1、山东海南 2020 年新高考数学试卷 4 月 一、单项选择题：一、单项选择题： 1 2 | 314=log3 ,= x AxxBxAB设集合，则 U A0,1B0,1 C 5 ,8 3 D 5 ,8) 3 2已知 2019 (2) i zi，则复平面内与z对应的点在 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3已知(1, 2),A(4, 1),B(3,2),C则cosBAC A 2 10 B 2 10 C 2 2 D 2 2 4我省高考实行 33 模式，即语文数学英语必选，物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三，今年 高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课至少两科相同的
2、概率为 A 11 40 B 9 20 C 9 10 D 1 2 5已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线与直线 x0 的夹角为 60，若以双曲线 C 的实轴和 虚轴为对角线的四边形周长为2 2 3 ，则双曲线 C 的标准方程为 A 2 2 1 3 x yB 22 1 93 xy C 22 1 39 xy D 2 2 1 3 y x 6 1 ( )cossin(3) 3 x x f xx函数的图像大致为 7 已知在锐角三角形 ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若 sin2Asin Bsin C0， 则 sinsin 2sin BC A
3、 的取值范围为 A 1 1 , 2 2 B 1 0, 4 C 1 0 2 ，D1,1 8已知函数 f(x)x2a，g(x)x2ex，若对任意的 x21,1，存在唯一的 x1 1 ,2 2 ，使得 f(x1) g(x2)，则实数 a 的取值范围是 A,4eB 1 ,4 4 e C 1 ,4 4 e D 1 ,4 4 二、二、多项选择题：多项选择题： 9对于实数 a，b，c，下列命题是真命题的为 A若 ab，则 11 ab B若 ab，则 22 acbc C若a0b，则a2ab0，则 a ca b cb 10将函数( )2sin (sin3cos ) 1f xxxx图象向右平移 3 个单位得函数(
4、 )g x的图像则下列命题中 正确的是 A( )f x在(,) 4 2 上单调递增B函数( )f x的图象关于直线 5 6 x 对称 C( )2cos2g xxD函数( )g x的图像关于点(,0) 2 对称 11如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为a，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且 EF= 2 2 a，以下结论正确 的有 AACBE； B点 A 到BEF 的距离为定值 C三棱锥 ABEF 的体积是正方体 1111 ABCDABC D体积的 1 12 ； D异面直线 AE，BF 所成的角为定值 12已知函数 2 2 |log (1)|,13 ( ) 129 6,3 22 xx
5、 f x xxx ，若方程( )f xm有四个不同的实根 1234 ,x x x x，满足 1234 xxxx，则下列说法正确的是 A 1 2 1x x B 12 11 1 xx C 34 12xxD 34 (27,29)x x 三、填空题：三、填空题： 13函数 ln ( ) x ax f x e 在点(1,(1)Pf处的切线与直线230xy垂直，则a 14如果 n 32 1 3x x 的展开式中各项系数之和为 4096，则 n 的值为_，展开式中 x 的系数为 _(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 15各项均为正数且公比0q的等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 51 4a a， 2
6、4 5aa，则 2 5 2 2 n S an 的最 小值为_ 16如图所示，三棱锥 ABCD 的顶点 A，B，C，D 都在半径为2同一球面上，ABD 与BCD 为直角 三角形，ABC 是边长为 2 的等边三角形，点 P，Q 分别为线段 AO，BC 上的动点(不含端点)，且 AP CQ，则三棱锥 PQCO 体积的最大值为_ 四、四、解答题：解答题： 17 （10 分）(开放题)在锐角ABC 中， 2 3a ,_，求ABC 的周长 l 的范围 在m cos A 2，sin A 2，n cos A 2，sin A 2，且 1 2 m n ， cos A(2b-c)acos C，f(x)cos xco
7、s x 31 4, 1 4 fA 注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解 18 （12 分）已知数列 n a满足 a1a2a3an2n(nN*). （1） n a求数列的通项公式； （2） 2 (1) log n a n bn若g， , 1 () n n nNnS b 求数列的前 项和 19（12 分）如图，在多面体 ABCDE 中，DEAB，ACBC，BC2AC2，AB2DE，且 D 点在平面 ABC 内的正投影为 AC 的中点 H （1）证明:ABC面BCE面 （2）求 BD 与面 CDE 夹角的余弦值 20（12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab a
