1、 1.2 直角三角形的性质和判定() 第1课时 1.1.掌握勾股定理掌握勾股定理, ,知道直角三角形三边之间的关系知道直角三角形三边之间的关系. . 2.2.会运用勾股定理进行有关计算会运用勾股定理进行有关计算.(.(重点、难点重点、难点) ) 一、勾股定理一、勾股定理 1.1.借助方格纸画一个直角三角形借助方格纸画一个直角三角形, ,使其两直角边分别是使其两直角边分别是3cm,4cm,3cm,4cm, 通过测量通过测量, ,其斜边为其斜边为_cm._cm. 2.2.如图如图, ,四边形均是正方形四边形均是正方形( (小正方形网格边长均为小正方形网格边长均为1),S1),SA A=_,=_,
2、S SB B=_,S=_,SC C=25,=25,则它们的面积之间满足则它们的面积之间满足:_.:_. 5 5 1616 9 9 S SA A+S+SB B=S=SC C 【总结总结】勾股定理勾股定理: :直角三角形两直角边直角三角形两直角边a,ba,b的的_, ,等于斜等于斜 边边c c的的_, ,即即_. . 平方和平方和 平方平方 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 二、勾股定理的拼图验证二、勾股定理的拼图验证 如图如图, ,将将4 4个非等腰的直角三角形拼成一个个非等腰的直角三角形拼成一个 大的正方形大的正方形. . 1.1.拼得大正方形的边长为拼得大正方形的边长为_,_,则它的
3、面积则它的面积 是是: _;: _;大正方形的面积还可以表示为大正方形的面积还可以表示为_+4_+4_._. 2.2.由它们的面积关系可得由它们的面积关系可得_=_+4_=_+4_,_,整理得整理得_._. 1 ab 2 1 ab 2 a+ba+b (a+b)(a+b)2 2 c c2 2 (a+b)(a+b)2 2 c c2 2 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 ( (打“打“”或“”或“”)”) (1)(1)一个直角三角形的两边长分别是一个直角三角形的两边长分别是3 3和和4,4,则第三边长为则第三边长为5.5. ( )( ) (2)(2)如果如果ABCABC中中,C=90,C=9
4、0, ,那么那么ABAB2 2+BC+BC2 2=AC=AC2 2. . ( )( ) (3)(3)勾股定理适用于任意的直角三角形勾股定理适用于任意的直角三角形. . ( )( ) (4)(4)在直角三角形中在直角三角形中, ,任意两边的平方和等于第三边的平方任意两边的平方和等于第三边的平方. . ( )( ) 知识点知识点 1 1 勾股定理的证明勾股定理的证明 【例例1 1】利用四个如图利用四个如图1 1所示的直角三角形所示的直角三角形, ,拼出如图拼出如图2 2所示的图所示的图 形形, ,验证勾股定理验证勾股定理. . 【思路点拨思路点拨】利用图形间的数量关系利用图形间的数量关系“大正方形
5、面积大正方形面积= =四个直四个直 角三角形面积角三角形面积+ +小正方形面积小正方形面积”来验证来验证. . 【自主解答自主解答】如题干图所示如题干图所示, ,在图在图2 2中中, ,利用图利用图1 1边长为边长为a,b,ca,b,c的的 四个直角三角形拼成一个以四个直角三角形拼成一个以c c为边长的正方形为边长的正方形, ,则图则图2 2中的小正中的小正 方形的边长为方形的边长为(b(b- -a),a),面积为面积为(b(b- -a)a)2 2, ,四个直角三角形的面积为四个直角三角形的面积为 4 4 ab=2ab.ab=2ab.由图由图2 2可知可知, ,大正方形的面积大正方形的面积=
6、=四个直角三角形的四个直角三角形的 面积面积+ +小正方形的面积小正方形的面积, ,即即c c2 2=(b=(b- -a)a)2 2+2ab,+2ab,则则a a2 2+b+b2 2=c=c2 2问题得证问题得证. . 1 2 【总结提升总结提升】勾股定理的证明勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多勾股定理的证明方法很多, ,通过对图形的割补、拼接等方法通过对图形的割补、拼接等方法, ,利利 用图形面积之间的关系进行证明用图形面积之间的关系进行证明, ,也可把直角三角形放在方格也可把直角三角形放在方格 中中, ,通过数格子、计算或用面积方法证明通过数格子、计算或用面积方法证明. . 知识点知识
