1、北京市西城区北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷学年度第一学期期末试卷 高三数学高三数学2023.1 第一部分第一部分（选择题选择题 共共 40 分分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。项。（1）已知全集 U=-2，-1，0，1，2，3，集合 A=x Z|x 2，则 UC A=（A）1，0，1（B）2，2，3（C）2，-1，2（D）2，0，3 （2）设复数 z=3 i，则复数 i z 在复平面内对应的点的坐标是（A）（1，3）
2、（B）（1，3）（C）（3，1）（D）（3，1）（3）已知函数()lgf xx=，则()f x（A）是奇函数，且在(0,)+上是增函数（B）是奇函数，且在(0,)+上是减函数（C）是偶函数，且在(0,)+上是增函数（D）是偶函数，且在(0,)+上是减函数（4）已知双曲线 C:2233xy=，则 C 的焦点到其渐近线的距离为（A）2 （B）3 （C）2（D）3（5）设,x yR，且01xy（B）tantanxy（C）42xy（D）1(2)xyyx+（6）在 ABC中，若 c=4，b a=1，cos C=14，则 ABC的面积是（A）1 （B）34 （C）15 （D）3 154（7）“空气质量指数
3、（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当 AQI 大于 200 时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动.某地某天 0 24 时的空气质量指数 y 随时间 t 变化的趋势由函数y=10290,0125624,1224tttt+2”是“sin()sin”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）在 ABC中，AC=BC=1，C=90 0.P 为 AB 边上的动点，则PB PC 的取值范围是 （A）1,14 （B）1,18 （C）1,24 （D）1,28（10）如图，正方形 ABCD 和正方形 CDEF 所在的平面互相垂直.1 是正方形
4、 ABCD 及 其内部的点构成的集合，2 是正方形 CDEF 及其内部的点构成的集合.设 AB=1，给出下列三个结论：1M，2N，使 MN=2;1M，2N，使 EM 土 BN;1M，2N，使 EM 与 BN 所成的角为 600.其中所有正确结论的个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。（11）341()xx的展开式中常数项为_.（用数字作答）（12）已知抛物线24yx=的焦点为 F，准线为 l.则以点 F 为圆心，且与直线 l 相切的圆 的
5、方程是_.（13）已知 an 是等差数列，a1=5，且 a2+2，a3+4，a4+6 成等比数列，则 a6=_;an 的前 n 项和 Sn=（14）设函数()f x=2,1(2)1,1xa xa xx+，若 a=2，则()f x的单调递增区间是_；若()f x的值域为(,)+，则 a的取值范围是_.（15）人口问题是关系民族发展的大事.历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有 学者提出了“Logistic model”:0000()(0)()erKKxf ttxxK=，其中 K，r 0，x 0 均为正常数，且 K x 0，该模型描述了人口随时间 t 的变化规律.给出下列三个结论：(0)f=x
6、 0;()f t 在0,)+上是增函数；0,)t+，()f t 1，求 x 的取值范围.（17）（本小题 14 分）如图，四边形 ABCD 为梯形，AB/CD，四边形 ADEF 为平行四边形.（）求证：CE/平面 ABF;（）若 AB 平面 ADEF，AF AD，AF=AD=CD=AB=2，求：（）直线 AB 与平面 BCF 所成角的正弦值；（）点 D 到平面 BCF 的距离.（18）（本小题 13 分）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计，2021 年 12 月至 2022 年 5 月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）:（）从 2021 年 12 月至 2
7、022 年 5 月中任选 1 个月份，求该月 MPV 零售销量超过这 6 个月 该车型月度零售销量平均值的概率；（）从 2022 年 1 月至 2022 年 5 月中任选 3 个月份，将其中 SUV 的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为 X，求 X 的分布列和数学期望 E X;（）记 2021 年 12 月至 2022 年 5 月轿车月度零售销量数据的方差为21s，同期各月轿车与 对应的 MPV 月度零售销量分别相加得到 6 个数据的方差为 22s，写出 21s与22s的大小 关系.（结论不要求证明）（19）（本小题 15 分）如图，已知椭圆 E：22221xyab+=(0)ab的一个
8、焦点为 F 1（0，1），离心率为22.（）求椭圆 E的方程；（）过点 F 1作斜率为 k 的直线交椭圆 E 于两点 A，B，AB 的中点为 M.设 O 为原点，射线 OM 交椭圆 E 于点 C.当 ABC与 ABO的面积相等时，求 k 的值.（20）（本小题 15 分）已知函数()lneexf xaxx=+，其中aR.（）当 a=0 时，求曲线()yf x=在点（1，(1)f）处的切线方程；（）当 a 0 时，判断()f x的零点个数，并加以证明；（）当 a 0 时，证明：存在实数 m，使()f x m 恒成立.（21）（本小题 15 分）已知 An:a1，a2，an，（n 4）为有穷数列.