8、b ， 椭圆上的点到焦点的最小距离为22且过点( 2,1)P （1）求椭圆C的方程； （2）若过点(3,0)M的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，若点P关于x轴的对称点为 P ， 判断直线P Q 是否经过定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由 21 （12 分） 中国制造 2025是经国务院总理李克强签批，由国务院于 2015 年 5 月印发的部署全面推进 实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领。制造业是国民经济的主 体，是立国之本、兴国之器、强国之基。发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制 造强国的生命线。某制造企业根据长期检测结果
9、，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正 态分布 2 ( ,)N ，并把质量差在(,) 内的产品为优等品，质量差在(,2 ) 内的产 品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品现分别从该企业生产的 正品中随机抽取 1000 件，测得产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据频率分布直方图，求样本平均数x （2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为 100，用样本平均数x作为的近似 值，用样本标准差s作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率（同一组中的数据用该组区 间的中点值代表） 参考数据：若随机变量服从正态分布 2 ,N ，则：0.6827P，
10、220.9545P，330.9973P （3）假如企业包装时要求把 3 件优等品球和 5 件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸 出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为 X，求 X 的分布列以及期望值 22 （12 分）已知 2 ( ) x f xeaxx（0a ） （1）讨论 fx 得单调性； （2）已知函数( )f x有两个极值点 12 ,x x，求证： 12 2ln2xxa 山东海南 2020 年新高考数学试卷 4 月 数学参考答案 123456789101112 CADDAAABBCDACABCBCD 13 2 e 146121515816 1 12 17 （本小
11、题满分 10 分） 【解析】若选，m cos A 2，sin A 2 ，n cos A 2，sin A 2 ，且 1 2 m n 22 11 cossin,cos0, 222223 AA AAA .（3 分） 2 4,4sin4sin2 3 sin3 ABC a lBB A 4 3sin2 3 6 ABC lB .（6 分） = 36 2 ABCAB 锐角且， 2 ,62 3,6 3 633 ABC Bl .（10 分） cos A(2b-c)acos C 1 2 coscoscos2 coscos 2 bAaCcAbAbA 0, 23 AA .（3 分） 2 4,4sin4sin2 3 si
12、n3 ABC a lBB A 4 3sin2 3 6 ABC lB = 36 2 ABCAB 锐角且， 2 ,62 3,6 3 633 ABC Bl .（10 分） f(x)cos x 1 2cos x 3 2 sin x 1 4 1 2cos 2x 3 2 cos xsin x1 4 1 2 1cos 2x 2 3 2 sin 2x 2 1 4 1 2 1 2cos 2x 3 2 sin 2x 1 2sin 2x 6 ， 11 sin 2 462 fAA 0, 23 AA .（5 分） 2 4,4sin4sin2 3 sin3 ABC a lBB A 4 3sin2 3 6 ABC lB =
13、 36 2 ABCAB 锐角且， 2 ,62 3,6 3 633 ABC Bl .（10 分） 18 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）当 n1 时， 1 2a 当2n 时 a1a2a3 1n a 1 2n -得 1 2n n a 经检验 1 a不符合上式 1 2,1 2,2 n n n a n .（6 分） （2）由（1）得当 n1 时 1 2b 当2n 时 n2n bn 1log a11nn（）, n 11111 2 b11211 n nnnn . n 12n 111521 . bbb421 n S n n .（12 分） 19 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）取 BC
