1、1 十年（20102019）数学高考真题分类汇编 排列组合与二项式定理 一、选择题 1.(2019全国 3理 T4)(1+2x 2)(1+x)4的展开式中 x3的系数为( ) A.12 B.16 C.20 D.24 2.(2018全国 3理 T5) (x2+ 2 x) 5 的展开式中 x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 3.(2017全国 1理 T6)(1 + 1 x2)(1+x) 6展开式中 x2的系数为( ) A.15 B.20 C.30 D.35 4.(2017全国 3理 T4)(x+y)(2x-y) 5的展开式中 x3y3的系数为( ) A.-80 B.-40
2、 C.40 D.80 5.(2017全国 2理 T6)安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的 安排方式共有( ) A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种 6.(2016四川理 T2)设 i 为虚数单位,则(x+i) 6的展开式中含 x 4的项为( ) A.-15x 4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4 7.(2016全国 2理 T5)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓 参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A.24 B.18 C.12
3、D.9 8.(2016全国 3理 T12)定义“规范 01 数列”an如下:an共有 2m项,其中m项为 0,m项为 1,且对任意 k2m,a1,a2,ak中 0 的个数不少于 1 的个数.若m=4,则不同的“规范 01 数列”共有( ) A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个 9.(2016四川理 T4)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( ) A.24 B.48 2 C.60 D.72 10.(2015四川 理T6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( ) A.144 个 B.120 个
4、C.96 个 D.72 个 11.(2015全国 1理 T10)(x 2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 12.(2015陕西理 T4)二项式(x+1) n(nN*)的展开式中 x 2的系数为 15,则 n=( ) A.7 B.6 C.5 D.4 13.(2015湖北理 T3)已知(1+x) n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数 和为( ) A.2 12 B.2 11 C.2 10 D.29 14.(2014大纲全国理 T5)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗
5、小 组,则不同的选法共有( ) A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种 15.(2014辽宁理 T6)6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A.144 B.120 C.72 D.24 16.(2014四川理 T6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共 有( ) A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种 17.(2014重庆 理 T9)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序, 则同类节目不相邻的排法种数是( ) A.72 B.120 C.14
6、4 D.168 18.(2014四川理 T2)在 x(1+x) 6的展开式中,含 x3项的系数为( ) A.30 B.20 C.15 D.10 19.(2014湖南理 T4) (1 2x-2y) 5 的展开式中 x 2y3的系数是( ) A.-20 B.-5 C.5 D.20 20.(2014 浙 江 理T5) 在 (1+x) 6(1+y)4 的 展 开 式 中 , 记x myn 项 的 系 数 为f(m,n), 则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( ) A.45 B.60 C.120 D.210 3 21.(2013全国 1理 T9)设 m 为正整数,(x+y) 2
7、m展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y)2m+1展开式的二项 式系数的最大值为 b.若 13a=7b,则 m=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 22.(2013山东理 T10)用 0,1,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.279 23.(2013全国 2理 T5)已知(1+ax)(1+x) 5的展开式中 x 2的系数为 5,则 a=( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 24.(2013辽宁理 T7)使(3x + 1 xx) n (nN *)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( ) A.4 B.5 C.6 D.
