1、栏目索引 课题课题3434 与圆有关的计算与圆有关的计算 栏目索引 总纲目录 基础基础知识梳理知识梳理 考点一 弧长的计算 考点二 扇形面积的计算 考点三 有关圆内接正多边形的计算 栏目索引 总纲目录 中考题型突破中考题型突破 题型一 考查弧长的计算 题型二 考查扇形面积的计算 题型三 考查与圆有关的阴影面积的计算 题型四 考查圆内接正多边形的计算 栏目索引 总纲目录 易错一 在圆中计算弧长时误把圆周角作为圆心角 易错二 当题目中出现几个半径(或直径)时,混淆 了这些半径(或直径)的区别 易混易错突破易混易错突破 栏目索引 河北考情探究 考点 年份 题号 分值 考查方式 1.弧长与扇形面积的计
2、算 2018 25 10 以解答题的形式,与数轴、直线和圆的 位置关系、勾股定理等知识相结合,考 查弧长的计算 2017 23 9 以解答题的形式,与切线的性质、三角 形的外心等知识相结合,考查弧长的计 算 2017 25 11 以解答题的形式,与平行四边形、全等 三角形、锐角三角函数、勾股定理等 知识相结合,考查扇形面积的计算 2016 25 10 以解答题的形式,与切线的性质相结 合,考查圆中弧长及面积的计算 2.有关圆内接正多边形的计算 2018 19 6 以填空题的形式,与图形变换等知识相 结合,考查有关正多边形的计算 2017 16 2 以选择题的形式,与图形的旋转等知识 相结合,考
3、查有关正六边形的计算 备考策略:与圆有关的计算是我省中考的常考内容,常以选择题的形式单独考查,以考查基础知识为主,有时以圆的综合性题目为载体进行考查.由于圆内接正多边形的内容是新课标实施后的新增内容,预 计今后我省中考中对本部分知识的考查将会逐渐加强. 河北考情探究 栏目索引 基础知识梳理 考点一考点一 弧长的计算弧长的计算 由圆的周长公式C= 2R 可以推出n的圆心角所对的弧长的计算公式 为l= .其中,l为弧的长度,R为弧所在圆的半径. 根据弧长公式,在l、R、n这三个量中,已知其中任意两个量,即可求得第三个 量. n R 180 基础知识梳理 栏目索引 基础知识梳理 考点二考点二 扇形面
4、积的计算扇形面积的计算 由圆的面积公式S=R2可以推出n的圆心角所在的扇形的面积计算公式为 (1)S= ;(2)S= lR .其中,S为扇形面积,R为扇形所在圆的半 径,l是扇形的弧长. 根据扇形面积公式,在S、R、n这三个量中,已知其中任意两个量,即可求得第 三个量;或在S、l、R这三个量中,已知其中任意两个量,即可求得第三个量. 2 n R 360 1 2 栏目索引 基础知识梳理 考点三考点三 有关圆内接正多边形的计算有关圆内接正多边形的计算 1.正多边形:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 2.圆内接正多边形:把一个圆n(n3)等分,顺次连接各等分点,则得到一个正n 边形.这个n
5、边形叫做圆的内接正n边形;这个圆叫做正n边形的外接圆;外接圆 的圆心叫做正多边形的中心;外接圆的半径叫做正多边形的半径,每一条边所 对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到边的距离叫做正多边形的边心距. 3.因为多边形可以分割为三角形,所以有关圆内接正多边形的计算可以转化 为三角形的计算. 栏目索引 中考题型突破 题型一题型一 考查弧长的计算考查弧长的计算 该题型主要考查弧长的计算,主要内容包括:根据扇形的圆心角与半径计算弧 长或已知扇形的圆心角、半径、弧长中的任意两个量,求第三个量.该内容比 较简单,考查的题型主要为选择题与填空题. 中考题型突破 栏目索引 中考题型突破 典例典例1 (2018
6、邢台宁晋模拟)如图,半圆O的直径AB=4,P,Q是半圆O上的点,弦 PQ的长为2,则 与 的长度之和为 ( B ) A. B. C. D. AP QB 2 3 4 3 5 3 栏目索引 中考题型突破 答案答案 B 连接OP、OQ,如图所示,则OP=OQ= AB=2. OP=OQ=PQ=2,OPQ为等边三角形. POQ=60. AOP+BOQ=120. 与 的长度之和为 = . 1 2 AP QB 1202 180 4 3 栏目索引 中考题型突破 名师点拨名师点拨 在利用弧长公式进行计算时,一是要在理解的基础上牢记计算公 式;二是理解圆心角、半径、弧长之间的对应关系,否则机械地记忆公式可能 会在
7、计算中出现错误. 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练1 (2017石家庄模拟)如图,圆锥底面半径为r cm,母线长为10 cm,其 侧面展开图是圆心角为216的扇形,则r的值为 ( B ) A.3 B.6 C.3 D.6 答案答案 B 圆锥底面半径为r cm,母线长为10 cm,其侧面展开图是圆心角为 216的扇形, 2r= ,解得r=6. 21610 180 栏目索引 中考题型突破 题型二题型二 考查扇形面积的计算考查扇形面积的计算 该题型主要考查扇形面积的计算,主要内容包括:利用扇形面积的两个计算公 式计算,或已知圆心角、扇形半径、扇形面积中的任意两个量求第三个量;或 已知扇形弧长、