9、若对任意的0,1,.,1in，都有1iiaa+1（规定 a0=an），则称 An 具有性质 P.设 Tn=(,)1,22(,1,2,.,2)iji jaajini jn=（）判断数列 A4:1，0.1，1.2，0.5，A5:1，2，2.5，1.5，2 是否具有性质 P?若具有性质 P，写 出对应的集合 Tn；（）若 A4具有性质 P，证明：T4 ；（）给定正整数 n，对所有具有性质 P 的数列 An，求 Tn 中元素个数的最小值.北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高三数学答案及评分参考 第 1 页（共 6 页）北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高三数
10、学答案及评分参考 2023.1 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）（1）B（2）A（3）C （4）B（5）D （6）D （7）C（8）C（9）B（10）C 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）4 （12）22(1)4xy（13）5 26nn （14）(1,2 (0,2（15）（选 得 5 分；只选出其中 1 个得 2 分；只选出其中 2 个得 3 分）注：（13）（14）题第一空 3 分，第二空 2 分；其中（14）题第一空答(1,2)也正确。三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（共 13 分）解：（）22()2sin(cossi
11、n)3cos222xxf xxx 2sin cos3cos2xxx 2 分 sin23cos2xx 4 分 2sin(2)3x 6 分 所以()f x的最小正周期为 7 分（）因为0 x，所以52333x 8 分 因为()1f x ，所以1sin(2)32x 9 分 所以72636x 11 分 解得3124x，所以x的取值范围是 3(,)124 13 分 北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高三数学答案及评分参考 第 2 页（共 6 页）（17）（共 14 分）解：（）如图，在射线AB上取点P，使APDC 1 分 由题设，得/AP DC，所以四边形APCD为平行四边形 所以
12、/PC AD且PCAD 2 分 又四边形ADEF为平行四边形，所以/AD EF且ADEF 所以/PC EF且PCEF 3 分 所以四边形PCEF为平行四边形，所以/PF CE 4 分 因为CE 平面ABF，PF 平面ABF，所以/CE平面ABF 5 分（）（）因为AB 平面ADEF，所以,ABAD ABAF 又ADAF，所以,AB AD AF两两相互垂直 6 分 如图建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(1,1,0)C，(0,0,1)F 所以(,)11 0BC ，(,)2 0 1BF ，(,)2 0 0AB 7 分 设平面BCF的法向量为(,)x y zm，则0,
13、0,BCBF mm 即0,20.xyxz 令1x，则1y，2z 于是(1,1,2)m 9 分 设直线AB与平面BCF所成角为，则 6sincos,6|ABABAB mmm 11 分 所以直线AB与平面BCF所成角的正弦值为66（）因为/ABCD，所以直线CD与平面BCF所成角的正弦值为66 12 分 所以点D到平面BCF的距离为6sin6dCD 14 分 北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高三数学答案及评分参考 第 3 页（共 6 页）（18）（共 13 分）解：（）这6个月MPV车型月度零售销量平均值为 1(0.80.20.20.30.40.4)0.386x 故MPV月