8、7 25.(2013大纲全国理 T7)(1+x) 8(1+y)4的展开式中 x2y2的系数是( ) A.56 B.84 C.112 D.168 26.(2012湖北理 T5)设 aZ,且 0a13,若 51 2 012+a 能被 13 整除,则 a=( ) A.0 B.1 C.11 D.12 27.(2012安徽理 T7)(x 2+2) (1 x2 -1) 5 的展开式的常数项是( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 28.(2012全国理 T2)将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每 个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有
9、( ) A.12 种 B.10 种 C.9 种 D.8 种 29.(2012辽宁理 T5)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( ) A.33! B.3(3!) 3 C.(3!)4 D.9! 30.(2012安徽理 T10)6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次, 进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,则收到 4 份纪念品的同学人数 为( ) A.1 或 3 B.1 或 4 C.2 或 3 D.2 或 4 31.(2011全国理 T8) (x + a x)(2x- 1 x) 5 的展
10、开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( ) A.-40 B.-20 C.20 D.40 32.(2010山东理 T8)某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目 乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A.36 种 B.42 种 C.48 种 D.54 种 4 二、填空题 1.(2019天津理 T10)（2x- 1 8x3 ） 8的展开式中的常数项为 2.(2018天津理 T10)在(x- 1 2x) 5 的展开式中,x 2的系数为. 3.(2018浙江T14)二项式(x 3 + 1 2x) 8 的展开式
11、的常数项是. 4.(2018上海T3)在(1+x) 7的二项展开式中,x2项的系数为 (结果用数值表示). 5.(2018全国 1 理 T15)从 2 位女生,4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选,则不同的选 法共有 种.(用数字填写答案) 6.(2018浙江T16)从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6 中任取 2 个数字,一共可以组成 个没有 重复数字的四位数.(用数字作答) 7.(2017山东理 T11)已知(1+3x) n的展开式中含有 x2项的系数是 54,则 n= . 8.(2017浙江T13)已知多项式(x+1) 3(x+2)2=x
12、5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x+a5,则 a4= ,a5= . 9.(2017天津 理 T14)用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数, 这样的四位数一共有 个.(用数字作答) 10.(2017浙江T16)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2 人组成 4 人服务队, 要求服务队中至少有 1 名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 11.(2016全国 1理 T14)(2x+x) 5的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案) 12.(2016天津理 T10) (x2-
13、 1 x) 8 的展开式中 x 7的系数为 .(用数字作答) 13.(2015广东 理 T12)某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写 了 条毕业留言.(用数字作答) 14.(2015天津理 T12)在(x- 1 4x) 6 的展开式中,x 2的系数为. 15.(2015重庆理 T12)(x3+ 1 2x) 5 的展开式中 x 8的系数是(用数字作答). 16.(2015全国 2理 T15)(a+x)(1+x) 4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a= . 17.(2014安徽理 T13)设 a0,n 是大于 1 的自然数, (1 +
14、x a) n的展开式为 a 0+a1x+a2x 2+a nx n.若点 Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则 a= . 5 18.(2014北京 理 T13)把 5 件不同产品摆成一排.若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻,则不 同的摆法有 种. 19.(2014全国 1理 T13)(x-y)(x+y) 8的展开式中 x2y7的系数为 .(用数字填写答案) 20.(2014全国 2理 T13)(x+a) 10的展开式中,x7的系数为 15,则 a= .(用数字填写答案) 21.(2013浙江理 T11)设二项式(x- 1 x 3 ) 5 的展开式中常数项
15、为 A,则 A= . 22.(2013北京理 T12)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给同 一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是 . 23.(2013大纲全国理 T14)6 个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.(用数字作 答) 24.(2013浙江 理 T14)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有 种 (用数字作答). 25.(2012福建理 T11)(a+x) 4的展开式中 x3的系数等于 8,则实数 a= . 26.(2012 浙 江 理 T14) 若 将 函
