1、1 绝密绝密启用前启用前 20202020 年高考诊断性测试年高考诊断性测试 数数学学 注意事项：注意事项： 1.本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上 3.使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰超出答 题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效 一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项符只有一项符 合题目要求合题目要求。 1.已知集合ln(1)Mx yx，exNy y，
2、则MN I A.( 1,0)B.( 1,+)C.(0,+)D.R 2.已知复数z满足(1i)2iz（i为虚数单位），则z A.1iB.1iC.12iD.12i 3.设xR，则“|2| 1x ”是“ 2 230xx”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.数列 n F： 12 1FF， 12 2 nnn FFFn ，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年 所著的 算盘全书 .若将数列 n F的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列 n a， 则数列 n a的前50项和为 A.33B.34C.49D.50 5.设ABCD为平行四边形，| 4
3、AB uuu r ，|6AD uuu r ， 3 BAD 若点,M N满足 BMMC uuuruuu r ，2ANND uuu ruuu r ，则NM AM uuur uuur g A.23B.17C.15D.9 6.右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小 木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下 后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落 过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入号球槽的概率为 A. 3 32 B. 15 64 C. 5 32 D. 5 16 2 7.设P为直线3440xy上的动点，,PA
4、PB为圆 22 :(2)1Cxy的两条切线，,A B为切点， 则四边形APBC面积的最小值为 A.3B.2 3C.5D.2 5 8.已知函数 ee ( ) ee xx xx f x ， 实数,m n满足不等式(2)(2)0fmnfn， 则下列不等关系成立 的是 A.1mnB.1mnC.1m n D.1m n 二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合要求有多项符合要求。 全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得
5、0 0 分。分。 9.2020 年春节前后，一场突如其来的新冠 肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令,防 控就是责任.在党中央的坚强领导和统一 指挥下，全国人民众志成城、团结一心， 掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的 人民战争.右侧的图表展示了2月14日至 29 日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据 该折线图，下列结论正确的是 A.16 天中每日新增确诊病例数量呈下降 趋势且 19 日的降幅最大 B.16 天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数 C.16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000 D.19 日至 29 日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和
6、 10.已知P是双曲线 22 :1 3 xy C m 上任一点，,A B是双曲线上关于坐标原点对称的两点，设直线 ,PA PB的斜率分别为 121 2 ,(0k k k k ），若 12 |kkt恒成立，且实数t的最大值为 2 3 3 ，则下 列说法正确的是 A.双曲线的方程为 2 2 1 3 x y B.双曲线的离心率为2 C.函数log (1)(0,1) a yxaa的图象恒过C的一个焦点 D.直线230xy与C有两个交点 11.如图，在棱长为1的正方体 1111 ABCDABC D中，,P M分别为棱 1 ,CD CC的中点，Q为面对角线 1 AB上任一点，则下列说法正确的是 3 A.平