14、的中点 F，连接 EF，HF. H，F 分别为 AC，BC 的中点， HFAB，且 AB2HF. 又 DEAB，AB2DE， HFDE 且 HFDE， 四边形 DEFH 为平行四边形 EFDH， 又 D 点在平面 ABC 内的正投影为 AC 的中点 H， DH平面 ABC， EF平面 ABC，EFBCE 面ECBABC面面.（5 分） （2）DH平面 ABC，ACBC， 以 C 为原点，建立空间直角坐标系, 则 B(0,2,0)，D 1 2，0，1 ，0,1,1E 设平面 CDE 的法向量n(x，y，z)， CD 1 2，0，1 ，CE 0,1,1， 则 1 0 2 0 xz yz 取 y1，
15、则 x2，z-1. n(2,1,1)， 1 , 2,1 2 BD 2 14 sincos, 21 BD n BD n BD n BD 与面 CDE 夹角的余弦值为 385 21 .（12 分） 20 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）由题意 22 22 222 ( 2)1 1 22 ab ac abc ，解得 2 2 2 a b c ， 故椭圆C的方程为 22 1 42 xy .（4 分） （2）设 11 (,)P x y、 22 (,)Q xy. 将直线与椭圆的方程联立得： 22 3 1 42 yk x xy ， 消去y，整理得 2222 (21)121840kxk xk. 由根与系
16、数之间的关系可得： 2 12 2 12 21 k xx k ， 2 12 2 184 21 k xx k . 点P关于y轴的对称点为 P ，则 11 ( ,)P xy 直线P Q 的斜率 21 21 yy k xx 方程为： 21 11 21 () yy yyxx xx ，即 2121 11 2121 () yyxx yxxy xxyy 21211211 2121 ()() () yyyy xxx y x xxyy 211221 2121 () yyx yx y x xxyy 211221 2121 (3)(3) () (3)(3) yyx k xx k x x xxk xk x 211212
17、 2112 23() () 6 yyx xxx x xxxx 22 22 21 2 21 2 18412 23 2121 () 12 6 21 kk yy kk x kxx k 21 21 4 () 3 yy x xx . 直线P Q 过x轴上定点 4 ( ,0) 3 （12 分） 21 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1） 465656666676 0.010 100.020 100.045 10 222 x 76868696 0.020 100.005 10 22 70.（3 分） （2）由题意样本方差 2 100s ，故 2 10s . 所以 2 (70,10 )XN， 由题意，该
18、厂生产的产品为正品的概率(6090)(6070)(7090)PPXPXPX 1 (0.68270.9545)0.8186 2 .（6 分） （3）X 所有可能为 0,1,2,3. 03 35 3 8 5 0 28 C C P X C 12 35 3 8 15 1 28 C C P X C 21 35 3 8 15 2 56 C C P X C 30 35 3 8 1 3 56 C C P X C .（10 分） X 的分布列为 X0123 P 5 28 15 28 15 56 1 56 9 8 E X .（12 分） 22 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1） 21 x fxeax，记
19、( )( )21 x g xfxeax，则( )2 x g xea. 由( )0g x ，即 20 x ea ，解得ln2xa. 当ln2xa时，( )0g x ，函数( )g x单调递减； 当ln2xa时，( )0g x ，函数( )g x单调递增.（4 分） （2）由题意，函数( )f x有两个极值点 12 ,x x，记函数( )g x有两个零点 12 ,x x，不妨设 12 xx， 则 1 (,ln2 )xa ， 2 (ln2 ,)xa. 所以 12 ln2xax 记( )( )(2ln 2)p xg xgax 2ln2 22 (2ln2) xa x eaxeaax 2 (2 )44 l
20、n2 xx ea eaxaa 2 ( )(2 )4 xx p xea ea 由均值不等式可得 2 ( )2(2 )4440 xx p xea eaaa （当且仅当 2 (2 ) xx ea e，即ln2xa 时，等号成立）. 所以函数( )p x在R上单调递增. 由 2 ln2xa，可得 2 ()(ln2 )0p xpa，即 22 ()(2ln2)0g xgax， 又因为 12 ,x x为函数( )g x的两个零点，所以 12 ( )( )g xg x， 所以 12 ()(2ln2)g xgax， 又 2 ln2xa，所以 2 2ln2ln2axa， 又函数( )g x在(,ln2 )a上单调递减， 所以 12 2ln2xax，即 12 2ln2xxa.（12 分）