7、点 2 2 勾股定理的应用勾股定理的应用 【例例2 2】如图如图, ,在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=90, , CDAB,DCDAB,D为垂足为垂足,AC=2.1,AB=3.5.,AC=2.1,AB=3.5. 求求:(1)BC:(1)BC的长的长. . (2)(2)ABCABC的面积的面积. . (3)(3)斜边斜边ABAB上的高上的高CDCD的长的长. . (4)(4)斜边被分成的两部分斜边被分成的两部分ADAD和和BDBD的长的长. . 【思路点拨思路点拨】(1)(1)勾股定理勾股定理BCBC2 2=AB=AB2 2- -ACAC2 2BC.BC. (2)(2)两直角边的积的
8、一半两直角边的积的一半ABCABC的面积的面积. . (3)(3)ABCABC面积的两种表示方法面积的两种表示方法 ACACBC= ABBC= ABCDCD.CDCD. (4)(4)勾股定理勾股定理ADAD2 2=AC=AC2 2- -CDCD2 2BD=ABBD=AB- -AD.AD. 1 2 1 2 【自主解答自主解答】(1)BC(1)BC2 2=AB=AB2 2- -ACAC2 2=3.5=3.52 2- -2.12.12 2=2.8=2.82 2, ,所以所以BC=2.8.BC=2.8. (2)S(2)S ABCABC= = ACACBC=BC= 2.12.12.8=2.94.2.8=
9、2.94. (3)(3)由三角形的面积公式得由三角形的面积公式得 ACACBC=BC= ABABCD,CD, 所以所以 2.12.12.8=2.8= 3.53.5CD,CD,解得解得CD=1.68.CD=1.68. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (4)(4)在在RtRtACDACD中中, ,由勾股定理得由勾股定理得:AD:AD2 2+CD+CD2 2=AC=AC2 2, , 所以所以ADAD2 2=AC=AC2 2- -CDCD2 2=2.1=2.12 2- -1.681.682 2 =(2.1+1.68)(2.1=(2.1+1.68)(2.1- -1.68)1.68) =3
10、.78=3.780.420.42 =2=21.891.892 20.210.21 =2=22 29 90.210.210.21,0.21, 所以所以AD=2AD=23 30.21=1.26.0.21=1.26. 所以所以BD=ABBD=AB- -AD=3.5AD=3.5- -1.26=2.24.1.26=2.24. 【总结提升总结提升】运用勾股定理求解线段长度问题的运用勾股定理求解线段长度问题的“四步法四步法” 1.1.找直角找直角: :找出图中的直角三角形找出图中的直角三角形, ,或作辅助线构造直角三角形或作辅助线构造直角三角形. . 2.2.定关系定关系: :找出所求线段与直角三角形三边的
11、关系找出所求线段与直角三角形三边的关系. . 3.3.计算计算: :根据勾股定理计算相关线段的平方根据勾股定理计算相关线段的平方. . 4.4.求值求值: :估算所求数值是哪个数的平方估算所求数值是哪个数的平方, ,然后确定线段长度然后确定线段长度. . 知识点知识点 3 3 利用勾股定理解决实际问题利用勾股定理解决实际问题 【例例3 3】如图如图, ,在公路在公路ABAB旁有一座山旁有一座山, , 现有一现有一C C处需要爆破处需要爆破, ,已知点已知点C C与公路与公路 上的停靠站上的停靠站A A距离为距离为300m,300m,与公路上与公路上 另一停靠站另一停靠站B B的距离为的距离为4
12、00m,400m,且且CACB,CACB,为了安全起见为了安全起见, ,爆破点爆破点C C 周围半径周围半径250m250m范围内不得进入范围内不得进入, ,问在进行爆破时问在进行爆破时, ,公路公路ABAB段是否段是否 因有危险而需要暂时封锁因有危险而需要暂时封锁? ? 【思路点拨思路点拨】要判断公路要判断公路ABAB段是否需要封锁段是否需要封锁需要计算点需要计算点C C到到 ABAB的距离与的距离与250m250m的大小关系的大小关系借助勾股定理和三角形的面积计借助勾股定理和三角形的面积计 算点算点C C到到ABAB的距离的距离. . 【自主解答自主解答】过点过点C C作作CDABCDAB