7、面APM内存在直线与 11 AD平行 B.平面APM截正方体 1111 ABCDABC D所得截面面积为 9 8 C.直线AP和DQ所成角可能为60o D.直线AP和DQ所成角可能为30o 12.关于函数( )esin x f xax，(,)x ，下列说法正确的是 A.当1a 时，( )f x在(0,(0)f处的切线方程为210xy B.当1a 时，( )f x存在唯一极小值点 0 x且 0 1()0f x C.对任意0a，( )f x在(,)上均存在零点 D.存在0a ，( )f x在(,)上有且只有一个零点 三、填空题：三、填空题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，
8、共 20 分分。 13.已知tan2，则cos(2) 2 14. 36 1 (1)(2)xx x 的展开式中 3 x项的系数是（用数字作答） 15.已知点,A B C在半径为2的球面上，满足1ABAC，3BC，若S是球面上任意一点， 则三棱锥SABC体积的最大值为 16.已知F为抛物线 2 2(0)xpy p的焦点，点(1,)Ap，M为抛物线上任意一点，|MAMF 的最小值为3，则抛物线方程为，若线段AF的垂直平分线交抛物线于,P Q两点，则四边形 APFQ的面积为.（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，小题，共共 70 分分。解答应写出文字说
9、明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分） 已知ABC的内角,A B C所对的边分别为, ,a b c，2 cos3( cos+ cos )aAbC cB. （1）求角A； （2）若2 3b，BC边上的高为3，求c. 18.（12 分） 已知等差数列 n a的前n项和为 n S， n b是各项均为正数的等比数列， 14 ab， 2 8b ， 13 34bb，是否存在正整数k，使得数列 1 n S 的前k项和 15 16 k T ，若存在，求出k的最小值； 若不存在，说明理由. 从 4 20S ， 33 2Sa， 342 3aab这三个条件中任选一个，补充
10、到上面问题中并作 4 答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. . 19.（12 分） 如图，三棱锥PABC中，点E,F分别是AB,PB的中点，点G是BCE的重心. （1）证明：/GF平面PAC； （2）若平面PAB 平面ABC,PAPB,PAPB, ACBC，2ABBC,求平面EFG与 平面PFG所成的锐二面角的余弦值. 20.（12 分） 推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了 解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷 得分绘制频率分布
11、表如下： 得分30,40)40,50)50,60)60,70)70, 80)80,90)90,100 男性人数40901201301106030 女性人数2050801101004020 （1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率； （2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解” （得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60 分）两类，完成22列联表，并判断是否有95%的 把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别” 有关? （3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10 人，连同 * ()n nN名男性调查员一起组成3
12、个环保宣传队.若从这10n 人中随机抽取3人作 为队长，且男性队长人数的期望不小于2，求n的最小值. 附： 2 2 () ,() ()()()() n adbc Knabcd ab cdac bd . 临界值表： 不太了解比较了解 男性 女性 5 2 0 ()P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.001 0 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 21.（12 分） 已知函数 1ln ( )() x f xa a x R. （1）若( )0f x 在(0,)上恒成立，求a的取值范围，并证明：对任意的n N，都 有 111 1ln(
13、1) 23 n n L； （2）设 2 ( )(1) exg xx，讨论方程( )( )f xg x实数根的个数. 22.（12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点(2, 2)M，且焦距为4. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设P为直线l：2 2y 上一点，Q为椭圆C上一点，以PQ为直径的圆恒过 坐标原点O. （i）求 22 4OPOQ的取值范围； （ii）是否存在圆心在原点的定圆恒与直线PQ相切？若存在，求出该定圆的方程;若不存在， 说明理由 6 20202020 年高考诊断性测试年高考诊断性测试 数学参考答案数学参考答案 一、单项选择题一、单项选择题 1.
