1、课题课题 1616 利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题 A 组 基础题组 一、选择题 1.(2018 邢台模拟)图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在 l 时,拱顶(拱桥洞的 最高点)离水面 2 m,水面宽 4 m.如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( ) A.y=-2x 2 B.y=2x 2 C.y=-0.5x 2 D.y=0.5x2 2.(2017 沧州模拟)治理环境污染刻不容缓,某公司准备修建一个长方体的污水处理池,池底 矩形的周长为 100 m,则池底的最大面积是( ) A.600 m 2 B.625 m 2 C.650 m2 D.675 m2 3
2、.(2018 保定一模)某品牌钢笔进价 8 元,按 10 元 1 支出售时每天能卖出 20 支,市场调查发 现如果每支每涨价 1 元,每天就少卖出 2 支,为了每天获得最大利润,其售价应定为( ) A.4 元 B.12 元 C.13 元 D.14 元 4.(2018 北京中考)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看 做是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度 y(单位:m)与水平距离 x(单位:m)近似满足 函数关系y=ax 2+bx+c(a0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数 模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为( )
3、 A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m 二、填空题 5.(2017 唐山古冶一模)烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升 空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-5 2t 2+20t+1,若这种礼炮在点火升空到最高点处引 爆,则从点火升空到引爆需要的时间为 s. 6.(2018 贺州中考)某种商品每件进价为 20 元,调查表明:在某段时间内若以每件 x 元 (20x30,且 x 为整数)出售,可卖出(30-x)件,若使利润最大,则每件商品的售价应为 元. 7.(2016 保定模拟)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在
4、不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如下表: 温度 t/ -4 -2 0 1 4 植物高度增长量 l/mm 41 49 49 46 25 科学家经过猜想,推测出l与t之间是二次函数关系,由此可以推测最适合这种植物生长的温 度为 . 8.将一条长为20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各围成一个正方形,则这 两个正方形面积之和的最小值是 cm 2. 9.(2018武汉中考)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式 是 y=60t-3 2t 2.在飞机着陆滑行中,最后 4 s 滑行的距离是 m. 三、解答题 10.(
5、2018 盘锦中考)鹏鹏童装店销售某款童装,每件售价为 60元,每星期可卖 100 件,为了促 销,该店决定降价销售,经市场调查反应:每降价1元,每星期可多卖10件.已知该款童装每件 成本 30 元.设该款童装每件售价 x 元,每星期的销售量为 y 件. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式(不求自变量的取值范围); (2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润是多少? (3)当每件童装售价定为多少元时,该店一星期可获得 3 910 元的利润? 若该店每星期想要获得不低于 3 910 元的利润,则每星期至少要销售该款童装多少件? B 组 提升题组 一、选择题 1.(2017
6、廊坊模拟)如图,用长 10 m 的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框(包括窗 棱 CD),若使此窗户的透光面积最大,则最大透光面积为( ) A.50 m 2 B. 50 4: m 2 C. 50 8: m 2 D.50 16: m 2 2.(2016 唐山模拟)军事演习时发射一颗炮弹,经 x s 后炮弹的高度为 y m,且时间 x(s)与高 度 y(m)之间的函数关系式为 y=ax 2+bx(a0),若炮弹在第 8 秒与第 14 秒时的高度相等,则在 下列哪一个时间炮弹的高度是最高的( ) A.第 9 秒 B.第 11 秒 C.第 13 秒 D.第 15 秒 二、填空题 3.(2018
7、沈阳中考)如图,一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着,并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF 分开.已知篱笆的总长为 900 m(篱笆的厚度忽略不计),当 AB= m 时,矩形土地 ABCD 的面积最大. 4.(2018 秦皇岛模拟)小迪同学以二次函数 y=2x 2+8 的图象为灵感设计了一款杯子,如图为杯 子的设计稿,若 AB=4,DE=3,则杯子的高 CE 为 . 三、解答题 5.旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车供游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能 出租一次,且每辆车的日租金 x(元)是 5 的倍数.发现每天的运营规律如下:当 x 不超过 100 元时,观光车能全部租出;当x超
8、过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就 会减少 1 辆.已知所有观光车每天的管理费是 1 100 元. (1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多 少元?(注:净收入=租车收入-管理费) (2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多? 6.(2018 秦皇岛模拟)投资 1 万元围一个矩形菜园(如图),其中一边靠墙,另外三边选用不同 材料建造.墙长 24 m,平行于墙的边的费用为 200 元/m,垂直于墙的边的费用为 150 元/m,设 平行于墙的边长为 x m. (1)设垂直于墙的一边长为 y m,直接写出 y 与 x 之间的函
9、数关系式; (2)若菜园面积为 384 m 2,求 x 的值; (3)求菜园的最大面积. 答案精解精析答案精解精析 A 组 基础题组 一、选择题 1.C 根据题意,设抛物线解析式为 y=ax 2,且抛物线过(2,-2)点,故-2=a22,解得 a=-0.5, 抛物线解析式为 y=-0.5x 2.故选 C. 2.B 3.D 设利润为 w,由题意得,每天利润为 w=(2+x)(20-2x)=-2x 2+16x+40=-2(x-4)2+72.当涨 价 4 元(即售价为 14 元)时,每天利润最大,最大利润为 72 元.故选 D. 4.B 根据题意知,抛物线 y=ax 2+bx+c(a0)经过点(0,
10、54.0),(40,46.2),(20,57.9), 则 = 54.0, 1 600 + 40 + = 46.2, 400 + 20 + = 57.9, 解得 = -0.019 5, = 0.585, = 54.0, x=- 2=- 0.585 2(-0.019 5)=15(m).故选 B. 二、填空题 5. 答案 4 解析 h=-5 2t 2+20t+1=-5 2(t-4) 2+41,当 t=4 秒时,礼炮达到最高点引爆. 6. 答案 25 解析 设利润为w 元,则 w=(x-20)(30-x)=-(x-25) 2+25,20x30,当x=25时,二次函 数有最大值 25,故答案是 25.