16、 数 f(x)=x 5 表 示 为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x) 2+a 5(1+x) 5, 其 中 a0,a1,a2,a5为实数,则 a3= . 27.(2012大纲理 T15)若(x + 1 x) n 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中 1 x2的系数 为. 28.(2011北京 理T12)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 个.(用 数字作答) 6 十年（20102019）数学高考真题分类汇编 排列组合与二项式定理 一、选择题 1.(2019全国 3理 T4)(1+2x 2)(1+x)4的展开式中 x3的系数
17、为( ) A.12 B.16 C.20 D.24 【答案】A 【解析】(1+2x 2)(1+x)4的展开式中 x3的系数为C 4 3+2C41=4+8=12.故选 A. 2.(2018全国 3理 T5) (x2+ 2 x) 5 的展开式中 x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 【答案】C 【解析】由展开式知 Tr+1=C5 r(x2)5-r(2x-1)r=C5r2rx10-3r.当 r=2 时,x4的系数为C5222=40. 3.(2017全国 1理 T6)(1 + 1 x2)(1+x) 6展开式中 x2的系数为( ) A.15 B.20 C.30 D.35 【答案】C
18、 【解析】(1+x) 6的二项展开式通项为 Tr+1=C6 xr,(1 + 1 2)(1+x) 6的展开式中含 x 2的项的来源有两部分,一部分 是 1C6 2x2=15x2,另一部分是1 2 C6 4x4=15x2,故(1 + 1 2)(1+x) 6的展开式中含 x 2的项为 15x2+15x2=30x2,其系数 是 30. 4.(2017全国 3理 T4)(x+y)(2x-y) 5的展开式中 x3y3的系数为( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80 【答案】C 【解析】(2x-y) 5的展开式的通项公式 Tr+1=C5 (2x)5-r(-y)r. 当r=3 时,x(2x-y) 5
19、的展开式中 x 3y3的系数为C 5 322(-1)3=-40; 当r=2 时,y(2x-y) 5的展开式中 x 3y3的系数为C 5 223(-1)2=80. 故展开式中x 3y3的系数为 80-40=40. 5.(2017全国 2理 T6)安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的 安排方式共有( ) A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种 【答案】D 7 【解析】先把 4 项工作分成 3 份有C4 2C21C11 A2 2 种情况,再把 3 名志愿者排列有A3 3种情况,故不同的安排方式共有 C4 2C21C11 A2 2
20、A3 3=36 种,故选 D. 6.(2016四川理 T2)设 i 为虚数单位,则(x+i) 6的展开式中含 x 4的项为( ) A.-15x 4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4 【答案】A 【解析】二项式(x+i) 6展开的通项 Tr+1=C6 x6-rir,则其展开式中含 x 4是当 6-r=4,即 r=2,则展开式中含x 4的项 为C6 2x4i2=-15x4,故选 A. 7.(2016全国 2理 T5)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓 参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A.24 B.18
21、 C.12 D.9 【答案】B 【解析】由题意知,小明从街道的 E 处出发到 F 处的最短路径有 6 条,再从 F 处到 G 处的最短路径有 3 条,则 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 63=18,故选 B. 8.(2016全国 3理 T12)定义“规范 01 数列”an如下:an共有 2m项,其中m项为 0,m项为 1,且对任意 k2m,a1,a2,ak中 0 的个数不少于 1 的个数.若m=4,则不同的“规范 01 数列”共有( ) A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个 【答案】C 【解析】由题意知 a1=0,a8=1,则满足题意的 a1,a2,a8的可能取值如下
22、: 8 综上可知,不同的“规范 01 数列”共有 14 个. 9.(2016四川理 T4)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( ) A.24 B.48 C.60 D.72 【答案】D 【解析】要组成没有重复数字的五位奇数,则个位数应该为 1,3,5 中的一个,其他位置共有A4 4种排法,所以其 中奇数的个数为 3A4 4=72,故选 D. 10.(2015四川 理T6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( ) A.144 个 B.120 个 C.96 个 D.72 个 【答案】B 【解析】当首位数字为 4,个
23、位数字为 0 或 2 时,满足条件的五位数有 C2 1A43个;当首位数字为 5,个位数字为 0 或 2 或 4 时,满足条件的五位数有C31A43个.故满足条件的五位数共有 C2 1A43 + C3 1A43=(2+3)A43=54321=120 个.故选 B. 11.(2015全国 1理 T10)(x 2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 【答案】C 【解析】(x 2+x+y)5=(x2+x)+y5的展开式通项为 Tr+1=C5 (x2+x)5-ryr(r=0,1,2,5). 由题意,y的幂指数为 2,故r=2. 对应的项为C5 2(x2
24、+x)3y2=10(x2+x)3y2. 记(x 2+x)3 的展开式通项为Ts+1=C3 (x2)3-sxs=C3x6-s(s=0,1,2,3),由题意令 6-s=5,得 s=1.故所求项的系数为 9 10C3 1=30. 12.(2015陕西理 T4)二项式(x+1) n(nN*)的展开式中 x 2的系数为 15,则 n=( ) A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】B 【解析】(x+1) n的展开式通项为 T r+1=Cn rxn-r. 令 n-r=2,即 r=n-2. 则 x 2的系数为C n n-2 = Cn 2=15,解得 n=6,故选 B. 13.(2015湖北理 T3)已知(1
25、+x) n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数 和为( ) A.2 12 B.2 11 C.2 10 D.29 【答案】D 【解析】由条件知Cn 3 = Cn 7,n=10. (1+x) 10中二项式系数和为 210,其中奇数项的二项式系数和为 210-1=29. 14.(2014大纲全国理 T5)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小 组,则不同的选法共有( ) A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种 【答案】C 【解析】从 6 名男医生中选出 2 名有C6 2种选法,从 5 名女医生中选出 1
