1、高中数学选修高中数学选修 4- 4 坐标系与参数方程知识点总结坐标系与参数方程知识点总结 第一讲第一讲 一 平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 (1) 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴数轴上的点与实数之间可以 建立一一对应关系 (2) 平面直角坐标系： 定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称 为 直角坐标系； 数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为 两 条数轴的正方向； 坐标轴水平的数轴叫做 x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做 y 轴或纵坐标轴，x 轴或 y 轴统称为坐标轴； 坐标原点
2、：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； 对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系 (3) 距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2 的中点为 P，填表： 两点间的距离公式 中点 P 的坐标公式 |P1P2| （x1x2）2（y1y2）2 xx1x2 2 yy1y2 2 2. 平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换： xx（0） yy（0） 的作用下， 点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 二 极坐标系
3、(1) 定义：在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴；再选 定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立 了一个极坐标系 (2) 极坐标系的四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向 (3) 图示 2. 极坐标 (1) 极坐标的定义：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径， 记为；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为.有序数对(， )叫做点 M 的极坐标，记作 M(，) (2) 极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点
4、O 的极坐标是(0， )，(R)，若点 M 的极坐标是 M(，)，则点 M 的极坐标也可写成 M(，2k)， (kZ) 若规定0，00)的参数方程是 是参 轴上的椭圆 数)，规定参数的取值范围是0，2) (2) 中心在原点，焦点在 y a2 b2 y2 x2 ( ybsin xbcos 1(ab0)的参数方程是 是参 轴上的椭圆 数)，规定参数的取值范围是0，2) a2 b2 ( yasin (3) 中心在(h ， k) 的椭圆普通方程为 （xh）2 （yk）2 1 ， 则其参数方程为 a2 b2 xhacos (是参数) ykbsin 2. 双曲线的参数方程和抛物线的参数方程 1. 双曲线的
5、参数方程 (1) 中心在原点，焦点在 x x2 y2 xasec 1 的参数方程是 为参数)， 规定参数的取值范围为0，2)且 a2 b2 3 ybtan ， 2 2 轴上的双曲线 (2) 中心在原点，焦点在 y y2 x2 xbtan 1 的参数方程是 为参数) 2. 抛物线的参数方程 轴上的双曲线 a2 b2 ( yasec (1) 抛物线 y22px 的参数方程为 x2pt 2 y2pt (t 为参数) (2) 参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数 三 直线的参数方程 1. 直线的参数方程 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为的直线 l 的参数方程为 2
6、. 直线的参数方程中参数 t 的几何意义 xx0tcos (t 为参数) yy0tsin (1) 参数 t 的绝对值表示参数 t 所对应的点 M 到定点 M0 的距离 (2) 当M0M与 e(直线的单位方向向量)同向时，t 取正数当M0M与 e 反向时，t 取负数， 当 M 与 M0 重合时，t0 3. 直线参数方程的其他形式 对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程我们把过点 xx0tcos M0(x0，y0)，倾斜角为的直线，选取参数 tM0M 得到的参数方程 称为直线参数方程的标准形式，此时的参数 t 有明确的几何意义 (t 为参数) yy0tsin 一般地，过点
7、M (x ，y )，斜率 kb xx0 at ，b 为常数)的直线，参数方程为 为参 0 0 0 (a a (t yy0 bt 数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数 t 不具有标准式中参数的几何意 义 四 渐开线与摆线（了解） 1. 渐开线的概念及参数方程 (1)渐开线的产生过程及定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持 绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆 (2)圆的渐开线的参数方程 以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系设基圆的半 xr（cos sin ） ， 径为 r，绳子外端 M 的坐标为(x，y)，则有 的渐开线的参数方程 yr（sin cos） (是参数)这就是圆 2. 摆线的概念及参数方程 (1)摆线的产生过程及定义 平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫 做平 摆线，简称摆线，又叫旋轮线 (2)半径为 r 的圆所产生摆线的参数方程为 xr（sin ） ， yr（1cos ） (是参数)