8、扇形半径、扇形面积中的任意两个量求第三个量. 栏目索引 中考题型突破 典例典例2 (2017重庆中考)如图,矩形ABCD的边AB=1,BE平分ABC,交AD于 点E.若点E是AD的中点,以点B为圆心,BE长为半径画弧,交BC于点F,则图中 阴影部分的面积是 ( B ) A.2- B. - 4 3 24 C.2- D. - 8 3 28 栏目索引 中考题型突破 答案答案 B BE平分ABC, ABE=EBF= ABC=45. A=90,ABE=AEB=45. AB=AE=1,BE= = . E是AD的中点,AD=2AE=2. S阴影=S矩形ABCD-SABE-S扇形BEF =12- 11- =
9、- .故选B. 1 2 22 ABEA2 1 2 2 45( 2) 360 3 24 栏目索引 中考题型突破 名师点拨名师点拨 求阴影面积的基本方法是把一个不规则图形的面积经过添补或 分割,转化为几个规则图形面积的和或差,如本题,把所求的阴影面积转化为 矩形ABCD的面积-ABE的面积-扇形EBF的面积,矩形ABCD、ABE、扇 形EBF的面积都可根据相应的公式计算,阴影面积随之求出. 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练2 (2018四川成都)如图,在ABCD中,B=60,C的半径为3,则 图中阴影部分的面积是 ( C ) A. B.2 C.3 D.6 答案答案 C 在ABCD中,B=6
10、0, C=120. C的半径为3, S阴影= =3.故选C. 2 1203 360 栏目索引 中考题型突破 题型三题型三 考查与圆有关的阴影面积的计算考查与圆有关的阴影面积的计算 该题型主要考查与圆有关的阴影面积的计算,该部分内容常与圆的切线、圆 周角定理、勾股定理、图形的旋转等知识相结合,考查的题型既有选择题、 填空题,也有解答题,题目的难度较大. 栏目索引 中考题型突破 典例典例3 (2017唐山乐亭模拟)如图,已知边长为6的等边ABC内接于O. (1)求O的半径; (2)求劣弧 的长和弓形BC(阴影部分)的面积. BC 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)连接OB,OC,作OMBC于
11、M,如图所示. ABC是等边三角形, A=60. BOC=120. 又OB=OC, 栏目索引 中考题型突破 OBC=OCB=30. 又OMBC,BC=6, BM=CM= BC=3. OB= = =2 . O的半径为2 . (2)由(1)知,BOC=120,OB=2 , 劣弧 的长= = , 1 2 BM OBCcos 3 30cos 3 3 3 BC 1202 3 180 4 3 3 弓形BC的面积=S扇形BOC-SBOC= - 62 sin 30=4-3 . 2 120(2 3) 360 1 2 3 3 栏目索引 中考题型突破 名师点拨名师点拨 在计算与圆有关的图形面积时,基本方法是利用“割
12、补法”,即把 一个不规则的图形面积转化为几个规则图形面积的和或差,但在计算这些规 则图形的面积时,有关数据需要利用圆的知识得到,如本题中扇形BOC的圆心 角、半径等. 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练3 (2018秦皇岛海港模拟)如图,AB是O的直径,弦CDAB,C= 30,CD=6,则图中的阴影面积等于 ( D ) A. B. C. D.2 1 2 3 2 栏目索引 中考题型突破 答案答案 D CDAB,CD=6,CE=DE= CD=3. 在RtACE中,C=30, 则AE=CE tan 30=3 = . 在RtOED中,DOE=2C=60. OD= = =2 . OE=OA-AE=
13、OD-AE= . S阴影=S扇形OAD-SOED+SACE 1 2 3 3 3 DE DOEsin 3 60sin 3 3 = - 3+ 3=2. 2 60(2 3) 360 1 2 3 1 2 3 栏目索引 中考题型突破 题型四题型四 考查圆内接正多边形的计算考查圆内接正多边形的计算 该题型主要考查圆内接正多边形的计算,主要内容包括:计算正多边形的边 长、面积等,或与三角形、圆等知识相结合,进行综合考查. 栏目索引 中考题型突破 典例典例4 (2018邢台宁晋模拟)如图,正三角形的边长为12 cm,剪去三个角后成 为一个正六边形,则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为 12 cm. 3