13、于于D.D. 因为因为BC=400m,AC=300m,ACB=90BC=400m,AC=300m,ACB=90, , 根据勾股定理根据勾股定理, ,得得ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2, ,即即3003002 2 +400+4002 2=AB=AB2 2, ,所以所以AB=500m.AB=500m. 由三角形的面积可知由三角形的面积可知: AB: ABCD= BCCD= BCAC,AC,所以所以500500CD=CD= 400400300,300,所以所以CD=240m.CD=240m. 因为因为240250,240250,即点即点C C到到ABAB的距离小于的距离小于250
14、m,250m,所以有危险所以有危险, ,公路公路ABAB 段需要暂时封锁段需要暂时封锁. . 1 2 1 2 【总结提升总结提升】应用勾股定理解决实际问题的步骤应用勾股定理解决实际问题的步骤 1.1.读懂题意读懂题意, ,建立数学模型建立数学模型. . 2.2.分析数量关系分析数量关系, ,数形结合数形结合, ,正确标图正确标图, ,将已知条件体现到图形将已知条件体现到图形 中中, ,充分利用图形的功能和性质充分利用图形的功能和性质. . 3.3.应用勾股定理进行计算或建立等量关系应用勾股定理进行计算或建立等量关系, ,构建方程求解构建方程求解. . 4.4.解决实际问题解决实际问题. . 题
15、组一题组一: :勾股定理的证明勾股定理的证明 1.1.历史上对勾股定理的一种证法采用了右面历史上对勾股定理的一种证法采用了右面 图形图形: :其中两个全等的直角三角形边其中两个全等的直角三角形边AE,EBAE,EB在在 一条直线上一条直线上, ,证明中用到的面积相等关系是证明中用到的面积相等关系是( ( ) ) A.SA.S EDAEDA=S =S CEBCEB B.SB.S EDAEDA+S +S CEBCEB=S =S CDECDE C.SC.S四边形 四边形CDAECDAE=S =S四边形 四边形CDEBCDEB D.SD.S EDAEDA+S +S CDECDE+S +S CEBCEB
16、=S =S四边形 四边形ABCDABCD 【解析解析】选选D.D.由由S S EDAEDA+S +S CDECDE+S +S CEBCEB=S =S四边形 四边形ABCDABCD, , 可知可知 ab+ cab+ c2 2+ ab= (a+b)+ ab= (a+b)2 2, , 所以所以c c2 2+2ab=a+2ab=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2, ,整理得整理得a a2 2+b+b2 2=c=c2 2, , 所以证明中用到的面积相等关系是所以证明中用到的面积相等关系是: : S S EDAEDA+S +S CDECDE+S +S CEBCEB=S =S四边形 四边形ABCDABC
17、D. . 1 2 1 2 1 2 1 2 2.2.勾股定理是几何中的一个重要定理勾股定理是几何中的一个重要定理, ,在我国古算书在我国古算书周髀算周髀算 经经中就有“若勾三中就有“若勾三, ,股四股四, ,则弦五”的记载则弦五”的记载. .如图如图1 1是由边长相是由边长相 等的小正方形和直角三角形构成的等的小正方形和直角三角形构成的, ,可以用其面积关系验证勾股可以用其面积关系验证勾股 定理定理. .图图2 2是由图是由图1 1放入矩形内得到的放入矩形内得到的,BAC=90,BAC=90,AB=3,AC=4,AB=3,AC=4, 点点D,E,F,G,H,ID,E,F,G,H,I都在矩形都在矩
18、形KLMJKLMJ的边上的边上, ,则矩形则矩形KLMJKLMJ的面积为的面积为 ( ( ) ) A.90A.90 B.100B.100 C.110C.110 D.121D.121 【解析解析】选选C.C.延长延长ABAB与与KLKL相交于相交于N,N,延长延长ACAC与与MLML相交于相交于Q,Q,根据勾根据勾 股定理中的赵爽弦图知股定理中的赵爽弦图知: :ABCABCQCGQCGLGFLGFNFB,NFB,根据全根据全 等三角形对应边相等等三角形对应边相等, ,得得ML=3+4+4=11,KL=3+4+3=10,ML=3+4+4=11,KL=3+4+3=10,所以矩形所以矩形 KLMJKL
19、MJ的面积为的面积为110.110. 3.3.如图如图, ,将将RtRtABCABC绕其锐角顶点绕其锐角顶点A A逆时针旋转逆时针旋转9090得到得到RtRtADE,ADE, 连接连接BE,BE,延长延长DE,BCDE,BC相交于点相交于点F,F,则有则有BFE=90BFE=90, ,且四边形且四边形ACFDACFD 是一个正方形是一个正方形. . (1)(1)判断判断ABEABE的形状的形状, ,并说出理由并说出理由. . (2)(2)用含用含b b的代数式表示四边形的代数式表示四边形ABFEABFE的面积的面积. . (3)(3)说明说明:a:a2 2+b+b2 2=c=c2 2. . 【
