1、1.2 函数及其表示学点：探究与梳理自主探究探究问题：函数的概念，函数符号的内涵及函数的三要素是什么？探究问题：函数有哪三种表示方法，各自的优缺点是什么，如何正确恰当的选择方法表示函数?探究问题：如何理解分段函数，怎样研究分段函数的性质?重点把握根据函数的定义可知函数有三要素：定义域，值域和对应关系，由于函数的值域被定义域和对应关系确定，因此，只要两个函数的定义域和对应关系分别相同这两个函数就是相等函数2.常见求值域的几种类型:用表格形式给出的函数，其值域是表格中实数的值构成的集合；用图象形式给出的函数，其值域是图象在轴上的投影所覆盖的实数的集合；用解析式给出的函数，用相应方法（如观察法，配方
2、法，换元法等），由解析式，定义域去确定；实际问题给出的函数，由实际问题的意义确定正确认识分段函数. 分段函数是一个函数而并非几个函数，只不过在定义域的函数不同子集内解析式不一样，它的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集研究分段函数性质时，应遵循“先分后合”的原则函数与映射（）在映射中，集合A与B的地位是不对等的.一般地，我们并不要求B中的每一个元素都与A中的唯一元素对应，因此，从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是具有不同要求的，即映射具有方向性.（）集合A、B也可以是同一个集合，可以是数集、点集或其他，特别地，当A、B是非空数集时，映射f: AB，又称为A到B的
3、函数，即函数是特殊的映射.题例：解析与点拨例1 求下列函数的定义域：(1) ； (2)； (3) 解析：(1)要使函数有意义，则 ，从而，函数的定义域为(2) 要使函数有意义，则 ，从而，函数的定义域为(3) 要使函数有意义，则，从而，函数的定义域为点拨：求函数的定义域要注意：（1）分母不为零，（2）开偶次方被开方数非负（3）零的零次幂无意义等例2 下列各组函数：(1) ； (2)；(3) ；(4) 其中，表示相等函数的是点拨：判断两个函数是否相等，主要看定义域和对应关系，它们都相同，则是相等函数，否则，就不是相等函数例3 (1)已知的定义域是，求的定义域; (2)已知的定义域是，求的定义域解
4、析：（1）的定义域是，使有意义的条件是，即 ，则的定义域为（2）的定义域是，的定义域是点拨：此题是已知的定义域，求复合函数定义域的问题，此题的一般解法是:若的定义域是，则的定义域是使有意义的的集合。已知的定义域，求的定义域的方法是：若的定义域是，则在上的取值范围，即的定义域例4 求下列函数的值域：（1） ； （2）；（3）解析：（1）， ， 函数的值域是（2）由， ，故函数的值域为（3）由，得函数的定义域为，令，则，点拨：一般地，求形如（，且）的值域，可把变形为，得值域，此法可称为“分离常数法”；有关一元二次函数的值域问题，一般用配方法，要注意自变量的取值范围；形如的函数，可用换元法:令，将无
5、理函数化为有理函数，但要注意变量的取值范围例5作出下列函数的图象：（1） （2） （3）解析：（1）这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线上（2）这个函数的图象由两部分组成：当时，为双曲线的一段，当时，为直线的一段(3) ， 4 y y 2 1 -2 O 1 2 3 x o 1 x -1 y 2 -2 O 1 2 x -3 -4点拨：函数的图象不一定是一条或几条无限长平滑的曲线，也可以是一些点、一些线段、一段曲线等例6 求下列函数的解析式：（1）已知，求一次函数的解析式；（2）已知，求；（3）已知函数满足，求解析：（1）设， 则 ，（2）法一：， 法二：， ， （3），将其中x换成得：，由
6、得点拨：求函数解析式常用方法：待定系数法、配凑法（或换元法）、解方程法等例7 如图，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7，腰长为，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线从左至右移动（与梯形ABCD的边有两个交点）时，直线把梯形分成两部分，令BF=x，试写出左边部分的面积y与x之间的函数关系解析：过点A,D分别作AGBC，DHBC,垂足分别是G,H，因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45，AB=,所以BG=AG=DH=HC=2,又BC=7，所以AD=GH=3当点F在线段BG上，即时，；当点F在线段GH上，即时, ；当点F在线段HC上，即时, 所以，所求的函数解析式为 A D B G
7、 H C 点拨：解此题时要注意分类讨论，可画出三个图形分析，分段写出函数解析式学业水平测试巩固基础1下列各组函数表示相等函数的是( ) 2函数的定义域是 3函数的定义域是，则其值域是 yx4.点在映射下的对应元素为，则点在作用下的对应元素是 5. _ 36.已知函数的图象如图所示， 则函数的解析式为= 能力提升7函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 8满足条件的所有集合A的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 49 , = .10若 11已知函数 12求下列函数的定义域：（1） ； （2）；（3） 13求下列函数的值域：（1） （2） （3） （4） （5）14
8、若函数的定义域是A，的定义域是B，,求实数的取值范围.15.已知函数A. 1 B. 2 C. 3 D. 416.函数的图象是（ ）A. y B. y C. y D. y o x o x o x o x17.已知函数则不等式的解集为（ ）A. -1,1 B. -2,2 C. -2,1 D.-1,218.已知是一次函数，若，则= 19.若函数的定义域是0,1, 则函数的定义域是 20.求下列函数的解析式： (1)已知，求；（2）已知，求；（3）已知，求21.如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A（终点）运动，设点P D C运动的路程为x，APB的面积为
9、y, 求：（1）y与x之间的函数解析式 ； P（2）画出函数的图象 A B22.作出下列函数的图象：(1)； (2)拓展创新23设( )A. B. C. 1 D. 024设的定义域是，则的定义域是 25.设是定义在R上的函数，f(0)=1且对任意实数x、y，都有，求函数的解析式26.某市出租车的计价标准是：4千米以内10元（含4千米），超出4千米且不超过18千米的部分1.2元/千米，超出18千米的部分1.8元/千米（1）如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数解析式；（2）如果某人乘车行驶了20千米，他要付多少车费？自主发展1若已知函数的解析式，那么求函数的定义域就是求使函数的解析式有