26、名有C51种选法,故共有C62 C5 1 = 65 215=75 种选法,选 C. 15.(2014辽宁理 T6)6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A.144 B.120 C.72 D.24 【答案】D 【解析】插空法.在已排好的三把椅子产生的 4 个空档中选出 3 个插入 3 人即可.故排法种数为A4 3=24.故选 D. 16.(2014四川理 T6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共 有( ) A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种 【答案】B 【解析】(1)当最左端排甲的时候,排法的种数
27、为A5 5;(2)当最左端排乙的时候,排法种数为C41A44.因此不同的 10 排法的种数为A5 5 + C4 1A44=120+96=216. 17.(2014重庆 理 T9)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序, 则同类节目不相邻的排法种数是( ) A.72 B.120 C.144 D.168 【答案】B 【解析】第 1 步,先排歌舞类节目,有A3 3=6 种排法,排好后有 4 个空位. 第 2 步,排另 3 个节目,因为 3 个歌舞节目不相邻,则中间 2 个空位必须安排 2 个节目.分两类情况: 中间两个空位安排 1 个小品类节目和 1 个
28、相声节目,有C2 1A22=4 种排法,最后一个小品类节目排两端,有 2 种方法.共有 642=48 种排法. 中间两个空位安排 2 个小品类节目,有A2 2=2 种排法,排好后有 6 个空位,选 1 个将相声类节目排上,有 6 种排法.共有 626=72 种排法. 所以一共有 48+72=120 种排法. 18.(2014四川理 T2)在 x(1+x) 6的展开式中,含 x3项的系数为( ) A.30 B.20 C.15 D.10 【答案】C 【解析】 含 x 3的项是由(1+x)6展开式中含 x2的项与 x 相乘得到,又(1+x)6展开式中含 x2的项的系数为C 6 2=15, 故含 x
29、3项的系数是 15. 19.(2014湖南理 T4) (1 2x-2y) 5 的展开式中 x 2y3的系数是( ) A.-20 B.-5 C.5 D.20 【答案】A 【解析】由已知,得 Tr+1=C5 r (1 2x) 5-r (-2y) r=C 5 r (1 2) 5-r (-2) rx5-ryr(0r5,rZ), 令 r=3,得 T4=C5 3(1 2) 2 (-2) 3x2y3=-20x2y3. 20.(2014 浙 江 理T5) 在 (1+x) 6(1+y)4 的 展 开 式 中 , 记x myn 项 的 系 数 为f(m,n), 则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0
30、,3)=( ) A.45 B.60 C.120 D.210 【答案】C 【解析】(1+x) 6展开式的通项公式为 Tr+1=C6 xr,(1+y)4展开式的通项 公式为Th+1=C4 yh, 11 (1+x) 6(1+y)4展开式的通项可以为C 6 C4xryh. f(m,n)=C6 C4. f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3) =C6 3 + C6 2C41 + C6 1C42 + C4 3=20+60+36+4=120.故选 C. 21.(2013全国 1理 T9)设 m 为正整数,(x+y) 2m展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y)2m+1展开式的二项 式系数的
31、最大值为 b.若 13a=7b,则 m=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【解析】由题意可知,a=C2m m ,b=C2m:1 m , 13a=7b,13(2m)! m!m!=7 (2m+1)! m!(m+1)!, 即13 7 = 2m+1 m+1 ,解得 m=6.故选 B. 22.(2013山东理 T10)用 0,1,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.279 【答案】B 【解析】 构成所有的三位数的个数为C9 1C101 C10 1 =900,而无重复数字的三位数的个数为C9 1C91C81=648,故所求个数
32、为 900-648=252,应选 B. 23.(2013全国 2理 T5)已知(1+ax)(1+x) 5的展开式中 x 2的系数为 5,则 a=( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 【答案】D 【解析】因为(1+x) 5的二项展开式的通项为C 5 rxr(0r5,rZ),则含 x2的项为C52x2+axC51x=(10+5a)x2,所 以 10+5a=5,a=-1. 24.(2013辽宁理 T7)使(3x + 1 xx) n (nN *)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【解析】 (3x + 1 xx) n 展开式中的第 r+1
33、项为Cn r(3x)n-rx-3 2r= Cn r3n-rxn-5 2r,若展开式中含常数项,则存在 nN*,r N,使 n-5 2r=0,故最小的 n 值为 5,故选 B. 25.(2013大纲全国理 T7)(1+x) 8(1+y)4的展开式中 x2y2的系数是( ) A.56 B.84 C.112 D.168 12 【答案】D 【解析】 因为(1+x) 8的展开式中x2的系数为C 8 2,(1+y)4的展开式中y2的系数为C42,所以x2y2的系数为C82C42=168. 故选 D. 26.(2012湖北理 T5)设 aZ,且 0a13,若 51 2 012+a 能被 13 整除,则 a=
34、( ) A.0 B.1 C.11 D.12 【答案】D 【解析】51 2 012 可化为(52-1) 2 012,其二项式系数为 T r+1=C2012 r 52 2 012-r(-1)r.故(52-1)2 012 被 13 除余数为 C2012 2012(-1)2 012=1,则当 a=12 时,512 012+12 被 13 整除. 27.(2012安徽理 T7)(x 2+2) (1 x2 -1) 5 的展开式的常数项是( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 【答案】D 【解析】 通项为 Tr+1=C5 r ( 1 x2) 5-r (-1) r=(-1)rC 5 r 1 x10-2r.
