功方案第一步高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功方案第二步高考成功方案第三步高考成功方案第三步高考成功方案第四步高考成功方案第四步考纲点击考纲点击3会用向量递归方法讨论排序不等式会用向量递归方法讨论排序不等式4了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学纳法证了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学纳法证 明一些简单问题明一些简单问题5会用数学归纳法证明贝努利不等式：会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1x)n1nx(x1，x0，n为大于为大于1的正整数的正整数)，了解当了解当n为大于为大于
2、1的实数时贝努利不等式也成立的实数时贝努利不等式也成立6会用上述不等式证明一些简单问题能够利用平均值不会用上述不等式证明一些简单问题能够利用平均值不 等式、柯西不等式求一些特定函数的极值等式、柯西不等式求一些特定函数的极值7了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析 法、反证法、放缩法法、反证法、放缩法1设设ab0，求证：，求证：3a32b33a2b2ab2.证明：证明：3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因为因为ab0，所以，所以ab0,3a22b20，从而从而(3a22b2)(ab)0，即即3
3、a32b33a2b2ab2.因为因为x1，x2(0,1)，所以，所以x1x21(1,1)，从而从而0|x1x21|0，所以所以|f(x2)f(x1)|x1x2|.ab02综合法综合法从从 出发，利用定义、公理、定理、性质等，经出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，即过一系列的推理、论证而得出命题成立，即“由因导果由因导果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法的方法，这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法3分析法分析法证明命题时，我们还常常从要证的证明命题时，我们还常常从要证的 出发，逐步寻出发，逐步寻求使它成立的求使它成立的 ，直至所需条件为已知条
4、件或一，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实个明显成立的事实(、或已证明的或已证明的 、等等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法已知条件已知条件结论结论充分条件充分条件定义定义公理公理定理定理性质性质4反证法反证法先假设要证的命题先假设要证的命题 ，以此为出发点，结合已知条，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的 ，得到和命题的条件，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显或已证明的
5、定理、性质、明显成立的事实等成立的事实等)的结论，以说明假设的结论，以说明假设 ，从而，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法证明原命题成立，我们把它称为反证法5放缩法放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 或，或，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法称为放缩法不成立不成立推理推理矛盾矛盾不正确不正确放大放大缩小缩小6数学归纳法数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤数学归纳法证明不等式的一般步骤(1)验证：当验证：当n取取 时结论成立；时结论成立；(2)假设当假设当 时命题成
6、立，证明当时命题成立，证明当 时命题也时命题也成立成立综合综合(1)(2)可知，命题对于任意可知，命题对于任意nn0，且，且n0，n N*都成都成立立第一个值第一个值n0(例如例如n01,2等等)nknk1悟一法悟一法1当被证明的不等式的两端是多项式、分式或对数式时，当被证明的不等式的两端是多项式、分式或对数式时，常采用作差比较法证明常采用作差比较法证明作差比较法证明不等式的一般步骤：作差比较法证明不等式的一般步骤：作差：将不等式左右两边的式子看作整体进行作差作差：将不等式左右两边的式子看作整体进行作差变形：将差式进行变形，变形为一个常数，或变形为若变形：将差式进行变形，变形为一个常数，或变形
7、为若干个因式的积，或变形为一个或几个数干个因式的积，或变形为一个或几个数(式式)的平方和等的平方和等判号：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边判号：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差正负号差正负号结论：肯定不等式成立的结论结论：肯定不等式成立的结论2.当被证明的不等式（或变形后的不等式）的两端都是正数当被证明的不等式（或变形后的不等式）的两端都是正数 且为乘积形式或幂指数形式时，一般使用作商比较法且为乘积形式或幂指数形式时，一般使用作商比较法.作商比较法证明不等式的一般步骤作商比较法证明不等式的一般步骤 作商：将不等式左右两边的式子进行作商作商：将不等式左右两边的式子进行作商.
8、变形：化简商式到最简形式变形：化简商式到最简形式.判断：判断商与判断：判断商与1的大小关系，就是判断商大于的大小关系，就是判断商大于1或小于或小于 1或等于或等于1.结论结论.悟一法悟一法1分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系较难发用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆2利用综合法证明不等式
9、一般有两种途径：从分析法找思利用综合法证明不等式一般有两种途径：从分析法找思路；从路；从“重要不等式重要不等式”，特别是均值不等式找思路用综合，特别是均值不等式找思路用综合法证明不等式的逻辑关系是：法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2BnB.综合法综合法的思维特点是：由因导果的思维特点是：由因导果若本例已知中的若本例已知中的q1，求证：，求证：f(1)与与f(1)中至少有一个不小于中至少有一个不小于2.证明：证明：q1，f(x)x2px1假设假设f(1)与与f(1)都小于都小于2，则，则f(1)f(1)4.而而f(1)f(1)(2p)(2p)4，出现矛盾，出现矛盾，f(1)与与f(1)中至少有
10、一个不小于中至少有一个不小于2.悟一法悟一法1反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题的一般步骤为一般步骤为(1)反设：假定所要证的结论不成立；反设：假定所要证的结论不成立；(否定结论否定结论)(2)归谬：将归谬：将“反设反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于
11、“反设反设”的谬误既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成的谬误既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立立(结论成立结论成立)2适宜用反证法证明的数学命题适宜用反证法证明的数学命题(1)结论本身以否定形式出现的一类命题；结论本身以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；关于唯一性、存在性的命题；(3)结论以结论以“至多至多”、“至少至少”等形式出现的命题；等形式出现的命题；(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题；结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题；(5)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清
12、晰出结论的线索不够清晰通一类通一类3已知函数已知函数f(x)是是(，)上的增函数，上的增函数，a、bR.(1)若若ab0，求证：，求证：f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论解：解：(1)证明：证明：ab0，ab.由已知由已知f(x)的单调性得：的单调性得：f(a)f(b)又又ab0baf(b)f(a)两式相加即得：两式相加即得：f(a)f(b)f(a)f(b)悟一法悟一法1用放缩法证明不等式的基本方法是：欲证用放缩法证明不等式的基本方法是：欲证AB，可通，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间变量，
13、使得过适当放大或缩小，借助一个或多个中间变量，使得BB1，B1B2，BiA，或，或AA1，A1A2，AiB，再利用传递性，达到目的再利用传递性，达到目的悟一法悟一法 使用柯西不等式的一般形式求最值时，关键是结合已使用柯西不等式的一般形式求最值时，关键是结合已知条件构造两个适当的数值，变形为柯西不等式的形式知条件构造两个适当的数值，变形为柯西不等式的形式悟一法悟一法 用数学归纳法证明不等式的关键是由用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立推时成立推证证nk1时也成立，用上归纳假设后，可以采用分析法、时也成立，用上归纳假设后，可以采用分析法、综合法、比较法、放缩法等方法去证明，以前学过的证综合法
14、、比较法、放缩法等方法去证明，以前学过的证明不等式的方法都可以应用明不等式的方法都可以应用热点分析热点分析 不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题目难度不大，属中档题.2011年安徽高考以解答题的形式考查年安徽高考以解答题的形式考查了作差比较法、综合法及分析法在证明不等式中的综合应用，了作差比较法、综合法及分析法在证明不等式中的综合应用，是高考命题的一个新方向是高考命题的一个新方向 考题印证考题印证 点击下图片进入点击下图片进入