10、意义的自变量的取值范围。常见的有以下几种情况：（1）如果是整式，那么函数的定义域为实数集R；（2）如果是二次根式，那么函数的定义域是使被开方数大于或等于零的实数的集合；（3）如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（4）若是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使每个部分有意义的实数的集合的交集2函数解析式的求法：（1）配凑法和换元法 如果已知复合函数的表达式，要求的解析式时，若表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法（也叫直接变换法）。当然，亦可用换元法求的解析式但要注意，无论是配凑法还是换元法，所求函数的定义域必须满足两个条件：是函数的值域，且使的解析式有意义（2
11、）待定系数法已知函数的模型（如一次函数、二次函数等），一般的方法是设出函数的解析式，然后根据题设条件求待定系数（3）消去法 利用方程的思想，采用解方程组的方法消去不需要的函数式子，而得到的表达式，此法也称解方程法（4）赋值法 可以是取特殊值，也可是变量换变量，然后通过解方程组求出参数3用图象法表示一个函数是数形结合的基础，判断一个图形是不是函数图象的依据仍旧是函数的定义函数图象的形状与定义域、对应法则有关，定义域确定变量的分布范围，对应法则确定形状，如何从图象中提取有用的信息，把“形”转化成“数”是解决问题的关键4作函数图象，首先明确函数定义域，其次明确函数图象是点、线段或直线等，体会定义域对
12、图象的控制作用，处理好端点处的情况作图时，先不受定义域限制作出完整图象，然后再截取1.2函数及其表示参考答案学业水平测试1.C；2. ；3.-2,-1,2；4.（-3,1）；5. ；6. ；7.A ；8.D 9. , ；10. ；11. 6 ；12.(1) (2) (3) ；13.(1) (2) (3) (4) (5) ； 14. ； 15. C ；16. C ；17. A；18. 2x+1 ； 19. ；20. (1)， (2) ，(3) ； 21. (1) (2)略 ；22.略；23. D ；24. 当时，定义域为0；当时，定义域为；当时，定义域为；25. ；26.（1）（2）30.4。高
13、一数学测试题一 选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设集合x0,B=x|-1x3,则AB=（ ）A-1,0 B-3,3 C0,3 D-3,-12.下列图像表示函数图像的是（ ）A B C D3. 函数的定义域为（ ）A(5，) B5，C(5，0) D (2，0)4. 已知，则的大小关系是（ ）A B C D 5.函数的实数解落在的区间是（ ） 6.已知则线段的垂直平分线的方程是（ ） 7. 下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面C 一个平面内有无数条
14、直线平行于另一个平面D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 8. 如图，在RtABC中，ABC=90，P为ABC所在平面外一点PA平面ABC，则四面体P-ABC中共有（ ）个直角三角形。 A 4 B 3 C 2 D 19.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（） A B C D 10 .在圆上，与直线的距离最小的点的坐标为（ ） 二 填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分11.设，则的中点到点的距离为 .12. 如果一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm）， 则此几何体的表面积是 .13.设函数在R上是减函数，则的范围是 .14.已知点到直线距离为，则= .
15、三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15. （本小题满分10分）求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程（一般式）.16. （本小题满分14分）如图，的中点.（1）求证：；（2）求证：； 17. （本小题满分14分）已知函数（14分）（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并证明；18. （本小题满分14分）当，函数为，经过（2，6），当时为，且过（-2，-2），（1）求的解析式；（2）求；（3）作出的图像，标出零点。19. （本小题满分14分）已知圆：，（1）求过点的圆的切线方程；（2）点为圆上任意一点，求的最值。20.（本小题满分14分）某商店经
16、营的消费品进价每件14元，月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如下图，每月各种开支2000元，（1） 写出月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系。（2） 该店为了保证职工最低生活费开支3600元，问：商品价格应控制在什么范围？（3） 当商品价格每件为多少元时，月利润并扣除职工最低生活费的余额最大？并求出最大值。答案一选择（每题5分） 1-5 A C A C B 6-10 B D A B C二填空（每题5分） 11. 12. 13. 14. 1或-3三解答题15.（10分） 16.（14分） （1）取1分 为中点， （2）17.（14分）（1）由对数定义有 0，（2分）则有（2）对定义域内的任何一个，1分都有， 则为奇函数4分18.14分（1）.6分（2） 3分（3）图略3分. 零点0，-12分19.14分（1）设圆心C，由已知C(2,3) , 1分AC所在直线斜率为， 2分则切线斜率为，1分则切线方程为。 2分（2）可以看成是原点O(0,0)与连线的斜率，则过原点与圆相切的直线的斜率为所求。1分圆心（2，3），半径1，设=k，1分则直线为圆的切线，有，2分解得，2分 所以的最大值为，最小值为 2分20.14分（1） 4分（2）当时，1分即，解得，故; 2分当时， 1分即，解得，故。2分所以（4） 每件19.5元时，余额最大，为450元。4分18