14、 栏目索引 中考题型突破 解析解析 取正六边形的中心O,作ONBC于N,连接OH,OK,如图所示. 六边形DFHKGE是正六边形, AD=DE=DF=BF=4 cm,KOH=60. OH=4 cm. 栏目索引 中考题型突破 NOH= KOH=30, NH= OH=2 cm. 由勾股定理得,ON= = =2 cm. S正六边形DFHKGE= 42 6=24 cm2. 设这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为h cm, 则 4 h=24 ,解得h=12 cm. 1 2 1 2 22 OHHN 22 42 3 1 2 3 3 1 2 33 栏目索引 中考题型突破 名师点拨名师点拨 在正多边形中计
15、算时,基本方法是把正多边形转化为三角形,如本 题,通过作辅助线OH,ON,OK,将正六边形DFHKGE转化为6个全等的等边三 角形或12个全等的直角三角形. 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练4 (2017唐山滦县模拟)如图,将边长为3的正六边形铁丝框 ABCDEF变形为以点A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得扇 形AFB(阴影部分)的面积为 ( B ) A.6 B.18 C.18 D.20 答案答案 B 正六边形ABCDEF的边长为3,AB=BC=CD=DE=EF=FA=3. 的长=36-3-3=12. 扇形AFB(阴影部分)的面积= 123=18. BDF 1 2 栏
16、目索引 易混易错突破 易错一易错一 在圆中计算弧长时误把圆周角作为圆心角在圆中计算弧长时误把圆周角作为圆心角 易混易错突破 典例典例1 (2018黄石中考)如图,AB是O的直径,点D为O上一点,连接AD, BD,已知ABD=30,BO=4,则 的长为 ( D ) A. B. C.2 D. 易 BD 2 3 4 3 8 3 栏目索引 易混易错突破 解析解析 连接OD, ABD=30,AOD=2ABD=60,BOD=120. 的长= = . 答案答案 D BD 1204 180 8 3 易错警示易错警示 在圆中求弧的长度时,容易出现的错误是把圆周角作为圆心角,如 本题,只看到 所对的角是A,而没有
17、分析A是不是 所对的圆心角,因此 出现误选B的错误. BD BD 栏目索引 易混易错突破 易错二易错二 当题目中出现几个半径当题目中出现几个半径(或直径或直径)时时,混淆了这些半径混淆了这些半径(或直径或直径)的区别的区别 典例典例2 (2017贵州遵义中考)已知圆锥的底面积为9 cm2,母线长为6 cm,则圆 锥的侧面积是 ( A ) A.18 cm2 B.27 cm2 C.18 cm2 D.27 cm2 解析解析 设圆锥的底面半径为r,则r2=9,r=3 cm,圆锥的底面周长为2r=6 cm.圆锥的侧面积为 66=18 cm2. 答案答案 A 1 2 栏目索引 随堂巩固检测 1.如果一个扇
18、形的半径是1,弧长是 ,那么此扇形的圆心角的大小为 ( C ) A.30 B.45 C.60 D.90 3 随堂巩固检测 栏目索引 随堂巩固检测 2.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚2次(如图),那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为 ( B ) A. B. C.4 3 2 4 3 D.2+ 3 2 栏目索引 随堂巩固检测 3.设同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r1,r2,r3, 则r1r2r3= ( A ) A.1 B. 1 C.123 D.321 23 32 栏目索引 随堂巩固检测 4.如图,平行四边形ABCD中,AB=AC=4,ABAC,O是对
19、角线的交点,若O过 A、C两点,则图中阴影部分的面积之和为 4 . 栏目索引 随堂巩固检测 5.如图,在ABC中,ACB=90,B=15,以C为圆心,CA长为半径的圆交AB 于D,若AC=6,则 的长为 . AD 栏目索引 随堂巩固检测 6.已知某条圆弧所在圆的半径为2 cm,弧长为 cm,则这条弧所对的圆心角 为 60 . 2 3 7.如图,正六边形ABCDEF的边长为2,则该正六边形的外接圆与内切圆所形 成的圆环面积为 . 栏目索引 随堂巩固检测 8.如图,已知菱形ABCD的边长为1.5 cm,B、C两点在扇形EAF的 上,求 的 长度及扇形BAC的面积. EF BC 栏目索引 随堂巩固检测 答案答案 四边形ABCD是菱形且边长为1.5 cm,AB=BC=1.5 cm. 又B、C两点在扇形EAF的 上, AC=AB=1.5 cm. ABC是等边三角形,BAC=60. 的长= = (cm),S扇形BAC= = (cm2). EF BC 601.5 180 2 2 601.5 360 3 8
