1、解解直直角角三角三角形形 教教材材分析分析解直角三角形 是在学习了勾股定理、锐角三角函数的基础上继续研究由直角三角形 中的已知元素求出其余未知元素的问题。一个直角三角形有三个角、三条边这六个元素,解 直角三角形就是由已知元素求出未知元素的过程。在直角三角形中除了一个直角外,只要知 道两个元素(其中至少有一条边),就能求出其他元素。本节教材首先从比萨斜塔的倾斜程度这个实际问题入手,给学生创设问题情境,抽象出 数学问题,从而引出解直角三角形的概念。接着教材引导学生全面梳理直角三角形中边角之 间的关系,归纳出解直角三角形的一般方法,并以例题的形式对如何解直角三角形进行示范。教教学学目标目标【知识与能
2、力目标】1、理解解直角三角形的概念;2、理解直角三角形中边与边的关系,角与角的关系和边与角的关系,能运用直角三角 形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数解直角三角形。【过程与方法目标】通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐 步培养学生分析问题、解决问题的能力;【情感态度价值观目标】在解直角三角形的过程中,渗透转化和数形结合的数学思想,促进数学思维的发展。教教学学重重难难点点【教学重点】掌握解直角三角形的一般方法。【教学难点】选择适当的关系式解直角三角形。课课前前准备准备多媒体课件、教具等。问问题题 2你现在可以解决本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题吗?1
3、972 年的情形:如图,设塔顶中心点为 B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为A,过点 B 向垂直中心线引垂线,垂足为点 C。在 RtABC 中,C=90,BC=5.2m,AB=54.5m,因此BC5.2 0.0954,利用计算器可得A528。AB54.5sin A 追问:类似地,可以求出 2001 年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角。你能求出来吗?二、探二、探索索发现,形成发现,形成新新知知 教教学学过程过程一、创一、创设设情境,引入情境,引入新新课课问问题题 1你能说一说勾股定理的内容吗?直角三角中两锐角之间有何关系?如图,直角三角形 ABC 中,C=90,三边长分别为 a、b、c。A、B
4、的正弦、余弦和正切值分别是什么?问问题题 3问题 2 中解决比萨斜塔倾斜程度问题时把它抽象成数学问题后,已知的是这个直角三角形的哪几个元素?所求的是什么元素?解决问题的过程称作什么?归纳:已知直角三角形的斜边和一条直角边,求它的锐角的度数。概念:一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和二个锐角,由直 角三角形中除直角外的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形。问问题题 4在直角三角形中,除直角外的五个元素之间有哪些关系?知道五个元素中的几个,就可以求其余元素?归纳:如图:直角三角形 ABC 中,C=90,a、b、c、A、B 这五个元素之间 的关系是:三边之间关系a2
5、+b2=c2(勾股定理)两锐角之间关系A+B=90。边角之间的关系sin A a,cos A b,tan A a,sin B b,cos B a,tan B b。ccbcca知道其中的两个元素(至少有一个是边),就可以求出其余三个未知元素。追问 1:在已知的两个元素中,为什么必有一条边呢?总结:无论是利用勾股定理,还是利用锐角三角函数来解直角三角形,至少需要知道一 条边的值。其实,如果知道的两个条件都是角,这个直角三角形的大小不是唯一确定的,所 以不能解这个直角三角形。三、运三、运用用新知,深化新知,深化理理解解例 1:如图,在 Rt ABC 中,C90,AC 2,BC 6,解这个三角形。6
6、2解:tan A BC AC3 A60,B 90 A 30,AB=2AC=2 2。,说明:解直角三角形的方法很多,灵活多样,先让学生独立思考得出解题思路,然后再师生共同总结得出简便易行的解决方案,最后教师板演示范解题过程。例 2:如图,在 Rt ABC 中,C90,B35,b=20,解这个直角三角形(结 果保留小数点后一位)。解:A 90 B 90 35 55。b20tan Btan 35 28.6。b20 tan B b ,a a sin B b,c csin Bsin 35 34.9。追问 1:你还有其他方法求出 c 吗?归纳:如可以A 的余弦值求 c,等等。追问 2:如果已知一边一角,如
7、何解直角三角形?归纳:先求另外一角,然后选取恰当的函数关系式求另外两边。计算时,尽量使用题中 原始数据计算,这样误差小些。例例 3如图,CD 是 Rt ABC 斜边上的高,BC 2 3,CD 2 2,求 AB,AC,A,B(精确到 1)。分析:在 RtABC 中,仅已知一条直角边 BC 的长,不能直接求解。注意到 BC 和 CD在同一个 RtBCD 中,因此可先解这个直角三角形。解解:在 RtBCD 中,BD BC 2 CD2 12 8 2,2 sin B CD 26,cos B BD 23。BC2 33BC2 33用计算器求得B5444,于是A90B3516。在 RtABC 中,AB cos
8、 BBC 2 3 3 6,AC AB sin B 6 6 2 6。33四、学四、学生生练习,巩固练习,巩固新新知知练练习习 1在ABC 中,C=90,根据下列条件解直角三角形:(1)a20,b30;(2)B=72,c14;练练习习 2在ABC 中,C 为直角,AC=6,BAC 的平分线 AD 4 3,解此直角三角形。五、课五、课堂堂小结,梳理小结,梳理新新知知回顾本课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1、解直角三角形的定义?2、解直角三角形所用到的知识?3、解直角三角形必须知道几个元素?4、我们解直角三角形中常常用到的方法?等等。六、布六、布置置作业,优化作业,优化新新知知1、教科书习题 28。2 第 1 题;(必做题)2、教科书习题 28。2 第 6 题。(选做题)教教学学反思反思略