11、7. 答案 -1 解析 由函数的对应值(-2,49),(0,49)可知抛物线的对称轴为直线 t=-1,故最适合这种植 物生长的温度为-1 . 8. 答案 12.5 解析 设铁丝的长度为 x cm,则另一段长度为(20-x)cm,设两个正方形面积之和为 S cm 2, 则 S=(1 4x) 2+(20- 4 ) 2 = 1 16x 2+1 16(20-x) 2=1 8(x-10) 2+12.5,当 x=10 时,S 最小,S 最小值=12.5. 9. 答案 216 解析 根据抛物线的对称性可知,飞机在开始 4 秒和最后 4 秒的滑行的距离相等. 当 t=4 时,飞机滑行的距离为 y=604-3
12、24 2=240-24=216 (m),故答案为 216. 三、解答题 10. 解析 (1)y=100+10(60-x)=-10x+700. (2)设每星期利润为 W 元, 则 W=(x-30)(-10x+700)=-10(x-50) 2+4 000. x=50 时,W最大值=4 000. 每件售价定为 50 元时,每星期的销售利润最大,最大利润 4 000 元. (3)由题意:-10(x-50) 2+4 000=3 910 解得:x=53 或 47, 当每件童装售价定为 53 元或 47 元时,该店一星期可获得 3 910 元的利润. 由题意,得-10(x-50) 2+4 0003 910,
13、 解得 47x53. y=100+10(60-x)=-10x+700. 170y230, 每星期至少要销售该款童装 170 件. B 组 提升题组 一、选择题 1.C 设半圆的半径为 x m,则 CD=2x m, AD=10-(4:) 2 . 半圆面积为1 2x 2 m2,矩形面积为 ABBC=-(4+)x2+10xm2, 可设总透光面积为 y m 2, 则 y= 2x 2+10x-(4+)x2 =-(4 + 2)x 2+10x, 最大值为 -102 4*-(4: 2)+ = 50 8:, 最大透光面积为 50 8: m 2. 2.B x 取 8 和 14 时 y 的值相等,抛物线 y=ax
14、2+bx(a0)的对称轴为直线 x=8+14-8 2 =11, 易知此抛物线开口向下,顶点为其最高点,故炮弹达到最大高度时的时间是第 11 秒. 二、填空题 3. 答案 150 解析 (1)设AB=x m,则BC= 1 2 (900-3x),由题意可得 S=ABBC=x1 2(900-3x)=- 3 2(x 2-300x)=-3 2(x-150) 2+33 750,当x=150时,S取得最大值,此时 S=33 750,AB=150 m. 4. 答案 11 解析 由题意可得:D 点坐标为(0,8). AB=4,B 点的横坐标为 2,故 x=2 时,y=24+8=16,即 B(2,16). CD=
15、16-8=8,CE=CD+DE=3+8=11. 三、解答题 5. 解析 (1)由题意知,若观光车能全部租出,则 00, 解得 x22, x 是 5 的倍数, 每辆车的日租金至少应为 25 元. (2)设每天的净收入为 y 元, 当 0100 时,y2=(50- -100 5 )x-1 100=-1 5x 2+70x-1 100=-1 5(x-175) 2+5 025. 当 x=175 时,y2的值最大,最大值为 5 025. 5 0253 900, 当每辆车的日租金为 175 元时,每天的净收入最多. 6. 解析 (1)根据题意,得,y=10 000-200 2150 =-2 3x+ 100
16、3 . 墙的长度为 24 m, 0 - 2 3x + 100 3 0 24 ,解得 0x24. y 与 x 之间的函数关系式为 y=-2 3x+ 100 3 ,x 的取值范围为 0x24. (2)根据矩形面积公式,得 (- 2 3x + 100 3 )x=384, 解得:x=18 或 x=32(不合题意,舍去). x 的值为 18. (3)设菜园的面积是 S,则 S=(- 2 3x + 100 3 )x=-2 3x 2+100 3 x =-2 3(x-25) 2+1 250 3 , -2 30, 当 x25 时,S 随 x 的增大而增大, 0x24, 当 x=24 时,S 取得最大值,最大值为 -2 3(24-25) 2+1 250 3 =416. 答:菜园的最大面积为 416 m 2.