14、C2. B3.A4. B5. B6. D7.A8. C 二、多项选择题二、多项选择题 9. BC10.AC11. BC12.ABD 三、填空题三、填空题 13. 4 5 14. 300 15. 3+2 3 12 16. 2 4xy ，4 3 四、解答题四、解答题 17解： （1）因为2 cos 3( cos+ cos)aAbC cB ，由正弦定理得 所以2sin cos3(sincossincos)AABCCB , 1 分 即2sincos3sin()AABC，2 分 又BCA，所以sin()sin()sinBCAA 所以2sin cos3sinAAA ，3 分 而0A，sin0A 所以 3
15、cos 2 A ， 所以 6 A .4 分 （2）因为 11 sin 22 ABCBC SbcAa h 5 分 将 2 3b ， 3 BC h ， 1 sin 2 A 代入，得 3 3 c a . 6 分 由余弦定理得 222 2cosabcbcA ， 于是 222 33 ()(2 3)2 2 3 32 c cc ，8 分 7 即 2 9180cc ，解得 3c 或 6c .10 分 18解：设等比数列 n b 的公比为q（ 0q ） ，则 1 8 b q ， 3 8bq ， 于是 8 3 84q q ，2 分 即 2 620qq ，解得 1 2 q ， 2 3 q （舍去）.4 分 若选：则
16、 14 2ab ， 41 4 3 420 2 Sad ， 解得 2d ，6 分 所以 2 (1) 22 2 n n n Snnn ，8 分 1111 (1)1 n Sn nnn ，9 分 于是 12 111111111 +(1)()()1 22311 k k T SSSkkk 10 分 令 115 1 116k ，解得 15k ，因为k为正整数，所以k的最小值为16.12 分 若选：则 14 2ab ， 11 3 2 32(2 ) 2 adad ，解得 1 2ad . 下同. 若选：则 14 2ab ， 11 3(2 )(3 )8adad ，解得 4 3 d .6 分 于是 2 (1)424
17、2 2333 n n n Snnn ，8 分 1313 11 () 2(2)42 n Sn nnn ，9 分 8 于是 31111111 (1)()()() 4324112 k T kkkk 3111 (1) 4212kk 9311 () 8412kk ，10 分 令 15 16 k T ，得 111 124kk ， 注意到k为正整数，解得 7k ，所以k的最小值为7.12 分 19解： （1）证明：延长EG交BC于点D,点D为BC的中点， 因为 ,D E 分别是棱 ,BC AB 的中点, 所以DE是 ABC 的中位线，所以 /DEAC， 2 分 又DE PAC 平面 ，AC PAC 平面 ，
18、 所以 /DEPAC平面 . 同理可证 /EFPAC平面 .3 分 又DE EFE ， ,DEDEF EFDEF平面平面 ， 所以平面 /DEFPAC平面 ，4 分 因为GF DEF 平面 ，所以 /GFPAC平面 .5 分 （2）连接PE，因为PA PB ，E是AB的中点，所以PE AB ， 又平面PAB 平面ABC，平面PAB I平面ABC AB ，PE 平面PAB， 所以PE 平面ABC. 以E为坐标原点，以向量 ,EB EP 所在的方向分别作为 y 轴、z轴的正方向，以与向量 ,EB EP 垂直的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz . 6 分 9 设 1EB ，
19、则 (0,0,0)E ， (0,0,1)P ， 1 1 (0,) 2 2 F ， 3 1 (,0) 62 G ， 11 (0,) 22 FE ， 31 (,0,) 62 FG ， 1 1 (0, ) 2 2 FP .7 分 设平面EFG的一个法向量为 ( , , )x y zm ， 则 0 0 FE FG m m ，即 0 30 yz xz ， 令 1z ，得 1y ， 3x ，于是取 ( 3, 1,1)m 9 分 又平面PFG的一个法向量为 111 (,)xyzn ， 则 0 0 FG FP n n ，即 11 11 30 0 xz yz ， 令 1 1y ，得 1 1z ， 1 3x ，
20、于是取 ( 3,1,1)n 11 分 设平面EFG与平面PFG的所成的角二面角的大小为， 则 33 coscos, 555 m n m n m n . 所以平面CFG与平面EFG的所成的锐二面角的余弦值为 3 5 .12 分 20解： （1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为 130 11090 110 10060 0.6 1000 ， 故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6.2 分 不太了解比较了解 10 （2）由题意得列联表如下： 3 分 2 K 的观测值 2 1000 (250 270330 150) 5.542 400 600 420 580 k 5 分 因为
