1、高中数学必修高中数学必修 1 知识点知识点 第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 一、集合有关概念：一、集合有关概念： 1、集合的含义：、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性：、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性； （2）元素的互异性； （3）元素的无序性 说明：说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元 素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元
2、素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样， 不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：、集合的表示： 如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 （1） 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 （2） 集合的表示方法：列举法与描述法。 （）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 （）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某 些对象是否属于这个集合的方法。 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式
3、子描述法：例：不等式 x-32 的解集是xR| x-32或x| x-32 （3） 图示法（文氏图） ： 4、常用数集及其记法：、常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集正整数集 N*或或 N+ 整数集整数集 Z 有理数集有理数集 Q 实数集实数集 R 5、 “属于属于”的概念的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说a 属于集合A 记作 aA ，相反， a 不属于集合A 记作 aA 6、集合的分类：、集合的分类： 1有限集有限集 含有有限个元素的集合 2无限集无限集 含有无
4、限个元素的集合 3空集空集 不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系二、集合间的基本关系 1.“包含包含”关系关系子集子集 对于两个集合A 与 B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称 集合A 为集合 B 的子集，记作A B 注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合B 不包含集合A,记作 A B 或B A 集合集合 A 中有中有 n 个元素个元素,则集合则集合 A 子集个数为子集个数为 2n. 2“相等相等”关系关系(55，且 55，则 5=5) 实例
5、：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同” 结论：对于两个集合A 与B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时,集合 B 的任何一个元 素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合 B，即：A=B A B且B A 任何一个集合是它本身的子集。A A 真子集真子集:如果 A B,且 A B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或 B A) 如果 A B, B C ,那么 A C 如果 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。空集是任何非
6、空集合的真子集。 三、集合的运算三、集合的运算 1交集的定义交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交 集 记作AB(读作”A 交 B”)，即AB=x|xA，且 xB 2、并集的定义并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。记作： AB(读作”A 并 B”)，即 AB=x|xA，或 xB 3、交集与并集的性质：AA = A，A= , AB = BA，AA = A，A= A , AB = BA. 4、全集与补集全集与补集 （1） 全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元
7、素，这个集合就可以看作一个全集。通常 用 U 来表示。 （2） 补集：设S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即 A S） ，由 S 中 所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集） 。 记作： CSA ，即 CSA =x | xS 且 xA （3） 性质：CU(C UA)=A (C UA)A= (C UA)A=U (4)(C UA)(C UB)=C U(AB) (5)(C UA)(C UB)=C U(AB) 二、函数的有关概念二、函数的有关概念 1函数的概念：函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合A 中
8、的任意一个数x， 在集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数 值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域 注意：1、如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义 的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间集合或区间的形式 定义域补充：定义域补充： 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据主要依据
9、是：(1) 分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数 式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义 域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义 域还要保证实际问题有意义. (注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 注 意 ： （1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，
10、如 果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 。 （2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法：定义域一致；表达式相同 (两点必须同时具备) 值域补充值域补充 (1) 、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域先考虑其定义域. (2) 、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。 3. 函数图象知识归纳函数图象知识归纳 (1) 定义：定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) ,
11、 (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点P(x，y) 的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象 C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为 坐标的点(x，y)，均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y 轴的直线最多只有一个交点 S A CsA 的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法：画法： A、描点法：、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以(x,
12、y)为坐标在坐标系内描出相 应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法：、图象变换法： 常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换 、对称变换、对称变换: （1） 将 y= f(x)在 x 轴下方的图象向上翻得到 y=f(x)的图象如：书上 P21 例 5 1 x （2） y= f(x)和 y= f(-x)的图象关于 y 轴对称。如 y ax与y a x a （3） y= f(x)和 y= -f(x)的图象关于 x 轴对称。如 y loga x与y loga x log1 x a 、平移变换、平移变换: 由 f(x)得到 f(x a) 左加右减
