1、 绵阳市高中 2017 级第三次诊断性考试 文科数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60分 ACCDD CBDAB DB 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20分 13 4 5 14x+y+2=0 152 16 4 3 3 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分 17解：（1）由 100.1=100，即 n=1002分 a=1000.4=40， 4分 b=30100=0.3 6 分 （2）设从“特等品”产品中抽取 x件，从“一等品”产品中抽取 y 件， 由分层抽样得 6 = 602040 xy =，解得24xy=， 8分 即在抽取的 6
2、件中，有特等品 2 件， 记为 A1，A2，有一等品 4件，记为 B1，B2，B3，B4 则所有的抽样情况有： A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4， B2B3，B2B4，B3B4，共 15种， 其中至少有 1 件特等品情况有：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2， A2B3，A2B4，共 9 种 10分 记事件 M为“至少有 1件特等品被抽到”， 则 93 () 155 P M = 12分 18解：（1）由 1 2 nn aS + = ，得 1 2 nnn SSS + = ， 2
3、 分 1 3 nn SS + = ，即 1 3 n n S S + = 4分 11 1Sa=， 数列Sn是首项为 1，公比为 3的等比数列， 故 1 3n n S = 6分 （2）由 1 33 loglog 31 n nn bSn =，7 分 2 33 44 512 1111 nn b bb bb bbb + += 1111 1 22 33 4(1)n n + + = 11111 1 2231nn + + = 1 1 1n + ， 10 分 由 1 1 1n + 0.99，解得99n 11分 使得不等式成立的最小自然数 n=10012分 19（1）证明：取 PC 的中点为 G，连接 DG，FG
4、 四边形 ABCD是正方形，E，F，G 分别是线段 AD，PB，PC 的中点， DE/BC，且 DE= 1 2 BC，FG/BC，且 FG= 1 2 BC， DE/FG，且 DE=FG， 四边形 DEFG为平行四边形， 4分 EF/DG EF 平面 PCD， EF/平面 PCD 6 分 （2）解： EF/平面 PCD， F 到平面 PCD的距离等于 E到平面 PCD距离， V三棱锥F-PCD=V三棱锥E-PCD 8 分 而 V三棱锥E-PCD=V三棱锥P-CDE PA平面 ABCD， PA是三棱锥 P-CDE的高， V三棱锥P-CDE= 1 3 SCDE 112 1 22 323 PA= =，
5、11 分 即三棱锥 F-PCD 的体积为 2 3 12 分 20解：（1）由题意得 F(1，0)，设直线 l 的方程为 x=ty+1，M(x1，y1)，N(x2， y2)，线段 MN 的中点 G(x0，y0) 联立方程 2 1 4 xty yx =+ = ， ，整理得 y 2-4ty-4=0， F A B C D P E G 由韦达定理得 y1+ y2=4t，y1y2=-4 2 分 y0=2t，x0=ty0+1=2t2+1， 即 G(2t2+1，2t) 直线 OG 的斜率为 2 3 ， 2 22 213 t t = + ，解得 1 2 t =或 t=1， 直线 l 的方程为 x-y-1=0 或
6、 2x-y-2=06分 （2）FMP为锐角，等价于0MF MP 设 M 2 1 1 () 4 ， y y，F(1，0)， P(x0，0)， 则 22 11 011 ()(1) 44 ， yy MPxyMFy=， 故 2242 221111 0110 3 (1)(1) 441644 ） yyyy MF MPxyyx=+=+ 0 恒成立 8 分 令 2 1 4 y t =，则 t0，原式等价于 2 0 3(1)0ttt x+对任意的 t0 恒成立， 即 2 00 (3)0tx tx+对任意的 t0 恒成立 令 2 00 ( )(3)h ttx tx=+ =(3-x0)2-4x0= 2 00 109
7、0xx+， 解得 1 x09；10分 0 0 3 0 2 (0)0 ， ， ， x h 解得 0x01 又 x01，故 0x00， 得 22 2 2 ) 1)(12(226426 4)( x xx x xx xx xf = + =+= 2 分 函数 )(xf 在 1 (0) 2 ，和(1 )，+ 上单调递增，在 1 (1) 2， 上单调递减， 当 2 1 =x时，函数 ( )f x取得极大值 1 ( )6ln2 2 f=； 当 x=1时，函数 ( )f x取得极小值(1)4f= 5分 （2） 22 2 2 ) 1)(2(2)2(22 )( x xax x xaax xx a axf = + =
8、+ + = 0a2， 当 2 0 e a，即 2 e a 时，得 ( )f x在上(1，e)递减， 要使 ( )f x在(1，e)上有零点，则 (1)0 2 (e)e0 e ， ， fa faa = = 解得 2 0 e(e 1) a ； 8 分 当 2 2 e a，即 2 1e a 时，得 ( )f x 在 2 (1)， a 上递减，在 2 (e)， a 上递增， 由于 0) 1 (= af ， 2224 (e)(e 1)(e 1)20 eeee fa= 令2 2 ln)2(2) 2 ()(+=a a a a fag= 2ln24)2ln1 (ln)2(+aaa ， 令 =)(ah 2ln
9、2 ln)(+= a aag， 则0 221 )( 22 = a a aa ah， )(ah 在 2 (2) e ，上递减， 故 01)2()(= hah ，即0)( a g， )(ag 在 2 (2) e ，上递增， 故 24 ( )( )20 ee g ag=，即0) 2 ( a f， )(xf 在(1，e)上没有零点11分 综上所述，当 2 0 e(e 1) a 时， )(xf 在(1，e)上有唯一零点； 当 2 2 e(e 1)a 时， )(xf 在(1，e)上没有零点12分 22解：（1）由题意得，半圆 C1的极坐标方程为 8cos (0) 2 =， 圆 C2的极坐标方程为 2 3s
10、in (0)= 4 分 （2）由（1）得，|MN|=| MN |= 8cos2 3sin1 33 =， 5 分 显然当 P 点到直线 MN 的距离最大时，PMN面积最大 此时 P点为过 C2且与直线 MN垂直的直线与圆 C2的一个交点，如图， 设 PC2与直线 MN 垂直于点 H， 在 RtOHC2中， 22 3 sin 62 HCOC=，7分 点 P到直线 MN的最大距离为 2 2 33 3 3 22 C dHCr=+=+=， 9分 PMN 面积的最大值为 113 33 3 1 2224 MN d= = 10 分 23解：（1）当 x-1时， ( )21 5f xxx= ， 解得21 x；
11、当12x 时， ( )2135f xxx=+ = ，满足题意；3 分 当 x2 时， ( )21 5f xxx=+ ， 解得23 x 综上所述，不等式 ( )5f x 的解集为 23 xx 5 分 （2）由( )21f xxx=+(2)(1)1xx+=， 即( )f x的最小值为 1，即 m=36分 1111 111 ()(49 ) 49349 abc abcabc +=+ 14499 (3) 34949 babcca abcbac =+ 14499 (3222) 34949 babcca abcbac + =3 当且仅当 a=4b=9c=1 时等号成立， 9分 所以 cba9 1 4 11 +最小值为 3 10 分 O x C1 C2 N M P H