21、5.542 3.841 所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关.6 分 （3）由题意知，分层抽样抽取的 10 人中，男性6人，女性4人.7 分 随机变量的所有可能取值为0,1,2,3， 其中 03 64 3 10 (0) n n CC P C ， 12 64 3 10 (1) n n CC P C , 21 64 3 10 (2) n n CC P C , 3 6 3 10 (3) n n C P C ,9 分 所以随机变量的分布列为 0312213 6464646 3333 10101010 01232 nnnn nnnn CCCCCCC E CCCC 10 分 12213
22、3 6464610 1232 nnnn CCCCCC , 可得， 11 6(6)4(6)(5)(6)(5)(4)(10)(9)(8) 23 nnnnnnnnn ， 2 3(6)(1772)2(10)(9)(8)nnnnnn ， 男性250330 女性150270 0123 P 03 64 3 10 n n CC C 12 64 3 10 n n CC C 21 64 3 10 n n CC C 3 6 3 10 n n C C 11 3(6)2(10)nn ， 解得 2n .12 分 21解： （1）由 ( )0f x 可得， 1 ln (0) x ax x ， 令 1ln ( ) x h x
23、 x ，则 22 1 (1ln ) ln ( ) xx x x h x xx ，1 分 当 (0,1)x 时， ( )0h x ， ( )h x 单调递增， 当 (1+ )x， 时， ( )0h x ， ( )h x 单调递减， 故 ( )h x 在 1x 处取得最大值，3 分 要使 1 ln x a x ，只需 (1)1ah ， 故a的取值范围为 1a ，4 分 显然，当 1a 时，有 1 ln 1 x x ，即不等式ln 1xx 在(1, ) 上成立， 令 1 1() n xn n N ，则有 111 ln1 nn nnn ， 所以 231111 lnlnln1 1223 n nn ， 即
24、： 111 1ln(1) 23 n n ；6 分 （2）由 ( )( )f xg x 可得， 2 1 ln (1) ex x ax x ，即 2 1 ln (1) ex x ax x ， 令 2 1 ln ( )(1) e x x t xx x ，则 2 2 ln ( )(1)e x x t xx x ，8 分 当 (0,1)x 时， ( )0t x ， ( )t x 单增，当 (1+ )x， 时， ( )0t x ， ( )t x 单减， 故 ( )t x 在 1x 处取得最大值 (1)1t ，10 分 12 又当 0x 时， ( )t x ，当 +x 时，( ) t x ，11 分 所以，
25、当 1a 时，方程 ( )( )f xg x 有一个实数解；当 1a 时，方程 ( )( )f xg x 有两个不同 的实数解；当 1a 时，方程 ( )( )f xg x 没有实数解.12 分 22解： （1）将点的坐标代入椭圆C的方程得 22 22 42 1 4 ab ab ，解得 22 84ab， ，所以椭圆C的方程为 22 1 84 xy 3 分 （2）设 11 ( ,2 2),( ,)P tQ x y .因为以 PQ 为直径的圆恒过点O， 所以 11 2 20OP OQxty ，即 1 1 2 2 x t y .4 分 因为Q点在椭圆上，所以 22 11 1 84 xy . （i）将
26、 1 1 2 2 x t y 代入椭圆，得 2 1 2 32 4 x t ， 2 2 1 2 4 4 t y t ， 于是 22 222 11 4=(8)4()OPOQtxy 2 2 64 24 4 t t ,tR.5 分 因为 2 2 64 24 4 t t 2 2 64 +420 4 t t 2 2 64 2 ( +4)20 4 t t 36 当且仅当 2 2 64 +4= 4 t t ，即 =2t 时，取等号. 所以 22 4OPOQ 的取值范围为36, ) .7 分 （ii）存在.定圆的方程为 22 4xy . 假设存在满足题意的定圆，则点O到直线 PQ 的距离为定值. 因为 11 (
27、 ,2 2),( ,)P tQ x y ，所以直线PQ方程为 13 11 ()(2 2)(2 2)()0xtyyxt ， 整理可得 1111 (2 2)()2 20yxxt ytyx ，8 分 所以O到直线 PQ 的距离 11 22 11 |2 2| (2 2)() tyx d yxt ，9 分 由（i）知， 1 1 2 2 xt y ，得 2 1 2 32 4 x t ， 2 2 1 2 4 4 t y t ， 11 2 20xty ，注意到 1 0x ，知 1 1 2 2y t x . 所以 22 2 11 111 2 |2(8) |2 2| |2 2|(8)= 2 22 2 4 xtxt tyxxt t ， 10 分 又 22222 111111 (2 2)()84 22yxtyxtytx 22 2222 11 22 2 4328 88 44 4 tt yxtt tt t ，11 分 所以 11 22 11 |2 2| 2 (2 2)() tyx dr yxt ， 因此，直线 PQ 与圆 22 4xy 恒相切.12 分