13、； 由 f(x)得到 f(x) a 上加下减 (3) 作用：作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发 现解题中的错误。 4. 区间的概念区间的概念 （1） 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示 5. 映射映射 定义定义：一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一 个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合A 到集合B 的 一个映射。记作“f：A B” 给定一个集合A 到 B 的映
14、射，如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 说明说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B 及对应法则 f 是确定的；对应法则 有“方向性”，即强调从集合 A 到集合B 的对应，它与从B 到 A 的对应关系一般是不同的； 对于映射 f：AB 来说，则应满足：（）集合 A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一 的 ； （）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合 B 中的每一个元 素在集合A 中都有原象。 6、函数的表示法：、函数的表示法：
15、;常用的函数表示法及各自的优点： 1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象 的依据：作垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点。 2 解析法：必须注明函数的定义域； 3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征； 4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征 注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值 补充一：分段函数补充一：分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相 应的表达式。分段函数的解
16、析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大 括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是 几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 补充二：复合函数补充二：复合函数 如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(xA) 称为 f 是 g 的复合函数。 7. 函数单调性函数单调性 （1） 增函数增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 x1，x2，当x10
17、 时时,00 时时,y1; 当当 x1 自左向右看，图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 当当 x0 时时,y1; 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 当当 x0 3. 注意对数的书写格式 2、两个重要对数： （1） 常用对数：以 10 为底的对数, log10 N记为lg N ； （2） 自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , loge N记为ln N 3、对数式与指数式的互化 x log N ax N 对数式 指 数 式 对数底数 a 幂底数 对数 x 指数 真数 N 幂 结论：（1）负数和零没有对数 （2）logaa=1, loga1=0 特别地， lg10=1,
18、 lg1=0 , lne=1, ln1=0 (3) 对数恒等式：对数恒等式： aloga N N （二）对数的运算性质（二）对数的运算性质 如果如果 a a 0 0，a a 1 1，M M 0 0， N N 0 0 有：有： 1、 log（ a M N） loga M loga N 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 M 2 、log a N log a M log a N 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 3 、log M n n log M（n R） 一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数 n 倍 说明说
19、明: 1) 简易语言表达简易语言表达:”积的对数积的对数=对数的和对数的和” 2) 有时可逆向运用公式有时可逆向运用公式 3) 真数的取值必须是真数的取值必须是(0,) 4) 特别注意：特别注意： log a MN log a M log a N log a M N log a M log a N 注意：换底公式log b logc b lg b a 0, a 1, c 0, c 1,b 0 a log a lg a 利用换底公式推导下面的结论 log b 1 log b log c log d log d log bn n log b a log a a b c a a m a
20、（二）对数函数（二）对数函数 1、对数函数的概念：函数 y loga x （0，+） (a0，且 a1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。 如： y loga x 1 ， y loga x 2 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 （2） 对数函数对底数的限制：a0，且 a1 2、对数函数的图像与性质：对数函数 y loga x (a0，且a1) m 0 a 1 a 1 图 像 y y 0 0 ( (1 1, ,0 0) ) x x y y 0 0 ( (1 1, ,0 0) ) x x 性 质
21、定义域：（0，） 值域：R 过点(1 ,0), 即当 x 1 时,y0 在(0,+)上是减函数 在(0,+)上是增函数 当 x1 时，y1 时，y0 当 x=1 时，y=0 当 00 且 a 1) 与 y=logax(a0 且 a 1) 互为反函数，图象关于 y=x 对称。 5 比较两个幂的形式的数大小的方法比较两个幂的形式的数大小的方法: (1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断. (2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断. (3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用 1 和 0.
22、 6 比较大小的方法比较大小的方法 (1) 利用函数单调性(同底数)；(2) 利用中间值（如:0,1.） ；(3) 变形后比较；(4) 作差比较 （三）幂函数（三）幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如 y x 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，为常数 2、幂函数性质归纳 （1） 所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） ； （2） 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在0,+ ） 上是增函数特 别地，当1 时，幂函数的图象下凸；当 01) 指数型函数： y=kax(k0,a1) 幂函数： y=xn（ nN*) 对数函数：y=logax(a1) 二次函
23、数：y=ax2+bx+c(a0) 增长快慢：V(ax)V(xn)V(logax) 解不等式 (1) log2x 2x x2 (2) log2x x2 0）的）的 根的分布根的分布 两个根都在（两个根都在（m,n )内内 两个有且仅有一个在（两个有且仅有一个在（m,n)内内 x1(m,n) x2(p,q) y m n x m n m n p q 0 b m n 2a f (m) 0 f (n) 0 f(m)f(n)0 f (m) 0 f (n) 0 f ( p) 0 f (q) 0 两个根都小于两个根都小于 K 两个根都大于两个根都大于 K 一个根小于一个根小于 K，一个根大于，一个根大于 K y k x k k 0 b k 2a f (k ) 0 0 b k 2a f (k ) 0 f(k)0