20、解析解析】(1)(1)ABEABE是等腰直角三角形是等腰直角三角形. . 理由理由: :因为因为RtRtABCABC绕其锐角顶点绕其锐角顶点A A逆时针旋转逆时针旋转9090得到得到RtRtADE,ADE, 所以所以BAC=DAE,BAC=DAE,所以所以BAE=BAC+CAE=CAE+DAE=90BAE=BAC+CAE=CAE+DAE=90, , 又因为又因为AB=AE,AB=AE,所以所以ABEABE是等腰直角三角形是等腰直角三角形. . (2)(2)因为四边形因为四边形ABFEABFE的面积等于正方形的面积等于正方形ACFDACFD的面积的面积, , 所以四边形所以四边形ABFEABFE
21、的面积等于的面积等于b b2 2. . (3)(3)因为因为S S正方形 正方形ACFDACFD=S =S BAEBAE+S +S BFEBFE, , 即即:b:b2 2= c= c2 2+ (b+a)(b+ (b+a)(b- -a),a), 整理整理:2b:2b2 2=c=c2 2+(b+a)(b+(b+a)(b- -a),a),所以所以a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. . 1 2 1 2 题组二题组二: :勾股定理的应用勾股定理的应用 1.(20131.(2013佛山中考佛山中考) )如图如图, ,若若A=60A=60,AC=20m,AC=20m,则则BCBC大约是大约是( (结
22、结 果精确到果精确到0.1m)0.1m) ( ( ) ) A.34.64 mA.34.64 m B.34.6 mB.34.6 m C.28.3 mC.28.3 m D.17.3 mD.17.3 m 【解析解析】选选B BA=60A=60，C=90C=90， B=30B=30，AB=2ACAB=2AC， AC=20 mAC=20 m，AB=40 mAB=40 m， 22 BCABAC1 6004001 20020 334.6 m . 2.(20132.(2013滨州中考滨州中考) )在在ABCABC中，中，C=90C=90，AB=7AB=7，BC=5BC=5，则，则 边边ACAC的长为的长为_
23、【解析解析】在在ABCABC中，中，C=90C=90，AB=7AB=7，BC=5BC=5， AC= AC= 答案：答案： 2222 ABBC752 6. 2 6 3.(20133.(2013张家界中考张家界中考) )如图，如图，OP=1OP=1，过，过P P作作PPPP1 1OPOP且且PPPP1 1=1=1， 得得OPOP1 1= = 再过再过P P1 1作作P P1 1P P2 2OPOP1 1且且P P1 1P P2 2=1=1，得，得OPOP2 2= = 又过又过P P2 2作作 P P2 2P P3 3OPOP2 2且且P P2 2P P3 3=1=1，得，得OPOP3 3=2=2；
24、依此法继续作下去，得依此法继续作下去，得 OPOP2 2 012 012=_. =_. 2； 3； 【解析解析】由勾股定理可得：由勾股定理可得：OPOP1 1= OP= OP2 2= OP= OP3 3=2= =2= ， 所以所以OPOP2 2 012 012= = 答案：答案： 2；3，4， 2 013. 2 013 4.4.如图如图, ,直线直线l上有三个正方形上有三个正方形a,b,c,a,b,c,若若a,ca,c的面积分别为的面积分别为5 5和和11,11, 则则b b的面积为的面积为 . . 【解析解析】如图如图, ,因为因为a,b,ca,b,c都是正方形都是正方形, ,所以所以AC=
25、CD,ACD=90AC=CD,ACD=90. . ACB+DCE=ACB+BAC=90ACB+DCE=ACB+BAC=90, , 即即BAC=DCE,ABC=CED=90BAC=DCE,ABC=CED=90, , AC=CD,AC=CD, ACBACBCDE,AB=CE,BC=ED.CDE,AB=CE,BC=ED. 在在RtRtABCABC中中, ,由勾股定理得由勾股定理得:AC:AC2 2=AB=AB2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2+DE+DE2 2, ,即即 S Sb b=S=Sa a+S+Sc c=5+11=16.=5+11=16. 答案答案: :1616 5.5.小明将一副三