35、令 10-2r=2 或 0,此时 r=4 或 5.故(x 2+2)(1 x2 -1) 5 的展开式 的常数项是(-1) 4C 5 4+2(-1)5C55=3. 28.(2012全国理 T2)将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每 个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( ) A.12 种 B.10 种 C.9 种 D.8 种 【答案】A 【解析】将 4 名学生均分为 2 个小组共有C4 2C22 A2 2 =3 种分法, 将 2 个小组的同学分给两名教师带有A2 2=2 种分法,最后将 2 个小组的人员分配到甲、 乙两地有A22
36、=2 种分法, 故不同的安排方案共有 322=12 种. 29.(2012辽宁理 T5)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( ) A.33! B.3(3!) 3 C.(3!)4 D.9! 【答案】C 【解析】完成这件事可以分为两步,第一步排列三个家庭的相对位置,有A3 3种排法;第二步排列每个家庭中的 三个成员,共有A3 3A33A33种排法.由乘法原理可得不同的坐法种数有A33A33A33A33,故选 C. 30.(2012安徽理 T10)6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次, 进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知
37、 6 位同学之间共进行了 13 次交换,则收到 4 份纪念品的同学人数 为( ) A.1 或 3 B.1 或 4 C.2 或 3 D.2 或 4 13 【答案】D 【解析】6 人之间互相交换,总共有C6 2=15 种,而实际只交换了 13 次,故 有 2 次未交换.不妨设为甲与乙、丙与丁之间未交换或甲与乙、甲与丙之间未交换,当甲与乙、丙与丁之间 未交换时,甲、乙、丙、丁 4 人都收到 4 份礼物;当甲与乙、甲与丙之间未交换时,只有乙、丙两人收到 4 份 礼物,故选 D. 31.(2011全国理 T8) (x + a x)(2x- 1 x) 5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为
38、( ) A.-40 B.-20 C.20 D.40 【答案】D 【解析】令 x=1 得(1+a)(2-1) 5=2, a=1.原式=x(2x- 1 x) 5 + 1 x (2x- 1 x) 5 ,故常数项为 xC5 3(2x)2(-1 x) 3 + 1 x C5 2(2x)3(-1 x) 2 =-40+80=40. 32.(2010山东理 T8)某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目 乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A.36 种 B.42 种 C.48 种 D.54 种 【答案】B 【解析】 若乙排在第
39、二位,则有A3 3种方案;若乙不排在第二位,则乙只能排在第三、 四、 五位,此时共有A31A21A33 种方案,故共有A3 3 + A3 1A21A33=42(种). 二、填空题 1.(2019天津理 T10)（2x- 1 8x3 ） 8的展开式中的常数项为 【答案】28 【解析】Tr+1=C8 r(2x)8-r（ 1 -8x3 ）r =C8 r28-r（-1 8） rx8-4r. 需 8-4r=0,r=2. 常数项为C8 226（-1 8） 2=C 8 2261 26 = C8 2=28. 2.(2018天津理 T10)在(x- 1 2x) 5 的展开式中,x 2的系数为 . 【答案】5 2
40、 14 【解析】展开式的通项为 Tr+1=C5 rx5-r(- 1 2x) r = (- 1 2) r C5 rx5-3r 2.令 5-3r 2=2,可得 r=2. 所以(x- 1 2x) 5 的展开式中的 x 2的系数为(-1 2) 2 C5 2 = 5 2. 3.(2018浙江T14)二项式(x 3 + 1 2x) 8 的展开式的常数项是 . 【答案】7 【解析】通项为 Tr+1=C8 r (x 1 3) 8-r (1 2x -1)r = (1 2) r C8 rx8-4r 3, 当 r=2 时,8-4r 3 =0. 故展开式的常数项为(1 2) 2 C8 2 = 1 4 87 2 =7.