14、度零售销量超过x的月份为12月，4月，5月 2 分 所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，该月MPV零售销量超过x的 概率为30.56 4 分（）从2022年1月至2022年5月，SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有 2个：3月和5月 所以X的所有可能取值为0,1,2 5 分 3335C1(0)10CP X，122335C C3(1)5CP X，212335C C3(2)10CP X 8 分 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 110 35 310 故X的数学期望1366012105105EX 10 分（）2212ss 13 分 北京市西城区 20222023 学年度
15、第一学期期末试卷 高三数学答案及评分参考 第 4 页（共 6 页）（19）（共 15 分）解：（）由题设，2221,2,2.ccaabc 3 分 解得2,1ab 4 分 所以椭圆E的方程为2212yx 5 分（）直线AB的方程为1ykx 由221,22ykxxy 得22(2)210kxkx 7 分 设1122(,),(,)A x yB x y，则12222kxxk，121224()22yyk xxk 9 分 因为ABC与ABO的面积相等，所以点C和点O到直线AB的距离相等 所以M为线段OC的中点，即四边形OACB为平行四边形 11 分 设00(,)C xy，则OCOAOB 12 分 所以012
16、222kxxxk，012242yyyk 将上述两式代入220022xy，得222228162(2)(2)kkk 14 分 解得2k 15 分 北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高三数学答案及评分参考 第 5 页（共 6 页）（20）（共 15 分）解：（）当0a 时，()eexf xx，所以()(1)exfxx 2 分 所以(1)0f，(1)2ef 所以曲线()yf x在点(,()11f处的切线方程为2e2eyx 4 分（）()f x有且只有一个零点，证明如下：5 分()f x的定义域为(0,)，且()(1)exafxxx 6 分 因为0a，所以()(1)e0 xafxx
17、x 所以函数()f x在()0,上单调递增 8 分 因为(1)0f，所以()xf有且只有一个零点1x 9 分（）当0a 时，(1)e()(1)exxaxxafxxxx 设()(1)exg xxxa，则2()(31)e0 xg xxx 所以函数()g x在()0,上单调递增 10 分 因为()00ga，()1(1)e 0agaaa，所以存在0()0,xa，使得0()0g x 12 分()f x与()fx在区间()0,上的情况如下：x0(0,)x0 x0(,)x()fx0()f x 极小值 所以(0,)x，0()()xff x 14 分 取0()mf x，则对于任意的(0,)x，都有()xfm成立
18、 15 分 北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高三数学答案及评分参考 第 6 页（共 6 页）（21）（共 15 分）解：（）数列4A不具有性质P，数列5A具有性质P 2 分 5(1,4),(2,4),(2,5),(3,5)T 4 分（）“4T ”等价于“证明(1,3)与(2,4)两元素中至少有一个在4T中”假设(1,3)与(2,4)两元素都不在4T中，则有31|1aa，且42|1aa 5 分 不妨设12aa 若23aa，则由313221()()aaaaaa，得3111aa，这与31|1aa矛盾 从而有23aa 7 分 同理34aa，从而有1234aaaa 所以01414
19、22142|()()1aaaaaaaaaa 这与4A具有性质P矛盾 所以假设不成立，即4T 9 分（）设12min,(21)knaa aakn，规定1k 时，1knaa；kn时，+11kaa 则11,1kkkkaaa a，所以11|1kkaa 考虑数列311:,kkkBaaa和11211:,nkknCa aaaa，由题设知，他们均具有性质P 11 分 设nT中元素个数的最小值为nd，所以11nndd 所以124124nnnddddn 由（）知 41d，从而3ndn 13 分 当21nm时，令(1,2,)iai im，3(1,2,1)2m iami im；当2nm时，令(1,2,)iai im，1(1,2,)2m iami im，此时均有3ndn 所以nT中元素个数的最小值为3n 15 分