26、角板如图所示摆放在一起小明将一副三角板如图所示摆放在一起, ,发现只要知道其中发现只要知道其中 一边的长就可以求出其他各边的长一边的长就可以求出其他各边的长, ,若已知若已知CD=2,CD=2,求求ACAC的长的长. . 【解析解析】BDBDCDCD2 2，BCBC 设设ABABx x，则，则ACAC2x2x， 22 222 2， 2 2 2 x2 22x， 2 64 6 x AC2AB 33 ， 题组三题组三: :利用勾股定理解决实际问题利用勾股定理解决实际问题 1.(20131.(2013济南中考济南中考) )如图如图, ,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端, ,绳绳
27、 子末端刚好接触到地面子末端刚好接触到地面, ,然后将绳子末端拉到距离旗杆然后将绳子末端拉到距离旗杆8m8m处处, ,发发 现此时绳子末端距离地面现此时绳子末端距离地面2m.2m.则旗杆的高度则旗杆的高度( (滑轮上方的部分忽滑轮上方的部分忽 略不计略不计) )为为 ( ( ) ) A.12 mA.12 m B.13 mB.13 m C.16 mC.16 m D.17 mD.17 m 【解析解析】选选D.D.如图所示如图所示, ,作作BCAEBCAE于点于点C,C,则则BC=DE=8m,BC=DE=8m,设设AE=xm,AE=xm, 则则AB=xm,AC=(xAB=xm,AC=(x- -2)m
28、,2)m,在在RtRtABCABC中中,AC,AC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2, ,即即(x(x- -2)2)2 2+8+82 2=x=x2 2, , 解得解得x=17.x=17. 2.2.如图如图, ,在水塔在水塔O O的东北方向的东北方向32m32m处有一抽水站处有一抽水站A.A.在水塔的东南在水塔的东南 方向方向24m24m处有一建筑工地处有一建筑工地B,B,若在若在ABAB间建一直水管间建一直水管, ,则水管的长为则水管的长为 ( ( ) ) A.45m B.40m A.45m B.40m C.50m C.50m D.56mD.56m 【解析解析】选选B.B.由题意知由题
29、意知AOBAOB为直角三角形为直角三角形, ,因为因为OA=32 m,OA=32 m, OB=24 m,OB=24 m, 所以所以AB= =40(m).AB= =40(m). 2222 AOBO3224 3.3.在布置新年联欢会的会场时在布置新年联欢会的会场时, ,小虎准备把同学们做的拉花用小虎准备把同学们做的拉花用 上上, ,他搬来了一架高为他搬来了一架高为2.5m2.5m的梯子的梯子, ,要想把拉花挂在高要想把拉花挂在高2.4m2.4m的墙的墙 上上, ,小虎应把梯子的底端放在距离墙小虎应把梯子的底端放在距离墙 m m处处. . 【解析解析】由勾股定理得，梯子的底端到墙的距离为由勾股定理得
30、，梯子的底端到墙的距离为 =0.7(m).=0.7(m). 答案：答案：0.70.7 22 2.52.4 4.4.如图如图, ,某人欲横渡一条河某人欲横渡一条河, ,由于水流的影响由于水流的影响, ,实际上岸地点实际上岸地点C C偏偏 离欲到达点离欲到达点B 200m,B 200m,结果他在水中实际游了结果他在水中实际游了520m,520m,则该河流的宽则该河流的宽 度为度为 m.m. 【解析解析】由勾股定理得，由勾股定理得， AB= =480(m).AB= =480(m). 答案：答案：480480 2222 ACBC520200 5.5.如图如图, ,在一个高为在一个高为6m,6m,长为长
31、为10m10m的楼梯表面铺地毯的楼梯表面铺地毯, ,则地毯的长则地毯的长 度至少为多少米度至少为多少米? ? 【解析解析】在在RtRtABCABC中中,AB,AB2 2=AC=AC2 2- -BCBC2 2=10=102 2- -6 62 2=8=82 2, ,所以所以AB=8m,AB=8m,则则 AB+BC=8+6=14(m),AB+BC=8+6=14(m), 所以地毯的长度至少为所以地毯的长度至少为14m.14m. 【想一想错在哪？想一想错在哪？】已知直角三角形的两条边长分别为已知直角三角形的两条边长分别为5 5和和12,12, 则其第三条边的长为则其第三条边的长为 . . 提示提示: :长度分别为长度分别为5 5和和1212的两条边不一定都是直角边的两条边不一定都是直角边, ,应分两应分两 种情况讨论种情况讨论! !