41、 4.(2018上海T3)在(1+x) 7的二项展开式中,x2项的系数为 (结果用数值表示). 【答案】21 【解析】由(1+x) 7的二项展开式的通项,得(1+x)7的二项展开式的 x2项的系数为C 7 2=21. 5.(2018全国 1 理 T15)从 2 位女生,4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选,则不同的选 法共有 种.(用数字填写答案) 【答案】16 【解析】方法一:恰有 1 位女生时,有C2 1C42=12 种选法. 恰有 2 位女生时,有C2 2C41=4 种选法. 故不同的选法共有 12+4=16 种. 方法二:6 人中选 3 人共有C6 3种选法,3
42、 人全是男生时有C43种选法,所以至少有 1 位女生入选时有C63 C4 3=16 种选法. 6.(2018浙江T16)从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6 中任取 2 个数字,一共可以组成 个没有 重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260 【解析】分两类: 第一类:从 0,2,4,6 中取到 0, 则没有重复数字的四位数有C3 1C52A31A33=540; 第二类:从 0,2,4,6 中不取 0, 则没有重复数字的四位数有C3 2C52A44=720. 所以没有重复数字的四位数共有 540+720=1260 种. 7.(2017山东理 T11)已知(1+
43、3x) n的展开式中含有 x2项的系数是 54,则 n= . 15 【答案】4 【解析】二项展开式的通项 Tr+1=Cn r(3x)r=3rCnrxr,令 r=2,得 32Cn2=54,解得 n=4. 8.(2017浙江T13)已知多项式(x+1) 3(x+2)2=x5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x+a5,则 a4= ,a5= . 【答案】16 4 【解析】由二项式展开式可得通项公式为C3 rx3-rC2mx2-m2m,分别取 r=3,m=1 和 r=2,m=2 可得 a4=4+12=16,令 x=0 可得 a5=1 322=4. 9.(2017天津 理 T14)用数字
44、1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数, 这样的四位数一共有 个.(用数字作答) 【答案】1080 【解析】没有一个数字是偶数的四位数有A5 4=120 个; 有且只有一个数字是偶数的四位数有C4 1C53A44=960 个. 所以至多有一个数字是偶数的四位数有 120+960=1 080 个. 10.(2017浙江T16)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2 人组成 4 人服务队, 要求服务队中至少有 1 名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 【答案】660 【解析】 由题意可得,总的选择方法为C
45、8 4C41C31种方法,其中不满足题意的选法有C64C41C31种方法,则满足题意的 选法有C8 4C41C31 C6 4C41C31=660 种. 11.(2016全国 1理 T14)(2x+x) 5的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案) 【答案】10 【解析】二项式的通项公式 Tr+1=C5 r(2x)5-rxr 2= C5 r25-rx5-r 2,令 5-r 2=3,解得 r=4, 故 x 3的系数为C 5 425-4=10. 12.(2016天津理 T10) (x2- 1 x) 8 的展开式中 x 7的系数为 .(用数字作答) 【答案】-56 【解析】展开式通项为 Tr+1=
46、C8 r(x2)8-r(-1 x) r =(-1) rC 8 rx16-3r,令 16-3r=7,得 r=3,所以展开式中 x7 的系数为 (-1) 3C 8 3=-56. 13.(2015广东 理 T12)某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写 了 条毕业留言.(用数字作答) 【答案】1560 【解析】共有A40 2 =4039=1 560 条毕业留言. 16 14.(2015天津理 T12)在(x- 1 4x) 6 的展开式中,x 2的系数为. 【答案】 15 16 【解析】由题意知 Tr+1=C6 rx6-r(-1 4x) r = C6 rx6-2
47、r(-1 4) r .令 6-2r=2,可得 r=2. 故所求 x 2的系数为C 6 2(-1 4) 2 = 15 16. 15.(2015重庆理 T12)(x3+ 1 2x) 5 的展开式中 x 8的系数是(用数字作答). 【答案】5 2 【解析】展开式的通项公式 Tr+1=C5 r(x3)5-r( 1 2x) r = C5 r2-rx15-7 2r(r=0,1,2,5). 令 15-7 2r=8,得 r=2,于是展开式中 x 8项的系数是C 5 22-2=5 2. 16.(2015全国 2理 T15)(a+x)(1+x) 4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a= . 【答案】3 【解析】(1+x) 4=x4+C 4 3x3+C42x2+C41x+C40x0=x4+4x3+6x2+4x+1, (a+x)(1+x) 4的奇数次幂项的系数为 4a+4a+1+6+1=32,a=3. 17.(2014安徽理 T13)设 a0,n 是大于 1 的自然数, (1 + x a) n的展开式为 a 0+a1x+a2x 2+a nx n.若点 Ai(i,ai)(i=0,1,2)
